初中数学七年级下册《加减消元法解二元一次方程组》教案

初中数学七年级下册《加减消元法解二元一次方程组》教案

一、教材与学情分析

（一）教材的地位与作用分析

本节课选自江苏科学技术出版社《义务教育教科书·数学》七年级下册第10章“二元一次方程组”第3节“解二元一次方程组”的第2课时。方程组是刻画现实世界中含有多个未知量问题的有效数学模型，是初中数学“数与代数”领域的核心内容之一。

从知识体系看，本节课处于承上启下的关键节点。承上方面，学生已掌握了二元一次方程组的概念、代入消元法的基本原理与操作步骤，具备了用“消元”思想将“二元”化归为“一元”的初步体验。启下方面，加减消元法是解决更为复杂的二元一次方程组（特别是当方程组中未知数系数成整数倍或易于匹配时）的强有力工具，其掌握程度直接影响到后续学习三元一次方程组、一次函数与二元一次方程的关系，乃至高中阶段的线性方程组、矩阵等知识。加减消元法所蕴含的“等价变形”、“化归转化”的数学思想，是学生数学思维从算术思维向代数思维、从程序性操作向策略性选择跃升的重要阶梯。

从苏科版教材的编排特色看，本套教材注重在解决实际问题的过程中，引导学生自然生成方法，强调对数学思想方法的领悟。本节内容通常通过对比同一问题的不同解法，引发认知冲突，从而水到渠成地引出加减消元法，体现了“问题情境—建立模型—求解验证—应用拓展”的编写思路。

（二）学情诊断与前置分析

教学对象为七年级下学期学生，其认知与心理特征如下：

1.知识储备：学生已熟练掌握了有理数的四则运算、整式的加减运算、等式的基本性质，并初步学习了代入消元法。部分学生可能已通过课外途径对加减消元法有模糊了解，但对其成立的内在逻辑、适用条件的判断以及操作中的易错点缺乏系统认知。

2.思维特征：该年龄段学生的抽象逻辑思维开始占主导地位，但仍需具体形象材料的支持。他们具备一定的观察、比较、归纳能力，但在策略选择、批判性反思和复杂运算的条理性方面尚有不足。从“怎么做”到“为什么这么做”、“什么时候用这种方法更好”的思维进阶，是本节课需要突破的关键。

3.潜在困难：

1.4.理解层面：为何可以通过将两个方程相加或相减来消去一个未知数？其代数本质（等式性质的应用）与几何意义（直线方程的变换）理解存在难度。

2.5.操作层面：符号处理易错（特别是减法时的去括号与变号）；当方程组需要变形（如将某个方程两边同乘一个数）后才能使用加减法时，步骤混乱或目标不明确；求解完成后代入原方程检验的意识薄弱。

3.6.策略层面：面对一个具体的二元一次方程组，缺乏自主分析、对比，从而在“代入法”与“加减法”之间做出最优选择的决策能力。

（三）跨学科视野与核心素养关联

本节课内容具有显著的跨学科迁移价值。在物理学中，求解合力与分力、电路中的电流电压关系；在经济学中，求解供求平衡点、成本与收益分析；在计算机科学中，线性方程组求解是基础算法之一。通过设计跨学科背景的问题，可以让学生深刻体会数学作为基础工具学科的普适性。

从数学核心素养培育角度，本节课聚焦：

1.数学抽象：从具体问题中抽象出二元一次方程组模型。

2.逻辑推理：通过等式性质，严谨推导加减消元的合理性。

3.数学运算：进行有序、准确的代数式变形与求解。

4.数学建模：用方程组模型解决实际问题，并解释结果。

5.直观想象：初步关联方程组的解与两直线交点的几何意义。

二、教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“方程与方程组”的要求，结合教材与学情，设定以下三维目标：

（一）知识与技能

1.理解加减消元法的基本思想，掌握其一般步骤，能准确、熟练地运用加减消元法解二元一次方程组。

2.能根据方程组系数的特征，灵活选择代入消元法或加减消元法，并说明选择理由。

3.能运用加减消元法解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历从具体实例中探索、归纳加减消元法的过程，体会“化未知为已知”（化归）的数学思想。

