小学数学三年级下册《连除解决问题：模型建构与量感培养》项目化教案

小学数学三年级下册《连除解决问题：模型建构与量感培养》项目化教案

一、【课程领导·顶层设计】

（一）【单元坐标与课型定位】

本课隶属于人教版小学数学三年级下册第二单元《除数是一位数的除法》第7课时，属于“数与代数”领域中“数量关系”主题的核心内容。在2022年版新课标视域下，本课已从传统的“应用题解题技巧”教学升维为“用数学语言表达现实世界”的建模教学。本课是学生首次系统接触“连续等分”的数学模型，是连接“一步除法解决问题”与“复合应用题”“归一、归总问题”的桥梁，更是小学阶段培养模型意识与应用意识的奠基课-1-4-7。

（二）【核心素养·关键能力】★★★★★【非常重要】

本课锚定三大核心素养维度的具身落地：

1.【模型意识】★★★【高频考点】能识别现实情境中的“总量、两次等分、每份数”结构，剥离非本质属性，建立“连除”或“乘除混合”的数学表征，初步感知数学模型的意义。

2.【运算能力】★★★【基础】在分步与综合的转换中，理解除法的运算性质（a÷b÷c=a÷(b×c)），形成简洁、严谨的运算习惯，避免程序化计算与意义理解的脱节。

3.【推理意识】★★★★【难点】能够从条件向问题推进（综合法）或从问题向条件回溯（分析法），有条理地表达每一步运算的“身份”（求的是什么），实现由“会算”到“会想”的思维进阶。

（三）【跨学科主题·设计哲学】

本设计打破学科壁垒，以“校园资源管理员”项目式学习为载体，整合数学（数量关系）、语文（信息提取与条理表达）、美术（图示表征）、劳动教育（图书整理、物资分配）四大领域。将“连除”这一纯粹的计算问题，置于“真实问题解决”的生态系统中，使学生在做中学、用中学、创中学。

二、【学习生态·精准画像】

（一）【知识起点诊断】★★【基础】

学生已熟练驾驭表内除法及一位数除整十、整百数的口算，能独立解决“已知总数和份数，求每份数”的一步除法问题。对于两步连乘问题（如“每箱12瓶，每瓶2元，3箱共多少元”），已初步建立“先求中间量”的分析意识-5-9。

（二）【思维断点预警】★★★★【难点】——应列尽罗

1.运算意义的错位：当出现连续除以两个数时，部分学生会陷入“见到连除就列连除”的机械记忆，对于第二种解法——先乘后除（除以两个除数的积）存在意义理解的断层，往往“会列式，但说不清第一步算的是什么”。

2.单位名称的混淆：在分步列式中，中间量的单位命名易出现“人”与“队”、“层”与“本”的张冠李戴，反映的是对每一步“量”的生成关系缺乏本质理解。

3.检验意识的缺位：多数学生将“检验”窄化为“重新算一遍数字”，缺乏将得数作为条件代入原题进行逻辑验证的策略意识-2-8。

（三）【非智力因素准备】

三年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对“图表结合”的信息呈现方式接受度高，对具有挑战性、需要动手操作的真实任务（如整理图书角、分配物资）表现出强烈的好奇心与责任感。

