2024-2025学年广东省深圳市北京师大南山附属学校八年级（下）期中数学试卷及答案

2024-2025学年广东省深圳市北京师大南山附属学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.志愿服务传递爱心，传播文明.下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.已知x<y，则下列不等式一定成立的是（）A.x+5<y−5B.−2x<−2yC.aD.x3.把分式2x−3yx+y中的x，y的值都扩大为原来的4A.扩大为原来的4倍B.扩大为原来的8倍C.缩小为原来的1D.不变4.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N.作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD.若AB=7，AC=12，BC=10，则A.18B.19C.22D.255.如果关于x的方程4xx−2−1=kA.−10B.−8C.−6D.−46.下列命题是真命题的是（）A.有一个角是60∘B.若a>b，则aC.在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上D.用反证法证明：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90∘7.如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（）A.3B.4C.5D.68.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D、E为BC边上两点，∠DAE=45∘，过A点作AF⊥AE，且AF=AE，连接DF、BF.下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD=4，CE=3，则AB=62A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题（共5小题）9.若分式x2−4x+2的值为0，则x10.如图，y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式x+1<ax+3的解集是.11.如果一元一次不等式组&x>2&x>a的解集为x>2，那么a的取值范围是12.如图，已知点A，B的坐标分别为(2,4)，(6,0)，将△OAB沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到△DCE，若OE=8，则点C的坐标为.13.如图，△ABC中，∠ABC=60∘，点P是△ABC内一点，AB=4，BC=6，则PA+PB+PC的最小值是三.解答题（共7小题）14.(1)分解因式：①x3②9(x−y)(2)解分式方程：①3x②1x−215.(1)解不等式组&3(x+1)>5x−1&上表示出来；(2)先化简(a+1−3a−1)÷a2+4a+4a−1，再从−216.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上.(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B(2)画出△A1B1C(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A17.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，DA=DC，DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N.(1)求证：Rt△ADM≌Rt△CDN；(2)若∠ABC=60∘，BD=6，求四边形18.根据以下素材，探索完成任务为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品素材1若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.素材2若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元素材3若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元问题解决任务1探索商品单价求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？任务2探究购买方案求出该商店共有几种进货方案？任务3确定最优方案在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？19.教科书中这样写道：“形如a2例如：分解因式：x2解：原式=(再如：求代数式2x解：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)分解因式：x(2)当x为何值时，多项式−2x(3)利用配方法，尝试求出等式a2+5b2−4ab−2b+1=020.几何探究题(1)发现：在平面内，若BC=a，AC=b，其中a>b.当点A在线段BC上时（如图1)，线段AB的长取得最小值，最小值为______；当点A在线段BC延长线上时（如图2)，线段AB的长取得最大值，最大值为______.(2)应用：点A为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE.①证明：CD=BE；②若BC=3，AC=1，则线段CD长度的最大值为______.(3)拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘.请直接写出线段AM长的最大值及此时点2024-2025学年广东省深圳市北京师大南山附属学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1、【答案】D【知识点】中心对称图形,轴对称图形2、【答案】D【知识点】不等式的性质3、【答案】D【知识点】分式的基本性质4、【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质,作一条线段的垂直平分线5、【答案】B【知识点】分式方程的增根6、【答案】C【知识点】命题与定理,反证法7、【答案】C【知识点】等边三角形的性质,含30度角的直角三角形8、【答案】C【知识点】等腰直角三角形二.填空题（共5小题）9、【答案】2【知识点】分式的值为零的条件10、【答案】x<1【知识点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题11、【答案】a⩽2【知识点】解一元一次不等式组12、【答案】(4,4)【知识点】坐标与图形变化-平移13、【答案】2【知识点】旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理,轴对称-最短路线问题三.解答题（共7小题）14、【解答】解：（1）①x=x(=x(x−3)(x+3)②9==(3x−3y−2)(2)①原方程两边都乘以x(x+1)得：3整理得，3x+3=2x，解得：x=−3，检验：把x=−3代入x(x+1)≠0∴x=−3是原方程的解.②原方程两边都乘以(x−2)得：1=−(1−x)−3(x−2)解这个方程得：x=2，检验：把x=2代入x−2=0，∴x=2是原方程的增根，即原方程无解.【知识点】提公因式法与公式法的综合运用,解分式方程15、【解答】解：(1){3(x+1)>5x−1解不等式①，得：x<2，解不等式②，得：x⩾−1，∴原不等式组的解集为−1⩽x<2，其解集在数轴上表示如下，；(2)(a+1−=(==a−2∵当a=1或−2时，原分式无意义，∴a=0或2，当a=0时，原式=0−2当a=2时，原式=2−2【知识点】分式的化简求值,在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式组16、【解答】解：（1）如图，△A1(2)如图，△A(3)旋转中心Q的坐标为(−2,0)，故答案为：(−2,0).【知识点】作图-旋转变换,作图-平移变换17、【解答】(1)证明：∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM=DN，在Rt△ADM和Rt△CDN中，&DM=DN∴Rt△ADM≌Rt△CDN(HL)(2)解：∵∠ABC=60∘，BD平分∴∠DBC=1在Rt△BDN中，∠DBC=30∘，∴DN=12BD=∴S在Rt△BDM和Rt△BDN中，&DM=DN∴Rt△BDM≌Rt△BDN(HL)∴S由（1）知：Rt△ADM≌Rt△CDN，∴S∴====2=2=93∴四边形ABCD的面积为93【知识点】全等三角形的判定与性质,角平分线的性质18、【解答】解：任务1：设购进A、B两种纪念品每件各需x元、y元，依题意得：&8x+3y=950解得：&x=100答：购进A、B两种纪念品每件各需100元、50元；任务2：设该商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品有(100−a)件，根据题意得：&100a+50(100−a)≥7000100a+50(100−a)≤7500解得：40⩽a⩽50，∵a取正整数，∴共有11种进货方案；任务3：设利润为W，根据题意得：W=20a+30·(100−a)=−10a+3000由一次函数的性质可知，此函数W随a的增大而减小，且40⩽a⩽50，所以当a=40时，W取最大值即2600元，即当该商店购进A种纪念品40件，购进B种纪念品有60件时，利润获取最大为2600元.【知识点】二元一次方程组的应用-方案问题,一次函数的应用-方案问题19、【解答】解：(1)(x+1)(x−7)(2)∵−2x∴当x=−1时，多项式−2x−4x+5有最大值，最大值是7；(3)∵a∴a∴(a∴(a−2b)∴a−2b=0，b−1=0，解得a=2，b=1.【知识点】非负数的性质：偶次方,因式分解的应用20、【解答】解：(1)∵当点A在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为BC−AC，∵BC=a，AC=b，∴BC−AC=a−b当点A在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为BC+AC，∵BC=a，AC=b，∴BC+AC=a+b，故答案为：a−b，a+b；(2)①∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∴∠DAC=∠BAE，在△ACD和△AEB中，&AD=AB∴△ACD≌△AEB(SAS)∴CD=BE；②∵线段CD的最大值=线段BE长的最大值，由（1）知，当线段BE的长取得最大值时，点E在BC的延长线上，∴最大值为BC+CE=BC+AC=4；故答案为：4；(3)∵将△APM绕着点P顺时针旋转90∘得到△PBN，连接AN则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，∴OA=2，OB=5，∴AB=