2.通过对比分析、合作探究，发展观察、分析、归纳和概括的能力，提升多策略解决问题的决策力。

3.在解决实际问题的过程中，体验“数学建模”的基本过程，增强应用意识。

（三）情感、态度与价值观

1.在探索新方法的过程中，感受数学知识之间的内在联系和统一美，激发求知欲和探索精神。

2.通过克服运算中的困难，培养严谨细致、坚持不懈的学习态度和科学精神。

3.在小组合作与交流中，学会倾听、表达与协作，增强数学学习的自信心。

三、教学重难点

1.教学重点：加减消元法的基本原理和操作步骤。

2.教学难点：

1.3.理解加减消元法的代数本质（基于等式性质）与几何直观。

2.4.根据方程组系数的特征，灵活、恰当地选择消元方法并进行必要的方程变形。

3.5.解决加减消元过程中符号处理与复杂系数变形等运算障碍。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画、方程变形动态演示、对比表格、阶梯式练习题组）、实物投影仪、几何画板软件（用于演示方程组解的几何意义）。

2.学生准备：复习等式的基本性质、代入消元法，预习课本相关内容。学案、练习本。

3.环境准备：教室桌椅按4-6人小组合作形式摆放，便于讨论与展示。

五、教学过程设计

第一环节：创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

活动1：复现旧知，引发冲突

1.问题引入：展示一个源于古代数学著作《九章算术》的“盈不足”问题改编的生活实例：

“周末，小明到文具店购买笔记本和钢笔。已知购买3本笔记本和2支钢笔共需28元；购买2本笔记本和3支钢笔共需32元。求每本笔记本和每支钢笔的单价。”

2.建立模型：引导学生设未知数，列出方程组：

{

3

x

+

2

y

=

28

(

1

)

2

x

+

3

y

=

32

(

2

)

\begin{cases}

3x+2y=28\quad(1)\\

2x+3y=32\quad(2)

\end{cases}

{3x+2y=282x+3y=32​(1)(2)​其中x

x

x代表笔记本单价，y

y

y代表钢笔单价。

3.尝试求解：教师提问：“我们已学过代入消元法，谁能用这种方法尝试解决这个方程组？”请一位学生板演或用实物投影展示其代入法解题过程。

1.4.学生可能从方程(1)解出y

=

28

−

3

x

2

y=\frac{28-3x}{2}

y=228−3x​，代入方程(2)，计算过程涉及分数，较为繁琐。

2.5.教师点评其步骤正确性，同时点明：“计算中出现了分数，过程有些复杂。有没有更简洁的解法呢？这启发我们思考：除了‘代入’，还有其他‘消元’的途径吗？”

设计意图：以贴近生活的实际问题引入，激发兴趣。通过让学生用已学代入法求解一个系数“对称”但非最简的方程组，在肯定旧知的同时，自然暴露出代入法在此情境下的局限性（计算繁琐），制造认知冲突，为探索新方法埋下伏笔。引用古代数学问题，渗透数学文化。

活动2：观察结构，启迪思路

教师引导学生聚焦方程组：

{

3

x

+

2

y

=

28

2

x

+

3

y

=

32

\begin{cases}

3x+2y=28\\

2x+3y=32

\end{cases}

{3x+2y=282x+3y=32​提问：“请大家仔细观察这两个方程中未知数x

x

x和y

y

y的系数，有什么特点？”（学生可能回答：两个方程中x

x

x的系数是3和2，y

y

y的系数是2和3，都不相等也不成倍数…）

教师继续引导：“如果我们把这两个方程看作两个‘天平’，左边是含有x

x

x,y

y

y的表达式，右边是常数。根据等式性质，两个等式的左边和左边相加，右边和右边相加，结果还相等吗？”（学生根据等式性质回答：相等。）

“那么，如果将方程(1)和方程(2)的左右两边分别相加，我们会得到什么？”

引导学生计算：(

3

x

+

2

y

)

+

(

2

x

+

3

y

)

=

28

+

32

(3x+2y)+(2x+3y)=28+32

(3x+2y)+(2x+3y)=28+32，得到5

x

+

5

y

=

60

5x+5y=60

5x+5y=60。

提问：“这个新方程5

x

+

5

y

=

60

5x+5y=60

5x+5y=60和原来的两个方程相比，形式上有什么变化？”（引导学生发现：它仍然是一个二元一次方程，并未消元。）

“这似乎没有直接消去元。我们最初的目的是‘消元’，即减少未知数的个数。请大家再观察，如果…我们不是将两方程相加，而是相减呢？比如，用(1)式减去(2)式，结果会怎样？”