三、【教学目标·素养图谱】

（一）【语言积累与识理】（A级·基础性目标）

能够从图文结合的情境中准确采集数学信息，使用“先求……再求……”的句式完整、连贯地表述解题思路，形成数学表达的条理性。

（二）【模型建构与迁移】（B级·核心目标）★★★★【非常重要】

1.掌握连除应用题两种解题模型：模型A（连续等分：总数÷份数1÷份数2）；模型B（倍比归一：总数÷（份数1×份数2））。

2.能在一级数量关系（如书架问题、分组问题）和二级变式情境（如包装问题、归总问题）中准确识别模型并正确列式。

（三）【高阶思维与批判性】（C级·发展性目标）★★★【热点】

1.运用“代入法”检验结果的逻辑自洽性，能对他人的解题策略进行有理有据的评价。

2.初步感悟除法运算性质，在比较辨析中理解“连续除以两个数等于除以这两个数的积”的算理内涵。

四、【教学重难点·攻坚要塞】

（一）【重点】★★【基础】

掌握“连除”及“乘除混合”两种解题策略，理解每一步运算中“谁是总数、谁是份数、谁是新每份数”的动态生成关系。

（二）【难点】★★★★【核心】

理解第二种解法（224÷（4×2））中“4×2”求出的“总层数”是一个隐蔽的中间量，突破“为什么除法问题第一步却用乘法”的认知冲突。

五、【教学准备·全感支持系统】

（一）【环境与具象学具】

1.实体学具：每小组配备模拟书架（乐高积木搭建）、迷你图书贴纸（共计224枚）、层板分隔卡。

2.数字资源：交互式课件（含拖拽分书、层级透视功能）、学校图书馆实景VR全景图。

（二）【任务单设计】《校园图书管理员的“连除日记”》项目化学习工作纸（含错误档案分析区、自我评价星级区）。

六、【教学实施过程·深度学习九循环】★★★★★【篇幅核心·应列尽罗】

（一）【启动·前经验唤醒】——连乘问题反向迁移（5分钟）

1.情境锚点：课件播放我校图书馆VR实景。教师以“小小图书管理员招聘”为项目驱动，发布入职测试题。

2.测试题呈现：学校购买了一批新书，每个书架有4层，每层放28本，2个书架一共放了多少本书？

3.操作与表征：

（1）学生利用积木模型摆一摆：先摆1个书架（4层），每层插满28本；再摆同样的第2个书架。

（2）列式：4×28×2=224（本）或28×（4×2）=224（本）。

4.定向提问：刚才我们是从“每层本数”出发，一层一层地“合起来”。现在，管理员老师遇到了相反的问题——总共有224本书，要均匀地放回这两个书架的每一层，每层该放多少？【此处板书贴纸：连乘→合并；连除→分配】。

（二）【具身探究·思维可视化】——例题深度解构（15分钟）★★★★★【非常重要】

1.信息结构化处理——拒绝碎片化读题

出示例题（教材P13例4）：2个书架一共放了224本书，每个书架有4层。平均每个书架每层放多少本书？

（1）【语文与数学融合】引导学生用“枝形图”梳理信息，而非简单罗列数字。

总结构：

总数量：224本

第一次分配维度：平均分成2份（2个书架）→得到“每个书架的本数”

第二次分配维度：每个书架再平均分成4份（4层）→得到“每层的本数”

（2）【难点前置】追问：这里进行了几次“平均分”？哪一次先分？顺序能调换吗？（引发认知冲突）

2.解法A：顺向推理——从条件出发（综合法）【高频考点】

（1）动手操作：第一轮分配。请学生将代表224本书的贴纸，先平均贴到2个“书架卡”上。每贴一本，心里默念一次除法。

（2）算式表征：224÷2=112（本）——这一步求的是什么？

【重要】强制性语言模板：“这一步是用总本数除以书架的个数，得到每个书架有112本。”

（3）第二轮分配：将每个书架里的112本书，继续平均贴到该书架的4层隔板上。

（4）算式表征：112÷4=28（本）——这一步求的是什么？

【重要】强制性语言模板：“这一步是用每个书架的本数除以每个书架的层数，得到每层放28本。”

