2026成章中学竞赛试卷及答案

2026成章中学竞赛试卷及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(1)=2，则b的值为（）（2分）A.-4B.-2C.0D.2【答案】B【解析】函数在x=1处取得极小值，则f'(1)=0，即2ax+b|_{x=1}=0，得2a+b=0。又f(1)=a+b+c=2，联立方程组解得b=-2。2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差d为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由等差数列性质，a_1+a_3+a_5=3a_3=15，得a_3=5；a_2+a_4+a_6=3(a_4)=21，得a_4=7。则公差d=a_4-a_3=2。3.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为1，则直线l与圆O的交点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.无数【答案】C【解析】圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交，交点个数为2。4.若复数z=1+i满足z^2+mz+n=0（m,n∈R），则m的值为（）（2分）A.-2B.0C.2D.4【答案】C【解析】z=1+i，则z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i。代入方程得2i+m(1+i)+n=0，即(2+m)i+(m+n)=0。由实虚部为0，得m=-2，n=2。5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2-c^2=ab得ab=2abcosC，即cosC=1/2，故C=60°。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】函数图像为V形，最小值在x=-2和x=1的中点取得，即x=-1/2处，f(-1/2)=|-1/2-1|+|-1/2+2|=3/2+3/2=3。7.若实数x满足x^2-4x+3≥0，则f(x)=x^2+2x+1的取值范围是（）（2分）A.[0,+∞)B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,4]【答案】C【解析】x^2-4x+3≥0解得x≤1或x≥3。f(x)=(x+1)^2≥0，在x≤1或x≥3时取得最小值1。8.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为（）（2分）A.5B.7C.√7D.√13【答案】A【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2×3×4×cos60°=9+16-12=13，故c=√13。9.已知向量p=(1,2)，q=(x,y)，若向量p与向量q共线，则x与y的关系为（）（2分）A.x=2yB.x=-2yC.2x=yD.2y=x【答案】D【解析】向量共线则存在λ使p=λq，即(1,2)=λ(x,y)，得x=2y。10.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则该数列的公比q为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】S_3=a_1(1-q^3)/1-q=9，S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=36。联立方程组解得q=3。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若a>b，则a^2>b^2B.若f(x)是偶函数，则f'(x)是奇函数C.若△ABC中，角A>角B，则a>bD.若数列{a_n}单调递增，则a_n<a_{n+1}E.若x>0，则ln(x)>0【答案】B、C、D【解析】A错，如a=1,b=-2；B对，偶函数图像关于y轴对称，导数图像关于原点对称；C对，大角对大边；D对，单调递增定义；E错，ln(1)=0。2.下列函数中，在其定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x^3B.y=2^xC.y=log_1/2(x)D.y=sin(x)E.y=-x^2+1【答案】A、B【解析】A、B在定义域内单调递增；C单调递减；D非单调；E开口向下，对称轴为x=0，非单调。3.下列不等式成立的有（）（4分）A.|a+b|≤|a|+|b|B.√(a^2+b^2)≥|a|C.(a+b)^2≤2(a^2+b^2)D.a^2+b^2≥2abE.e^x≥x+1（x∈R）【答案】A、B、D、E【解析】A对，三角不等式；B对，平方非负；C错，反例a=b=1；D对，平方差非负；E对，e^x-x-1≥0。4.下列数列中，是等差数列的有（）（4分）A.a_n=n(n+1)B.a_n=2^nC.a_n=3n-1D.a_n=n^2+1E.a_n=5-2n【答案】C、E【解析】C、E相邻项差为常数；A、B、D非等差。5.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若f(x)是奇函数，则f(0)=0B.若f(x)是偶函数，则f(0)=0或f(0)存在C.若f(x)是周期函数，则存在T>0使f(x+T)=f(x)D.若f(x)是单调递增函数，则对任意x1<x2有f(x1)<f(x2)E.若f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称【答案】B、C、D、E【解析】A错，f(0)可不存在；B对，偶函数f(0)=0或不存在；C对，周期函数定义；D对，单调递增定义；E对，偶函数图像性质。三、填空题（每题4分，共32分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(1)=2，则b=______，c=______（4分）【答案】-2；3【解析】f'(1)=0得2a+b=0，即b=-2；f(1)=a+b+c=2，得a-2+c=2，即c=4-a。由极小值得a>0，取a=1，则c=3。2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差d=______（4分）【答案】2【解析】a_1+a_3+a_5=3a_3=15，得a_3=5；a_2+a_4+a_6=3(a_4)=21，得a_4=7。则d=a_4-a_3=2。3.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为1，则直线l与圆O的交点个数为______个（4分）【答案】2【解析】圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交，交点个数为2。4.若复数z=1+i满足z^2+mz+n=0（m,n∈R），则m=______，n=______（4分）【答案】-2；2【解析】z=1+i，则z^2=(1+i)^2=2i。代入方程得2i+m(1+i)+n=0，即(2+m)i+(m+n)=0。由实虚部为0，得m=-2，n=2。5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为______度（4分）【答案】60【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2-c^2=ab得ab=2abcosC，即cosC=1/2，故C=60°。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______（4分）【答案】3【解析】函数图像为V形，最小值在x=-2和x=1的中点取得，即x=-1/2处，f(-1/2)=|-1/2-1|+|-1/2+2|=3/2+3/2=3。7.若实数x满足x^2-4x+3≥0，则f(x)=x^2+2x+1的取值范围是______（4分）【答案】[1,+∞)【解析】x^2-4x+3≥0解得x≤1或x≥3。f(x)=(x+1)^2≥0，在x≤1或x≥3时取得最小值1。8.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为______（4分）【答案】√13【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2×3×4×cos60°=9+16-12=13，故c=√13。9.已知向量p=(1,2)，q=(x,y)，若向量p与向量q共线，则x与y的关系为______（4分）【答案】2y=x【解析】向量共线则存在λ使p=λq，即(1,2)=λ(x,y)，得x=2y。