2024-2025学年广东省深圳市高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=2n2A．6 B．8 C．10 D．122．（5分）5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（）A．A54 B．C54 C．53．（5分）已知函数f（x）＝ex+2f'（0）sinx，则f′（0）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，含x2的项的系数为（）A．74 B．﹣74 C．64 D．﹣645．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且an+a1＝an+1（n∈N*），a9＝18，则S8＝（）A．34 B．44 C．56 D．726．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．7．（5分）按如下方式构造等腰直角三角形：令A1B1＝A1C1＝1，以A1B1，A1C1为腰作出等腰直角三角形A1B1C1，记△A1B1C1的面积为S1，令A2B2＝A2C2＝B1C1，以A2B2，A2C2为腰作出等腰直角三角形A2B2C2，记△A2B2C2的面积为S2，…，依次类推，令AnBn＝An∁n＝Bn﹣1Cn﹣1（n≥2，n∈N*），以AnBn，An∁n为腰作出等腰直角三角形AnBn∁n，记△AnBn∁n的面积为Sn，则数列{Sn}的前n项积为（）A．2(n−1)2−22C．2n2−38．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（﹣2）＝3，且f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（3x2﹣5x）f（3x2﹣5x）＜﹣6的解集为（）A．(0，23) C．(−∞，0)∪(23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＝﹣2，a3＝﹣8，则（）A．a1＝﹣2 B．a4+a5＝﹣12 C．S6＝42 D．数列{anan+1}是公比为4的等比数列（多选）10．（6分）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（）ABECDA．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有45种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ax3+3x2+4（a＞0）的极大值为8，则（）A．f（x）有1个零点 B．当﹣2＜x＜0时，f（|x|）＜f（4﹣x） C．曲线y＝f（x）关于点（﹣1，4）对称 D．过点（﹣3，4）与曲线y＝f（x）相切的直线有2条三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若(3x−1x)13．（5分）已知函数f(x)=x−4x−alnx在（2，3）上单调递减，则实数a14．（5分）若数列{an}满足1an+1−1an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．已知数列{1xn2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝x2+cosx﹣4，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求f′（0）+f′（π）的值；（2）求f（x）的最值．16．（15分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，且a2+1，a3+1，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=1anan+1，Sn为数列{bn17．（15分）某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人．（1）若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？（2）若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，{Sn}是公比为3的等比数列．（1）求Sn与an；（2）设bn＝anSn，求数列{bn}的前k项和Tk（k≥2）；（3）判断是否存在正整数s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由．19．（17分）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：y＝f（x），定义K=|f″(x)|[1+(f′(x))2]32为曲线C在点A（x，f（x））处的曲率，其中f′（x）为f（x）的导函数，f″（x（1）当m＝2时，求曲线C在点A（0，f（0））处的曲率；（2）已知曲线C在不同的两点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））处的曲率均为0．①求实数m的取值范围；②证明：x1

2024-2025学年广东省深圳市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDBADADB二．多选题（共3小题）题号91011答案ACDABABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】C【解答】解：由题意可得a3＝S3﹣S2＝15﹣5＝10．故选：C．2．【答案】D【解答】解：5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为45．故选：D．3．【答案】B【解答】解：f′（x）＝ex+2f′（0）cosx，所以f′（0）＝e0+2f′（0）cos0＝1+2f′（0），解得f′（0）＝﹣1．故选：B．4．【答案】A【解答】解：由题知x2项的系数为C5故选：A．5．【答案】D【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，且an+a1＝an+1（n∈N*），a9＝18，由an+a1＝an+1，得an+1﹣an＝a1，∴{an}是以a1为公差的等差数列，由a9＝18，得a1+8a1＝18，解得a1＝2，∴S8故选：D．6．【答案】A【解答】解：原函数的单调性是：当x＜0时，函数单调递增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增，故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．故选：A．7．【答案】D【解答】解：由题意，S1当n≥2，n∈N*时，Sn所以数列{Sn}是公比为2的等比数列，故Sn所以数列{Sn}的前n项积为2−1故选：D．8．【答案】B【解答】解：令函数g（x）＝xf（x），由于f（x）+xf′（x）＞0，因此导函数g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，因此函数g（x）在R上单调递增．