（5）综合式：224÷2÷4=28（本）。

（6）【算理深潜】指着算式224÷2÷4，师问：为什么这里要连续除以两个数？生归纳：因为平均分了两次，第一次分给书架，第二次分给层。

3.解法B：逆向聚合——从问题出发（分析法）【非常重要】【难点攻坚】

（1）核心挑战：教师直接抛出错位问题——“除了先算书架，还能先算什么？”许多学生会茫然或直接背出算式224÷（4×2）但说不清道理。

（2）中介变量突破：

①师引导：要知道“每层多少本”，我们其实可以直接把书分配给“层”吗？中间必须经过“书架”吗？

②关键支架：我们能不能先知道一共有多少层？

③数形结合：指着积木模型。一个书架4层，两个书架——总层数就是2个4层。列式：4×2=8（层）。

④【重大概念转折】师强调：注意！这一步用的是乘法，但我们依然是在解决除法问题！我们是在为最后的除法“铺路”——先算出总份数（总层数），再一步平均分。

（3）最终列式：224÷8=28（本）。综合式：224÷（4×2）=28（本）。

（4）【运算性质渗透】比较224÷2÷4和224÷（4×2）。你发现了什么？【高频考点】

归纳：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。（此处不做死记硬背公式，而是作为“发现”由学生口述规律。）

4.双模对比墙——从“怎么做”走向“为什么这么做”

（1）并置板书：

方案A：书架数→层数(224÷2÷4)

方案B：总层数→每层数(224÷(4×2))