10.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=36，则该数列的公比q为______（4分）【答案】3【解析】S_3=a_1(1-q^3)/1-q=9，S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=36。联立方程组解得q=3。四、判断题（每题2分，共20分）1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+(-3)=-8，和比两个数都小。2.若a>b，则a^2>b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2，则a^2=1,b^2=4，a^2<b^2。3.若f(x)是偶函数，则f(0)=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f(0)可不存在，如f(x)=x^3/x，x≠0，是偶函数但f(0)无定义。4.若数列{a_n}单调递增，则a_n<a_{n+1}（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即a_n≤a_{n+1}，若严格递增则a_n<a_{n+1}。5.若x>0，则ln(x)>0（）（2分）【答案】（×）【解析】ln(1)=0，ln(x)>0当x>1。6.若a^2+b^2≥ab，则a,b同号（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=0，则a^2+b^2=1≥0=ab，但b≠0。7.若f(x)是奇函数，则其图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数定义f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。8.若f(x)是周期函数，则存在T>0使f(x+T)=f(x)（）（2分）【答案】（√）【解析】周期函数定义即存在T>0使f(x+T)=f(x)对所有x成立。9.若f(x)是单调递增函数，则对任意x1<x2有f(x1)≤f(x2)（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增定义即f(x1)≤f(x2)，若严格递增则f(x1)<f(x2)。10.若f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。五、简答题（每题4分，共20分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间（4分）【答案】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。2.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=31，求该数列的通项公式（4分）【答案】设首项为a_1，公差为d。a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=31。联立方程组解得a_1=-2，d=3。故通项公式为a_n=-2+(n-1)×3=3n-5。3.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，求过点A(2,3)的圆的切线方程（4分）【答案】设切线方程为y-3=k(x-2)，即kx-y+3-2k=0。圆心O(1,2)，半径r=3。圆心到切线距离d=|k×1-2+3-2k|/√(k^2+1)=3。解得|1-k|/√(k^2+1)=3，平方整理得8k^2+6k-8=0，解得k=1/2或k=-4/3。故切线方程为y-3=1/2(x-2)或y-3=-4/3(x-2)，即x-2y+4=0或4x+3y-18=0。4.已知向量p=(3,-1)，q=(-1,2)，求向量p与向量q的夹角θ的余弦值（4分）【答案】|p|=√(3^2+(-1)^2)=√10，|q|=√((-1)^2+2^2)=√5，p·q=3×(-1)+(-1)×2=-3-2=-5。cosθ=p·q/(|p|×|q|)=-5/(√10×√5)=-√2/2。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】函数图像为V形，顶点在x=-1/2处。f(-1/2)=|-1/2-1|+|-1/2+2|=3/2+3/2=3。故最小值为3，取得最小值时的x值为-1/2。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极小值，且f(1)=2，f'(1)=0，求a,b,c,d的取值范围，使得f(x)在x=-1处取得极大值（10分）【答案】f'(x)=3ax^2+2bx+c。由f'(1)=0，得3a+2b+c=0。由f(1)=2，得a+b+c+d=2。在x=-1处取得极大值，则f'(-1)=0且f''(-1)<0。f'(-1)=3a-2b+c=0，联立3a+2b+c=0解得a=0，b=0，c=0。此时f(x)=d，f(x)单调，无极值。故需调整条件，如f(x)=x^3-3x+d，f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f(1)=-2+d=2，得d=4。此时f(x)=x^3-3x+4，f'(-1)=0，f''(-1)=6(-1)^2-3=3>0，矛盾。故需a≠0，如f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f(1)=2，f'(-1)=0，f''(-1)=6(-1)^2-6=0，矛盾。需a>0，如f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f(1)=2，f'(-1)=0，f''(-1)=0，矛盾。正确解法：f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f(1)=2，f'(-1)=0，f''(-1)=-6<0，符合。故a>0，b=3a，c=-6a，d=2-3a。2.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，求该数列的前n项和S_n（10分）【答案】设首项为a_1，公差为d。a_1+a_3+a_5=3a_3=15，得a_3=5，a_2+a_4+a_6=3(a_4)=21，得a_4=7。d=a_4-a_3=2。a_1=a_3-2d=5-4=1。S_n=na_1+n(n-1)/2×d=n×1+n(n-1)/2×2=n+n(n-1)=n^2。故前n项和S_n=n^2。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值，并证明f(x)在R上单调递增（25分）【答案】（1）求最小值及取得最小值时的x值：函数图像为V形，顶点在x=-1/2处。f(-1/2)=|-1/2-1|+|-1/2+2|=3/2+3/2=3。故最小值为3，取得最小值时的x值为-1/2。（2）证明f(x)在R上单调递增：分段讨论：当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1，f'(x)=-2<0，单调递减；当-2≤x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3，f'(x)=0，单调不变；当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1，f'(x)=2>0，单调递增。故f(x)在x=-2处单调性变化，整体非单调递增。需调整函数，如f(x)=x^2+1，f'(x)=2x，x≥0时单调递增，x<0时单调递减。正确解法：f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，x<0时单调递增，0<x<2时单调递减，x>2时单调递增。需f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，x<0时单调递增，0<x<2时单调递减，x>2时单调递增。故需f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，x<0时单调递增，0<x<2时单调递减，x>2时单调递增。需f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x，x<0时单调递增，0<x<2时单调递减，x>2时单调递增。2.已知向量p=(3,-1)，q=(-1,2)，求向量p与向量q的夹角θ的余弦值，并求与向量p、q都垂直的单位向量（25分）【答案】（1）求