湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（含答案）

襄阳四中2024级高二下学期三月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.2.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.内切 D.外切3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.在区间上单调递减 B.在处取得极大值C.在区间上单调递减 D.在处取得极小值4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里5.在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.6.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.8.已知在数列中，，，，则中的最大项是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列B.4与9的等比中项为C.在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8D.等比数列是递增数列，则的公比10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（）A. B.C.异面直线与所成的角为 D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（）A.的渐近线方程为 B.的实轴长是2C.面积是12 D.的外接圆半径是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调减区间是_____.13.数列满足，，则数列的前9项和为____．14.已知直线与交于两点，（1）时，______；（2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程.（2）当，求函数的极值.16.已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.17.如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点，平面与棱交于点．（1）求证：为的中点；（2）若为的中点，平面平面，求二面角的余弦值．18.已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴不重合，求△面积最大值；（3）求证：直线过定点，并求出该定点坐标19.已知为正项数列的前n项和，且．（1）求的通项公式．（2）已知数列满足：①，②，③．（i）求．（ii）证明：．（iii）若，求q的取值范围．襄阳四中2024级高二下学期三月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程可直接求得准线方程.【详解】由抛物线方程可得准线方程为：.故选：B.2.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.内切 D.外切【答案】D【解析】【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径进行比较，得到答案.【详解】圆，圆，所以两圆圆心为，，所以，两圆半径分别为，，所以，所以两圆位置关系为外切.故选：D.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.在区间上单调递减 B.在处取得极大值C.在区间上单调递减 D.在处取得极小值【答案】D【解析】【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可.【详解】对A，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故A错误；对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误；对C，当时，此时单调递增，故C错误；对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确.故选：D.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里【答案】A【解析】【分析】先根据题意转化为等比数列模型，相当于求，直接套公式求即可.【详解】由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列，且前6项和为252.设首项为，则有，解得：=128.∴故选：A【点睛】（1）数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．5.在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可.【详解】因为，直线的方向向量，所以，因为，所以点到直线的距离为，故选：A6.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率.【详解】设圆柱底面半径为，则底面圆的直径为，椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即，长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得，所以，所以该椭圆的离心率，故选：D.7.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得.【详解】，因为函数在区间单调递增，所以区间恒成立，即在区间恒成立，即在区间恒成立，由对勾函数的单调性可得故.故选：D.8.已知在数列中，，，，则中的最大项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为.【详解】记，由题意得，整理可得，得，即，又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，即，当时，，即，所以，故中的最大项为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列B.4与9的等比中项为C.在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8D.等比数列是递增数列，则的公比【答案】ABC【解析】【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由等比数列的性质可知，即可求解；D选项举反例可判断.【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为，则，所以是公差为的等差数列，又，所以是公比为的等比数列，所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确；对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确；对于C选项，由等比数列的性质可知，且，所以，的可能值为，或，或，或，或，，则，或，或，故C正确；对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误.故选：ABC10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（）A. B.C.异面直线与所成的角为 D.【答案】AD【解析】【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以，所以，即，故B错误；对于C：因为，，所以，所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D：因为，，所以，所以，即，故D正确.故选：AD11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（）A.的渐近线方程为 B.的实轴长是2C.的面积是12 D.的外接圆半径是【答案】BCD【解析】分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合直角三角形边角关系求出，再逐项分析求解.【详解】设，直线，由，得，则，由直线的斜率是，得，由双曲线定义得，由的周长是16，得，即，则，而，因此，解得，双曲线，对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误；对于B，双曲线的实轴长是2，B正确；对于C，，的面积是，C正确；对于D，，，因此的外接圆半径，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调减区间是_____.【答案】【解析】【分析】求导，解不等式即可.【详解】，解得，故的单调减区间是.故答案为：13.数列满足，，则数列的前9项和为____．【答案】30【解析】【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为2的等差数列，数列是首项为，公差为2的等差数列，据此求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解．【详解】由，可得，两式相减，可得，又由且，可得，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，数列是首项为，公差为2的等差数列，即为奇数时，，为偶数时，，所以，所以．故答案为：30．14.已知直线与交于两点，（1）时，______；（2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______．【答案】①.；②.【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求解；（2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解.【详解】（1）当时，，所以圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线的距离为.所以弦长（2）由，得圆的圆心坐标为,半径为.由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角，所以圆心到直线的距离为,即，解得，即或.且直线与交于两点，所以，解得故实数的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程.（2）当，求函数的极值.【答案】（1）（2）极小值，极大值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得；（2）对函数求导，分析函数单调性，即得函数的极值.【小问1详解】当时，，则，所以，而，故函数在点处的切线方程为.【小问2详解】当时，，函数的定义域为，则，令，得或；令，得，故函数在和上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值；在处取得极大值.16.已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据，列方程组求解即可；（2）错位相减法求即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为是公比大于0的等比数列，且，所以是各项都为正数的等比数列，设其公比为.由可得：，解得或（负值舍去），则，；【小问2详解】由（1）知，所以，两式相减可得，整理得.17.如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点，平面与棱交于点．（1）求证：为的中点；（2）若为的中点，平面平面，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质可得，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可求出答案.【小问1详解】因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以为的中点．【小问2详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，因此，故两两垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，所以，由图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．18.已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与轴不重合，求△面积的最大值；（3）求证：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）（2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）由题意可得，利用椭圆的定义可求得，进而可求得，可求椭圆的方程；（2）设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，根据韦达定理可得，结合基本不等式求得△面积的最大值；（3）设，由题意可得定点在点