学生尝试：(

3

x

+

2

y

)

−

(

2

x

+

3

y

)

=

28

−

32

(3x+2y)-(2x+3y)=28-32

(3x+2y)−(2x+3y)=28−32，得到x

−

y

=

−

4

x-y=-4

x−y=−4。

“现在，你发现了什么？”（学生兴奋地发现：未知数y

y

y被消去了！得到了一个只含x

x

x和y

y

y关系的一次方程x

=

y

−

4

x=y-4

x=y−4。）

设计意图：此环节是本节课的思维起点。教师不是直接告知方法，而是引导学生从等式性质和方程结构出发，通过“观察—猜想—验证”的探究过程，自己“发现”可以通过将两个方程相加减来构造新的方程，并初步体验到当某一未知数系数“互为相反数”时，相加可消元；当“相等”时，相减可消元。这是对加减消元法原理最朴素、最直接的感知。

第二环节：合作探究，构建新知（预计时间：22分钟）

活动1：归纳提炼，明晰原理

1.抽象概括：教师引导：“刚才我们通过将两个方程相减，意外地消去了y

y

y，得到了x

x

x与y

y

y的关系式。这给我们解方程组提供了新思路。请同学们给这种方法起个名字。”（学生可能说出“相减法”、“加减法”等，教师予以肯定并规范为“加减消元法”。）

2.原理剖析：教师用几何画板动态演示：

1.3.将原方程组两个方程所代表的两条直线画出，其交点(

x

0

,

y

0

)

(x_0,y_0)

(x0​,y0​)即为解。

2.4.演示将两个方程相加，得到的新方程5

x

+

5

y

=

60

5x+5y=60

5x+5y=60，即x

+

y

=

12

x+y=12

x+y=12，其对应的直线也经过交点(

x

0

,

y

0

)

(x_0,y_0)

(x0​,y0​)，但未改变未知数个数。

3.5.演示将两个方程相减，得到的新方程x

−

y

=

−

4

x-y=-4

x−y=−4，其对应的直线同样经过交点(

x

0

,

y

0

)

(x_0,y_0)

(x0​,y0​)。此时，将x

−

y

=

−

4

x-y=-4

x−y=−4与原方程组中任意一个方程联立，本质上相当于用一条过交点的直线替换了另一条，但方程组解不变。从“消元”角度看，新方程x

−

y

=

−

4

x-y=-4

x−y=−4易于用代入法继续求解。

4.6.总结原理：加减消元法的代数基础是等式的基本性质（等式两边同加同减相等的整式，等式仍成立）。通过将两个方程相加或相减，目的是构造出一个未知数的系数为0的新方程，从而实现“消元”，化二元为一元。

活动2：典例解析，规范步骤

1.出示例1：解方程组

{

2

x

+

y

=

7

(

1

)

2

x

−

y

=

1

(

2

)

\begin{cases}

2x+y=7\quad(1)\\

2x-y=1\quad(2)

\end{cases}

{2x+y=72x−y=1​(1)(2)​

2.小组讨论：

1.3.问题1：观察方程组，直接相加或相减，能消去哪个未知数？为什么？

2.4.问题2：具体是相加还是相减？请写出你的计算过程。

3.5.问题3：得到一个一元一次方程后，接下来怎么做？最后需要做什么？

6.展示交流与教师精讲：

1.7.小组代表发言，说明选择“两式相加”消去y

y

y，因为y

y

y的系数分别是+1和-1，互为相反数，相加后为0。

2.8.教师用课件逐步展示规范解题过程，并同步板书，强调每一步的依据和书写格式：

解：(1)+(2)，得

(

2

x

+

y

)

+

(

2

x

−

y

)

=

7

+

1

(2x+y)+(2x-y)=7+1

(2x+y)+(2x−y)=7+14

x

=

8

(依据：等式性质1，消去了

y

)