又f（﹣2）＝3，因此g（﹣2）＝﹣6，所以（3x2﹣5x）f（3x2﹣5x）＜﹣6可化为g（3x2﹣5x）＜g（﹣2），因此3x2﹣5x＜﹣2，解得23即不等式（3x2﹣5x）f（3x2﹣5x）＜﹣6的解集为(2故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】ACD【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为q＝﹣2，a3＝﹣8，所以a1=a对于B，易知a4+a对于C，S6=−2[1−对于D，又an+1an+2anan+1=an+2an=q故选：ACD．10．【答案】AB【解答】解：对于A，每块区域都有4种选择，则有4×4×4×4×4＝45种不同涂法，A正确；对于B，根据题意B和D同色，A和E同色，则共有C43⋅对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有C4因A，C，E三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在A，C，E上全排，有A33种涂法，则共有C4对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有4×3×2＝24种涂法，因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误．故选：AB．11．【答案】ABD【解答】解：对于选项A：函数f（x）＝ax3+3x2+4（a＞0）的定义域为R，又f′（x）＝3ax2+6x＝3x（ax+2）（a＞0），所以当x∈(−∞，−2a)∪(0，+∞)时，f当x∈(−2a，0)时，f所以f（x）在(−∞，−2a)因为函数f（x）＝ax3+3x2+4（a＞0）的极大值为8，所以f（x）的极大值为f(−2即a(−即−8解得a＝1（负值已舍去），所以f（x）＝x3+3x2+4，则极小值为f（0）＝4＞0，所以f（x）有1个零点，故选项A正确；对于选项B：由﹣2＜x＜0，得|x|∈（0，2），4﹣x∈（2，4），所以|x|＜4﹣x，又f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（|x|）＜f（4﹣x），故选项B正确；对于选项C：因为f（x）+f（﹣2﹣x）＝x3+3x2+4+（﹣2﹣x）3+3（﹣2﹣x）2+4＝x3+3x2+（2+x）2（1﹣x）+8＝x3+3x2+（4+4x+x2）（1﹣x）+8＝x3+3x2+（4﹣3x2﹣x3）+8＝12，所以曲线f（x）关于点（﹣1，6）对称，故选项C错误；对于选项D：设过点（﹣3，4）的直线与曲线f（x）相切于点(x所以切线方程y−(x将点（﹣3，4）代入切线方程为4−(x整理得2x即2x解得x0＝﹣3或x0＝0，过点（﹣3，4）的直线与曲线f（x）相切于点（﹣3，4）或（0，4），因此过点（﹣3，4）与曲线f（x）相切的直线有2条，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】﹣540【解答】解：依题意，当x＝1时有2n＝64，∴n＝6．设二项展开式的通项公式为：Tr+1=C6r•（3x）6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r•36﹣r•C6r•x∴由6﹣2r＝0得r＝3．∴展开式中的常数项是T4＝（﹣1）3•33•C6故答案为：﹣540．13．【答案】[13【解答】解：由已知得，f′(x)=1+4题意等价于1+4x2设ℎ(x)=x+4由对勾函数性质知，h（x）在（2，3）上单调递增，所以ℎ(x)＜ℎ(3)=13故得a≥133，即实数a的取值范围是故答案为：[1314．【答案】22【解答】解：根据题意可得{x又x1所以(x12所以x2所以x22+x20242当且仅当x2=x因为(x2+x2024)2=x所以x2+x2024的最大值为22故答案为：22四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为f（x）＝x2+cosx﹣4，所以f′（x）＝2x﹣sinx，所以f'（0）+f'（π）＝0﹣sin0+2π﹣sinπ＝2π．（2）因为f′（x）＝2x﹣sinx．令g（x）＝2x﹣sinx，则g′（x）＝2﹣cosx＞0恒成立，所以g（x）在R上单调递增．又g（0）＝0，所以当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝0处取极小值也是最小值，无最大值，且f（0）＝0+cos0﹣4＝﹣3，即f（x）的最小值为﹣3，无最大值．16．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）16．【解答】解：（1）等差数列{an}的首项a1＝1，且a2+1，a3+1，a5成等比数列，设等差数列{an}的公差为d，依题意，(a3+1)2则（2+2d）2＝（2+d）（1+4d），解得d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（2）由（1）知an＝2n﹣1，则bn所以Sn由Sn=1633，即故满足Sn=1617．【答案】（1）24种；（2）1320种．【解答】解：已知指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人，（1）由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司，所以共有A4（2）6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司，则有(C若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司，则有C4所以甲、乙不在同一家公司共有1560﹣240＝1320种不同的分配方法．18．【答案】（1）an（2）Tk（3）不存在．【解答】解：（1）因为{Sn}是公比为3的等比数列，且S1＝a1＝3，所以Sn当n≥2时，an所以an（2）因为S所以bn当n≥2时，{bn}是公比为9的等比数列，因为k≥2，所以Tk（3）假设存在s，t，r（s＜t＜r），使as，at，ar成等差数列，若s＝1，则3+2×3r﹣1＝4×3r﹣1，3+2×3r﹣1是奇数，4×3i﹣1是偶数，奇数与偶数不可能相同，矛盾；若s≥2，则2×3s﹣1+2×3r﹣1＝4×3t﹣1，得1+3r﹣s＝2×3t﹣s，ω因为r≥t+1，所以1+3r﹣s≥1+3t﹣s+1＝1+3×3t﹣s＞2×3t﹣s，与假设矛盾，所以不存在正整数s，t，r（s＜t＜r），使得as，at，ar成等差数列．19．【答案】（1）525（2）①（0，1）；②证明见解析．【解答】解：（1）当m＝2时，f′（x）＝（2﹣x）ex﹣2x，f″（x）＝（1﹣x）ex﹣2，∴f′（0）＝2，f″（0）＝﹣1，故曲线C在点A（0，f（0））处的曲率K=|−1|（2）f′（x）＝（2﹣x）ex﹣mx，f″（x）＝（1﹣x）ex﹣m，∵曲线C在不同的两点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））处的曲率均为0，∴f″（x1）＝f″（x2）＝0，则方程（1﹣x）ex＝m有两个根x1，x2，设g（x）＝（1﹣x）ex，则g′（x）＝﹣xex，当