2024-2025学年广东省广州大学附中八年级（下）期中数学试卷及答案

2024-2025学年广东省广州大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.(3分)下列二次根式中，最简二次根式是（）A.12B.1C.5D.1.22.(3分)下列各式计算错误的是（）A.2+B.2C.(−3D.183.(3分)如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（）A.12B.9C.8D.104.(3分)下列命题是假命题的是（）A.平行四边形的对边相等B.四条边都相等的四边形是菱形C.矩形的两条对角线互相垂直D.正方形的对角线垂直平分且相等5.(3分)一服装店新进某种品牌五种尺码的衬衣，经过试卖一周，各尺码衬衣的销售量列表如下：尺码3940414243销售量（件）61015135据上表给出的信息，仅就经营该品牌衬衣而言，你认为最能影响服装店经理决策的统计量是（）A.平均数B.中位数C.众数D.极差6.(3分)五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离S(千米)与时间t(时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法错误的是（）A.景点离亮亮的家180千米B.亮亮到家的时间为17时C.小汽车返程的速度为60千米/时D.10时至14时，小汽车匀速行驶7.(3分)已知点(x1，y1)、(x2，y2)都在直线A.yB.yC.yD.不能比较8.(3分)若一次函数y=(2k−1)x+k的图象不经过第三象限，则kA.k>0B.0<k<C.k⩾0D.0⩽k<9.(3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（）A.24B.16C.12D.810.(3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B均在x轴上，点D在y轴上，点C在第一象限，已知直线AD的函数解析式为：y=43x+4，点P是直线BDA.41B.4C.5D.5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.(3分)要使a+1在实数范围内有意义，则a的取值范围是.12.(3分)学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占40%，投球技能占60%计算选手的综合成绩（百分制），选手小林控球技能得90分，投球技能得70分.小林的综合成绩是.13.(3分)一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4<2x的解集是14.(3分)若直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，过点A(3,2)，则关于x的方程kx+2k+b=2的解为15.(3分)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，则PO的长为.16.(3分)已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合)。且BE=CF，连接OE，OF，EF.在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3；④四边形OECF的面积是1正确的是.三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(4分)计算：(1218.(4分)如图，已知AC是▱ABCD的一条对角线，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N.求证：四边形BMDN是平行四边形.19.(6分)广大附中为开展“悦读”活动，对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表.(1)补全条形统计图，扇形统计图中的a=______；(2)本次抽样调查中，中位数是______，扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为______度；(3)若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数.20.(6分)如图，直线y=23x+4与x轴相交于点A，与y(1)求△AOB的面积；(2)过B点作直线BC与x轴相交于点C，若△ABC的面积是16，求点C的坐标.21.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于D(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求CD的长.22.(10分)学校开展大课间活动，需要购买A、B两种型号的跳绳，已知购买2根A型号和1根B型号需35元；购买3根A型号与购买2根B型号需60元.(1)求A型号跳绳和B型号跳绳单价各多少元；(2)若某班级计划购买A、B两种型号的跳绳共45根，其中B型号的数量不少于A型号数量的2倍，请问如何购买总费用最少，最少是多少元？23.(10分)已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k<0)的图象经过点(−1,2).(1)若k+2b=1，求一次函数的表达式.(2)当−2⩽x⩽3时，该一次函数的最大值为6，求k的值.(3)若该一次函数的图象经过第一象限，且S=k−2b，求S的取值范围.24.(12分)新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”.(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD=110∘，∠BCD=150(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC2=2AB2①试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；②如图3，点P在线段BC上，BC=6，过点B作BE⊥DP于点E，过点C作CF⊥DP于点F，则BE+CF的最大值为______；(3)若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90∘，且BD为“界线”，请直接写出25.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−x+4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l2：y=kx+2k(k≠0)与x轴相交于点C，与直线l1相交于点(1)分别求点A，B，C的坐标；(2)设△BCD的面积为S1，△ACD的面积为S2，若S1(3)以BC，CD为边作▱BCDE，连接CE，交BD于点F，分别取DE的中点M，BE的中点N，连接FM，FN，当FM+FN取得最小值时，求此时▱BCDE的面积.2024-2025学年广东省广州大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1、【答案】C【知识点】最简二次根式2、【答案】A【知识点】二次根式的混合运算3、【答案】D【知识点】勾股定理4、【答案】C【知识点】命题与定理5、【答案】C【知识点】统计量的选择6、【答案】D【知识点】函数的图象7、【答案】A【知识点】一次函数图象上点的坐标特征8、【答案】D【知识点】一次函数图象与系数的关系9、【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质10、【答案】A【知识点】点的坐标二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11、【答案】a⩾−1【知识点】二次根式有意义的条件12、【答案】78分【知识点】加权平均数13、【答案】x>1.5【知识点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题14、【答案】x=1【知识点】一次函数与一元一次方程15、【答案】5【知识点】动点问题的函数图象16、【答案】①③④【知识点】平方根,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性质三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、【解答】解：原式==6+=6.