4x=8\quad\{(依据：等式性质1，消去了\(y\))}

4x=8(依据：等式性质1，消去了

y)x

=

2

(依据：等式性质2)

x=2\quad\{(依据：等式性质2)}

x=2(依据：等式性质2)把x

=

2

x=2

x=2代入(1)，得

2

×

2

+

y

=

7

2\times2+y=7

2×2+y=7y

=

3

y=3

y=3检验：（口述或笔头）将x

=

2

,

y

=

3

x=2,y=3

x=2,y=3代入原方程组(1)(2)，验证左右两边是否相等。

所以，原方程组的解是

{

x

=

2

y

=

3

\begin{cases}

x=2\\

y=3

\end{cases}

{x=2y=3​

3.9.步骤归纳：师生共同总结加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

1.4.10.观察：观察方程组中同一未知数的系数特征。

2.5.11.变形（若需）：通过将某个方程两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等（或为相反数）。

3.6.12.加减：将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

4.7.13.求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

5.8.14.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中系数较简单的任何一个方程，求出另一个未知数的值。

6.9.15.检验：将求得的解代入原方程组进行检验（可在草稿纸上完成）。

7.10.16.写解：用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解。

活动3：变式探究，深化理解

1.出示例2（需要变形的类型）：解方程组

{

3

x

+

4

y

=

16

(

1

)

5

x

−

6

y

=

33

(

2

)

\begin{cases}

3x+4y=16\quad(1)\\

5x-6y=33\quad(2)

\end{cases}

{3x+4y=165x−6y=33​(1)(2)​

2.探究讨论：

1.3.问题1：直接相加或相减，能消去x

x

x或y

y

y吗？为什么？（不能，因为x

x

x的系数3和5，y

y

y的系数4和-6，绝对值既不相等也不互为相反数。）

2.4.问题2：我们的目标是使某一未知数系数绝对值相等。以消y

y

y为例，如何改造方程？请探索不同的变形方案。

1.3.5.方案A：将(1)×3，(2)×2，使y

y

y的系数分别变为12和-12（互为相反数）。

2.4.6.方案B：将(1)×(-3)，(2)×(-2)，使y

y

y的系数分别变为-12和12（相等）。

3.5.7.方案C：考虑消x

x

x，将(1)×5，(2)×3，使x

x

x的系数都变成15。

6.8.问题3：比较这些方案，在保证计算简便的前提下，哪种更优？（引导学生发现：通常选择系数绝对值的最小公倍数较小的未知数来消，计算量较小。本例中消y

y

y(系数4和6，最小公倍数12)和消x

x

x(系数3和5，最小公倍数15)均可，但消y

y

y稍优。同时，尽量使变形后的系数互为相反数，直接相加，避免符号错误。）

9.规范板演与要点强调：

1.10.教师选择一种方案（如方案A）进行详细板演。

2.11.强调关键点：

1.3.12.变形目标明确：要消哪个元，就针对哪个元的系数进行变形。

2.4.13.方程两边同乘：必须确保方程两边每一项都乘以同一个非零常数，保持等式成立。

3.5.14.书写清晰：将变形后的方程标为新序号，如(1')、(2')，避免混淆。

4.6.15.检验的重要性：尤其对于经过变形的复杂方程组，检验步骤不可或缺。

设计意图：本环节是新知构建的核心。通过从特殊（可直接加减）到一般（需变形后再加减）的例题序列，引导学生逐步掌握加减消元法的完整操作流程。小组讨论促进思维碰撞，教师精讲确保原理透彻、步骤规范、难点突破。强调“为什么这样变”、“怎样变更简便”，培养学生分析问题、优化策略的元认知能力。

第三环节：分层练习，巩固内化（预计时间：10分钟）

练习设计遵循“基础巩固→技能熟练→灵活应用”的梯度。

A组：基础巩固（全体必做）

1.直接指出下列方程组用加减法消去哪个未知数更简便，并说明理由。

(

1

)

{

x

+

2

y

=

4

3

x

−

2

y

=

0

(

2

)

{

2

x

+

3

y

=

7

2

x

−

5

y

=

−

1

(

3

)

{

4

x

−

3

y

=

5

2

x

+

3

y

=

13

(1)\begin{cases}x+2y=4\\3x-2y=0\end{cases}\quad

(2)\begin{cases}2x+3y=7\\2x-5y=-1\end{cases}\quad

(3)\begin{cases}4x-3y=5\\2x+3y=13\end{cases}

(1){x+2y=43x−2y=0​(2){2x+3y=72x−5y=−1​(3){4x−3y=52x+3y=13​

2.用加减消元法解下列方程组：

(

1

)

{

5

x

+

y

=

7

3

x

−

y

=

1

(

2

)

