矩阵可对角化的条件及应用

矩阵可对角化的条件及应用摘要PAGE15论文题目：矩阵可对角化的条件及应用摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用.关键词：对角矩阵;实对称矩阵;特征值；特征向量ABSTRACTTitle:ConditionsandApplicationofMatrixDiagonalizationABSTRACTMatrixinmathematicsinuniversityisanimportanttool,thematrixcansimplifydescriptivelanguageinmanyways,butalsoeasiertounderstand,suchaslinearequationsandquadraticequations.Similarmatrixisanequivalencerelation,similarcanbeusedtoclassifythematrix,whicharesimilartothoseofdiagonalmatrixandamatrixisparticularlyimportant,asaspecialkindofmatrixdiagonalizationmatrix,hasveryimportantsignificanceintheoryandapplication.Thiskindofmatrixhasverygoodproperties,convenientwesolveotherproblems.Inthispaper,fromthenecessaryandsufficientconditionofdiagonalizationofthematrixandthesufficientconditionstoexplorethenumberfieldinanarbitraryordermatrixdiagonalizationproblem,decisionmethodisgiven,themutualrelationshipbetweentheresearchmethods,andsomespecialmatrixdiagonalization,inthispapercanbemadeacomprehensivesummaryandanalysisofdiagonalizationmatrix,andbyusingthetheoryofhigheralgebraandlinearalgebramatrixdiagonalizationofanumberofconditionsaregiven,andalsodiscussesthemethodofcalculatingthematrixofthediagonalform,Atlast,theapplicationsofdiagonalizablematrixinfindingthehighpowerofsquarematrix,findingthevalueofdeterminantbyusingeigenvalue,invertingmatrixbyeigenvalueandeigenvector,determiningwhethermatrixissimilar,vectorspaceandlineartransformationaresummarized.KEYWOEDS:diagonalmatrix;Realsymmetricmatrix;Characteristicvalue;Eigenvectors目录目录1绪论 11.1相关的背景知识 11.1.1特征值、特征向量的概念 11.1.2矩阵可对角化的概念 11.2矩阵对角化的研究 22矩阵可对角化的条件及证明 32.1引言 32.1.1阶方阵阵的对角化问题 32.2主要内容 32.2.1线性方程组的系数矩阵 33矩阵对角化的应用 93.1引言 93.2主要内容 93.2.1求方阵的高次幂 93.2.3利用特征值求行列式的值 93.2.3由特征值与特征向量反求矩阵 103.2.4判断矩阵是否相似 103.2.5求特殊矩阵的特征值 114结论与展望 134.1结论 134.2展望 13参考文献 14致谢 151绪论1.1相关的背景知识1.1.1特征值、特征向量的概念定义1：由sn个数排成的s行（横）n列（纵）的表称为一个s×n矩阵。《高等代数》第四版高等教育出版社1.1.2矩阵可对角化的概念定义2：除一个主对角线之外的元素都是0的矩阵称为对角矩阵。《高等代数》第四版高等教育出版社《高等代数》第四版高等教育出版社定义3：如果有n级方阵B，使得AB=BA=E（E指单位矩阵），则将n级方阵A称为可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。《高等代数》第四版高等教育出版社定义4：设Α是属于P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ0，存在一个非零向量ξ，使得Αξ=λ0ξ，那么λ0称为Α的一个特征值，而ξ称为Α的属于特征值λ0的一个特征向量。《高等代数》第四版高等教育出版社定义5：设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。《高等代数》第四版高等教育出版社1.2矩阵对角化的研究对角矩阵是所有矩阵中最简单的一类矩阵。在许多的数学问题里，特别是在碰到有关于矩阵的数学问题或者是数学的分析计算和证明中都能够广泛的运用，我们也都经常需要用到对角矩阵。所以矩阵对角化的条件是一个重要的研究课题，这个课题具有广泛的应用价值。在查阅资料后，我了解到矩阵可对角化有多个条件，在这里不再论述，本文将研究矩阵可对角化的条件中最常见的几个条件。本文主要以《高等代数》展开，选取矩阵可对角化的条件进行论述和证明，再讨论矩阵对角化在解决数学问题中的应用。主要内容如下：第一章绪论简单的论述了本文所要用到的一些相关知识，本课题的研究现状和研究意义，并简述了本文的研究内容。第二章矩阵可对角化的条件及证明对矩阵可对角化的条件进行具体的论述，并进行证明。第三章矩阵对角化的应用讨论矩阵可对角化在解决数学问题中的应用，并进行总结。第四章结论与展望对全文进行总结归纳，检讨本文的不足之处，并指出了本文还需要需进一步改进及深入研究的方向。