【知识点】二次根式的混合运算18、【解答】证明：∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90∴DN∥BM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAN=∠BCM，∴△ADN≌△CBM(AAS)∴DN=BM，∴四边形BMDN是平行四边形.【知识点】全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质19、【解答】解：(1)调查的总人数为18÷36%=50(人)，阅读5本的人数为50−18−14−8=10(人)，∴a%=10∴a=20，补全条形统计图如下：故答案为：20；(2)将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，故中位数为6+62扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为360∘故答案为：6，72；(3)600×14+8答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人.【知识点】用样本估计总体,扇形统计图,条形统计图,中位数20、【解答】解：（1）把x=0代入y=2y=4，即点B的坐标为：(0,4)，把y=0代入y=223解得：x=−6，即点A的坐标为：(−6,0)，S△AOB即△AOB的面积为12，(2)根据题意得：点B到AC的距离为4，S△ABC解得：AC=8，即点C到点A的距离为8，−6−8=−14，−6+8=2，即点C的坐标为：(−14,0)或(2,0).【知识点】点的坐标21、【解答】解：(1)作图如下：则AD是∠ABC的平分线.(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=A作DE⊥AB，垂足为E.∵∠ACB=90∵AD是∠ABC的平分线，∴CD=DE，设CD=DE=x，∴DB=6−x，∵∠C=∠AED=90∘，AD=AD，∴Rt△ADC≅Rt△ADE(HL)∴AC=AE=8，∴EB=AB−AE=10−8=2，在Rt△DBE中由勾股定理得：x2解方程得x=8∴CD=8【知识点】角平分线的性质22、【解答】解：（1）设A型号跳绳单价为x元，B型号跳绳单价为y元，根据题意得：&2x+y=35解得：&x=10答：A型号跳绳单价为10元，B型号跳绳单价为15元，(2)设购买A型号跳绳m根，则购买B型号跳绳(45−m)根，根据题意得：45−m⩾2m，解得：m⩽15，设购买跳绳所需费用为w元，根据题意得：w=10m+15(45−m)=−5m+675∵−5<0，∴w随m的增大而减小，∴当m=15时，w取得最小值，最小值=−5×17+675=600，此时，45−m=30，答：购买A型号跳绳15根，B型号跳绳30根总费用最少，最少费用是600元.【知识点】一次函数的应用-方案问题23、【解答】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k<0)的图象经过点(−1,2)，将点(−1,2)2=−k+b，联立得：&2=−k+b解得：&k=−1∴一次函数的表达式为：y=−x+1；(2)∵k<0，∴一次函数y随x的增大而减小，∵当−2⩽x⩽3时，该一次函数的最大值为6，∴当x=−2时，y=−2k+b=6，∵一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k<0)的图象经过点(−1,2)，将点(−1,2)代入一次函数解析式得：2=−k+b，联立得：&2=−k+b解得：&k=−4(3)根据题意：2=−k+b，即k=b−2，∴S=b−2−2b=−b−2，∵一次函数的图象经过第一象限，且k<0，∴b>0，∴−b−2<−2，∴S<−2.【知识点】一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征24、【解答】(1)解：如图1，连接BD，∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴AB=AD，CB=CD，在△ABD中，∠ABD=∠ADB=1在△BCD中，∠CBD=∠CDB=1∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=35+15=50故答案为：50；(2)①证明：如图2，连接BD，∵AB=AD，∠A=60∴△ABD是等边三角形，∴∠A=∠ABD=∠ADB=60∘，∵∠ADC=150∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=150∴BD⊥CD，∴BC∵BC2=2A∴BD∴BD∵BD>0，CD>0，∴BD=CD，且AB=AD，∴四边形ABCD是“等腰四边形”；②解：如图3，连接BD，由上述证明可得，四边形ABCD是“等腰四边形”，∴BD=CD，∠BDC=90∵BE⊥DP，CF⊥DP，∴∠E=∠CFD=90∵∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90∴∠BDE=∠DCF，∴Rt△BDE≌Rt△DCF(AAS)∴BE=DF，DP=CF，∴BE+CF=DF+CF，如图所示，过点D作DP'⊥BC，B当点P'，E'，F'三点共线时，BE=BE'故答案为：6；(3)解：第一种情况：如图4，AB=BC=CD，∠ABC=90∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴AB=AD，CB=CD，∴△ABD≌△CBD(SSS)∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=∴四边形ABCD是菱形，且∠ABC=90∴菱形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDB=45∴∠ADC=90第二种情况：如图5，AB=BC=CD，∠ABC=90∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴BA=BD，CB=CD，∴AB=BC=CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=∠CDB=60∵∠ABC=90∴∠ABD=30在△ABD中，∠A=∠ADB=1∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=60第三种情况：如图6，AB=BC=CD，∠ABC=90∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，∴DA=DB，CB=CD，设AB=BC=CD=x，作DG⊥AB于点G，作点C关于DG的对称点H，连接CH交DG于点K，连接DH，则DG垂直平分CH，DC=DH=x，∴AG=BG=1∵DG⊥AB，即∠DGB=90∘，∠ABC=90∘，∴四边形BCKG是矩形，则BC∥DG，∴BH=CK=1∴CH=2CK=2×∴△CDH是等边三角形，∴∠CDH=60∴∠CDG=∠HDG=12∠CDH=∵BC∥DG，∴∠BDG=∠CBD，∴∠CDB+∠CBD=30∵BC