（2）思辨交锋：【非常重要】小组讨论：你觉得哪种方法更简单？为什么有些人喜欢方法A，有些人喜欢方法B？

预设结论：方法A思路直接，一步一步分，不容易乱；方法B步骤少（列成综合式后），但需要先发现隐藏的“总层数”，思维跳跃性大。

（三）【检验建模·逻辑闭环】——代入法：不仅是验算，更是逆建模（5分钟）★★★【热点】

1.普遍误区：许多学生会说“我用方法B验算方法A，得数一样，所以对了”。这是循环论证，不是真正的逻辑检验。

2.规范范式——倒推法（把得数当条件）：

（1）依据：每层28本。

（2）推理：每个书架4层→一个书架28×4=112（本）→2个书架112×2=224（本）。

（3）结论：与原来总本数224本一致，解答正确。

3.元认知提问：为什么要用乘法来检验除法？【引导学生理解：除法是乘法的逆运算，真正的检验是回到问题的起点。】

（四）【变式进阶·去情境化建模】——从“书架”到“队列”再到“包装”（10分钟）★★★★【高频考点】

1.变式1：队列分组问题（教材“做一做”改编）

（1）题干：三年级168人参加广播操比赛，平均分成4队，每队平均分成3组。每组有多少人？

（2）【防止思维定势】教师故意出示错误列式：168÷4×3。让学生辨析。追问：为什么这里不能乘3？引导学生关注“平均分”的逻辑，第二次仍然是除法，不是乘法。

（3）独立作业，两种方法：

方法A：168÷4=42（人）→42÷3=14（人）

方法B：4×3=12（组）→168÷12=14（人）

2.变式2：包装归一问题（非连续等分型）【难点】【非常重要】

（1）题干：工厂里生产了4800支粉笔，每60支装一盒，每20盒装一箱，这些粉笔可以装多少箱？

（2）【模型冲突诊断】：此题与例题结构完全不同！例题是已知“总量”求“每份数”；此题是已知“总量”和“每份数”（每盒60支、每箱20盒），求“份数”（箱数）。

（3）小组挑战：这一题还能用连除吗？怎么列式？

①思路1（连除）：4800÷60=80（盒）→80÷20=4（箱）。

②思路2（连除）：4800÷（60×20）=4800÷1200=4（箱）——先算一箱多少支。

（4）【核心归纳】连除模型≠全是平均分给人或物。它分为两大基本结构：

【结构A】总量→两次平均分→求较小每份数（例题结构）。

【结构B】总量→两次归一→求包含几份（包装结构）。

3.变式3：归总逆向对比（题组训练）

（1）连乘题：每盒钢笔10支，每支8元，5盒一共多少元？

（2）连除题：5盒钢笔共400元，每盒10支，每支多少元？

（3）连除题：400元买钢笔，每支8元，每盒10支，能买几盒？

【完成“乘除模型”闭环，让学生看到“连乘”是“合”，“连除”是“分”，二者互为逆运算。】★★★★【非常重要】

（五）【跨学科·项目化实操】——“我是小小资源官”校园真实问题解决（8分钟）★★★【热点】

1.任务情境：学校总务处收到一批捐赠物资。请各小组作为“年级资源管理员”，从以下任务中任选一项，现场制定分配方案并列式。

【任务A：图书漂流】三年级共240本课外书，分给6个班级，每班分4个读书小组。每个小组能分到几本书？

【任务B：防疫物资】总务处采购了500只口罩，每20只装一包，每5包装一箱。一共装了多少箱？

【任务C：营养餐】食堂运来960个鸡蛋，每8个装一盒，每6盒装一箱。需要准备多少个箱子？

2.表现性评价要求：

（1）口头报告：必须先说“我要先求……再求……”或“我发现了隐藏的总……”。

（2）列综合算式，注意括号的规范使用。

（3）其他组员充当“质检员”，用代入法进行逻辑验证。

（六）【诊断·纠错】——典型错例听证会（5分钟）★★★★【高频考点】

1.错例1（顺序错乱）：小明列式224÷4÷2=28（本）。请学生诊断：224÷4求的是什么？有意义吗？（没有“每个书架4层”这个条件，不能用总本数直接除以层数，因为层不属于书架。）

2.错例2（单位张冠李戴）：168÷4=42（队）→实际应得42（人/队）。

3.错例3（括号缺失）：224÷4×2。质疑：如果不加括号，运算顺序是什么？结果还等于28吗？强调综合列式时，若要先加减后乘除必须加括号；此处先算乘法，不加括号会出错。

4.策略：建立“错例银行存折”，学生将典型错误存入“思维避坑指南”。

（七）【建模·结构化板书】——思维导图式总结（3分钟）

师生共建“连除问题解决决策树”：

【第一问】题目在分什么？（总量是什么？）

【第二问】分了几次？（第一次按什么分？第二次按什么分？）

【第三问】求的是“分完后每份是多少”还是“能分成多少份”？

【对应策略】求每份数：连除（a÷b÷c）或先乘后除（a÷(b×c)）；求份数：连除（a÷b÷c）或先乘后除（a÷(b×c)）。

【结论】数学模型由数量关系决定，而非由运算符号决定。

（八）【当堂监测·精准反馈】——5分钟限时达标（5分钟）

1.基础题（必做）：2台织布机3小时织布72米。平均每台织布机每小时织布多少米？（用两种方法）

2.变式题（选做）：王叔叔运苹果，每次运8箱，每箱重15千克，3次正好运完。这批苹果共多少千克？如果将题目改编成一道连除应用题，你会怎么改？

3.思维题（挑战）：144÷3÷4和144÷12，它们解决的实际问题情境可能相同吗？请你编一个故事，使两个算式都对。

（九）【课后延学·素养作业】——长程作业超市

1.【基础巩固】★★：完成教材练习三第4、5题。要求：每题画出“枝形图”分析思路。

2.【生活微调查】★★★★：寻找生活中2-3个需要“连除”来解决的问题（如水电费平摊、快递分拣、药品分装），拍照或画图，并写出数量关系式。★★★★【热点】

3.【跨学科创意】★★★★★：为“连除”写一首简短的“数学诗”或绘制四格漫画，如《书的旅行》《口罩的分配之路》。

七、【教学评价·学教评一体化】

（一）【嵌入式评价】——在每个学生汇报时，使用“三维评价量规”：

1星：能正确列式计算。

2星：能说出每一步求的是什么，单位正确。

3星：能主动用另一种方法验证，并能对比两种方法的异同。

（二）【表现性评价】——在“小小资源官”环节，根据