2矩阵可对角化的条件及证明2.1引言2.1.1阶方阵阵的对角化问题矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。2.2主要内容2.2.1线性方程组的系数矩阵定理1数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明（1）充分性假设是矩阵的个线性无关的特征向量，即有,令矩阵由特征向量组成，因为是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根据逆矩阵的定义有=，另一方面，由易知,=,给此式左乘矩阵，则有=，即充分性得证。（2）必要性令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得,则有,于是记=()，则可以写成=()即有,这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。定理2设，则可以对角化的充分必要条件是：(1)的特征根都在数域内,(2)对的每个特征根,有，，其中是的重数。条件(2)也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有，即属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数是。条件(1)，(2)还可改述为:的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于。证明设是的所有不同的特征根,是齐次线性方程组的一个基础解系，则的特征向量一定线性无关。如果,则有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。若可以对角化,则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是。若不然,则由定理1可设的个线性无关的特征向量为,设是属于特征根的特征向量，则可由线性表出，从而可由向量组线性表出，于是，rank{}rank{}=与线性无关矛盾。定理3设是阶复矩阵,则与对角形矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。证明（1）充分性因无重根,由|知,的每个不变因子都不能有重根，从而特征矩阵作为复数域上的矩阵,其初等因子全为一次式，故必与对角阵相似。（2）必要性因与对角阵相似,特征矩阵的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式无重根。定理4设是维向量空间的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分必要条件是可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。证明:（1）必要性若可以对角化，则存在的一组基使得在这组基下的矩阵为，令,则，事实上：（1），则，又,，即。（2）,，且，且,，又，，,,即又线性无关=0,,即=0。（2）充分性:若可分解为个在之下不变的一维子空间的直和,即,设的基分别为则可构成的一组基。令，在基下的矩阵为，即可以对角化。定理5设是数域上的一个阶矩阵，的特征根全在内，若是的全部不同的特征根，其重数分别为，则可对角化的充要条件是秩。证明:设可对角化，则存在可逆矩阵,使这里右边是分块对角矩阵，为阶单位阵，于是有秩=秩=秩=秩=秩=秩=。反之，若秩=，则反复用本文引理1可得：=，于是有=。从而=，这样可对角化。定理6设为阶方阵,则可以对角化的充要条件为存在两两互异的使得。证明（1）必要性设阶方阵可以对角化,()为的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而有个线性无关的特征向量,即故，再由引理3得0，从而有。（2）充分性设为阶方阵且存在两两互异的数使得，记为=。设为的特征值，则必为的特征值，从而。所以,因此矩阵的特征值的取值范围为，显然当可逆时，不是的特征值；当可逆时，是的特征值。因为线性方程组的基础解系所含向量的个数即为的特征值的重数(当可逆时,不是的特征值,此时)。从而矩阵线性无关的特征向量的最大个数为。再由引理3，当时，所以，即阶方阵有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。

3矩阵对角化的应用3.1引言矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。3.2主要内容3.2.1求方阵的高次幂例：设V是数域P上的一个二维线性空间，是一组基，线性变换在下的矩阵A=，试计算。解：首先计算在V的另一组基下的矩阵，在下的矩阵为显然再利用上面得到的关系我们可以得到3.2.3利用特征值求行列式的值例：设n阶实对称矩阵=A满足，且A的秩为r，试求行列式的值。解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因为，则，从而有，因为X0，所以，即=1或0，又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使=B，其中是r阶单位矩阵，从而3.2.3由特征值与特征向量反求矩阵例：设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于的特征向量为，它应与特征向量正交，即，该齐次方程组的基础解系为，它们即是对应于的特征向量。取，则，于是3.2.4判断矩阵是否相似例：下述矩阵是否相似解：矩阵的特征值都是(二重)，，其中已是对角阵，所以只需判断是否可对角化，先考查，对于特征值解齐次线性方程组得其基础解系为，由于是的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故不可对角化或者说与不相似。再考查，对于特征值，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组，得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组，得基础解系，由于有三个线性无关的特征向量，所以可对角化，即与相似。3.2.5求特殊矩阵的特征值例：设A为n阶实对称矩阵，且，又，求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值的特征向量，所以，有，又因为，所以，所以，由此可得或0，因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即，且，故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0因为由（1）可得A~B，即存在可逆矩阵C，使得，故有=在向量空间中的应用例：设是n使维列向量空间，A是n阶复矩阵，是任一复数，令，则若A相似于对角阵，有证明：对任意，有和所以又因为A相似于对角阵，有与的解空间相同，所以和，所以。在现行变换中的应用例：设为数域P上次数小于n多项式及零多项式的全体，则微分变换在的任何一组基下的矩阵不是对角形。证明：取的一组基，则在这组基下的矩阵为，所以，若在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由知A可对角化，存在可逆矩阵T使得，所以，由的全为零知B=0，所以A=0，这不可能，所以微分变换在的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。

4结论与展望4.1结论首先介绍了确定矩阵是否对角化的若干充要条件和充要条件，但这些条件并不局限于本文所给出的条件。我已经给出了一些只有很少点的特殊矩阵的对角化，其他方面要求读者根据自己的研究领域进行总结;本文还给出了两点矩阵对角化的具体应用，目前这方面涉及较少，仅起一定的指导作用。矩阵的对角化定义可以推广，组和域的对角化判断也不同。4.2展望随着现代科学技术的发展,尤其是计算机技术的发展,矩阵理论研究进一步开辟了广阔的前景,因此,学习和掌握矩阵理论的基本理论和方法,对工程技术人员、研究生、本科生是必不可少的科学和工程院校,具有重要意义和应用价值。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数中的一个主要研究对象。讨论了矩阵可对角化的基本理论，讨论了矩阵可对角化的充要条件。

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