{

2

a

+

b

=

5

3

a

+

b

=

7

(1)\begin{cases}5x+y=7\\3x-y=1\end{cases}\quad

(2)\begin{cases}2a+b=5\\3a+b=7\end{cases}

(1){5x+y=73x−y=1​(2){2a+b=53a+b=7​

B组：技能熟练（大部分学生完成）

3.用加减消元法解下列需要变形的方程组：

(

1

)

{

2

x

+

3

y

=

12

3

x

+

4

y

=

17

(

2

)

{

4

(

x

+

2

)

=

1

−

5

y

3

(

y

+

2

)

=

3

−

2

x

(1)\begin{cases}2x+3y=12\\3x+4y=17\end{cases}\quad

(2)\begin{cases}4(x+2)=1-5y\\3(y+2)=3-2x\end{cases}

(1){2x+3y=123x+4y=17​(2){4(x+2)=1−5y3(y+2)=3−2x​

（提示：第(2)题先需去括号、移项，将方程组化为标准形式a

x

+

b

y

=

c

ax+by=c

ax+by=c。）

C组：灵活应用（学有余力者挑战）

4.已知关于x

,

y

x,y

x,y的方程组

{

3

x

+

2

y

=

m

+

1

4

x

+

3

y

=

m

−

1

\begin{cases}

3x+2y=m+1\\

4x+3y=m-1

\end{cases}

{3x+2y=m+14x+3y=m−1​

的解满足x

>

y

x>y

x>y，求常数m

m

m的取值范围。

5.（跨学科联系）一个简单的电路问题：两个电阻R

1

R_1

R1​和R

2

R_2

R2​并联，总电阻R

R

R满足公式1

R

=

1

R

1

+

1

R

2

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

R1​=R1​1​+R2​1​。若已知R

1

R_1

R1​比R

2

R_2

R2​小2

Ω

2\Omega

2Ω，且并联总电阻为1.2

Ω

1.2\Omega

1.2Ω，求R

1

R_1

R1​和R

2

R_2

R2​。（可提示学生先利用公式列出关于R

1

,

R

2

R_1,R_2

R1​,R2​的分式方程组，再通过设元或通分转化为整式方程组求解。）

实施方式：学生独立完成，教师巡视，关注A、B组完成情况，收集典型错误。对C组问题可进行简短思路点拨。完成后，通过投影展示优秀解答和典型错误，进行即时反馈与纠正。重点讲评B组第(2)题的“标准化”过程，以及C组问题的消元策略和不等式处理。

设计意图：分层练习满足不同层次学生需求，确保全体掌握基础，多数熟练技能，部分拓展思维。A组强化对方法选择的条件反射；B组巩固变形技能和标准化意识；C组提升分析综合能力，并融入跨学科情境与参数讨论，发展高阶思维。

第四环节：对比反思，优化策略（预计时间：5分钟）

活动：方法对比，形成决策图式

1.教师呈现本节课最初的情境方程组和练习中的几个典型方程组。

2.引导学生以小组为单位，填写对比表格：

方程组示例

代入法适用性分析

加减法适用性分析

你的选择与理由

{

3

x

+

2

y

=

28

2

x

+

3

y

=

32

\begin{cases}3x+2y=28\\2x+3y=32\end{cases}

{3x+2y=282x+3y=32​

可解，但会出现分数，计算较繁。

系数对称，直接相减可简便消元。

加减法。理由：消元直接，避免分数运算。

{

2

x

+

y

=

7

2

x

−

y

=

1

\begin{cases}2x+y=7\\2x-y=1\end{cases}

{2x+y=72x−y=1​

可将(1)中y用x表示代入(2)。

直接相加即可消去y，非常简便。

加减法。理由：步骤极少，计算简单。

{

y

=

2

x

−

5

3

x

+

4

y

=

10

\begin{cases}y=2x-5\\3x+4y=10\end{cases}

{y=2x−53x+4y=10​

方程(1)已用x表示y，代入(2)顺理成章。

需先将(1)变形为2

x

−

y

=

5

2x-y=5

2x−y=5，再考虑加减，多一步。

代入法。理由：有一个方程已表示成y

=

a

x

+

b

y=ax+b

y=ax+b形式，直接代入最方便。

{

3

x

+

4

y

=

16

5

x

−

6

y

=

33

\begin{cases}3x+4y=16\\5x-6y=33\end{cases}

{3x+4y=165x−6y=33​

需从一个方程解出一个元，表达式含分数。

通过系数变形（找最小公倍数）后可加减消元，为整数运算。

加减法。理由：虽需变形，但可全程进行整数运算，减少错误。

3.师生共同总结方法选择的一般策略：

1.4.优先考虑代入法：当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数为1或-1，或者某个方程已经是一个未知数用另一个未知数表示的简单形式时。

2.5.优先考虑加减法：当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍关系时（或通过简单乘法可实现这一点时）。

3.6.综合考量：对于系数无明显特征的方程组，代入法和加减法均可，但加减法通常能避免分式运算，在复杂情况下可能更具优势。最终选择应以计算简便、不易出错为原则。

7.教师强调：掌握多种解法并能在具体情境中做出最优选择，是数学能力的重要体现。没有一成不变的方法，只有灵活应用的智慧。

设计意图：本环节旨在提升学生的策略意识，避免机械套用。通过对比分析，帮助学生从“学会解法”上升到“会选解法”，构建起选择消元方法的决策模型，这是思维从操作层面上升到分析评判层面的关键一步。

第五环节：课堂小结，升华思想（预计时间：3分钟）

1.知识梳理：教师引导学生从“是什么”、“为什么”、“怎么用”三个维度回顾本节课。

1.2.是什么：加减消元法——通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解的方法。

2.3.为什么：代数原理是等式性质；几何意义是保持解（交点）不变的直线变换。

3.4.怎么用：遵循“观察→变形（如需）→加减→求解→回代→检验→写解”七步曲。

5.思想提炼：本节课我们反复运用了哪种重要的数学思想？（化归思想——把不熟悉、复杂的“二元”问题，转化为熟悉、简单的“一元”问题。）消元是实现化归的手段。

6.学法总结：在探索新方法时，我们经历了“发现问题→提出猜想→验证推理→归纳概括→应用反思”的科学研究一般过程。

7.情感激励：鼓励学生敢于质疑旧方法、探索新路径，欣赏数学中的简洁美与统一美。

设计意图：通过结构化的小结，帮助学生将零散的知识点串联成网，明确方法背后的思想和学习路径，实现认知结构的优化与学习方法的升华。

第六环节：布置作业，拓展延伸（预计时间：2分钟）

（作业设计体现分层、实践与探究）

1.必做题（巩固双基）：

1.2.课本对应章节的练习题。

2.3.完成学案上针对加减消元法步骤和易错点设计的专项练习。

4.选做题（能力提升）：

1.5.寻找一个生活中或其它学科（如物理、化学、地理）中可用二元一次方程组建模的问题，尝试列出方程组并分别用代入法和加减法求解，比较优劣，写成简短报告。

2.6.探究：对于方程组{

a

1

x

+

b

1

y

=

c

1

a

2

x

+

b

2

y

=

c

2

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

{a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​，什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无数组解？能否从加减消元法的变形过程中找到线索？（为后续学习埋下伏笔）

7.预习任务：预习下一课时“解二元一次方程组的综合应用”，思考如何设元、列表分析复杂应用题中的数量关系。

设计意图：作业是课堂的延伸。必做题确保基础落实；选做题满足差异化需求，促进跨学科联系和探究能力发展；预习任务引导学生持续学习。报告形式的作业有助于培养数学表达与反思能力。

六、板书设计

（左侧主板，清晰呈现知识结构与典例过程）

10.3.2加减消元法解二元一次方程组

一、思想：化归（二元→一元）

二、原理：等式的基本性质

三、一般步骤：

1.观（察系数）2.变（形，如需）3.加（减消元）

2.解（一元方程）5.回（代求另元）6.检（验解）7.写（出解集）

四、典例解析：

例1（直接加减）

{

2

x

+

y

=

7

(

1

)

2

x

−

y

=

1

(

2

)

\begin{cases}

2x+y=7\quad(1)\\

2x-y=1\quad(2)

\end{cases}

{2x+y=7(1)2x−y=1(2)​解：(1)+(2):4

x

=

8

4x=8

4x=8→x

=

2

x=2

x=2

代入(1):4

+

y

=

7

4+y=7

4+y=7→y

=

3

y=3

y=3

∴{

x

=

2

y

=

3

\begin{