电路分析基础2036

1.1实际电路和电路模型

1.2电路的基本变量

1.3电路元件

1.4基尔霍夫定律

1.5练习题及解答提示

习题1第1章电路分析的基本概念和定律电路理论包括电路分析和电路综合两个分支。电路分析是指根据已知的电路结构和元件参数求解电路的特性；电路综合则是根据对电路性能的要求，确定合适的电路结构和元件参数，实现所需的电路性能。本书仅学习电路分析方面的内容。电路分析的对象是电路模型，而电路模型是由理想的电路元件构成的。电路中的电压、电流一定受两类约束的支配：一类是电路元件自身的电压、电流约束；另一类是由元件的连接方式而引入的拓扑约束，这种拓扑约束由基尔霍夫定律来表达，该定律是集总参数电路的基本定律。

本章介绍电路模型和理想的电路元件，还介绍电路分析中的基本变量和基尔霍夫定律。实际电路是由各种电器按一定的方式互相连接而组成的。实际电路通常包括三个部分：一是提供能量或信号的电源；二是用电装置，称为负载；三是连接电源和负载的导线、开关等中间环节。实际电路的主要功能可概括为两个方面：一是进行电能的产生、传输、分配与转换，如电力系统中的发电、输配电线路等；二是实现信号的产生、传递、变换、处理与控制，如电话、收音机、电视机电路等。1.1实际电路和电路模型大至长距离的电力输电线，小至芯片上的集成电路，电路的功能千差万别，结构各异，但它们受共同的基本规律所支配。在这种共同规律的基础上，形成了“电路理论”这一学科。“电路分析”属“电路理论”学科，通过这门课程的学习，应使学生掌握电路的基本理论和基本分析方法，为学习电类专业及进一步学习电路理论打下基础。

电路分析的对象是电路模型，电路模型是实际电路在一定条件下的科学抽象和精确的数学描述。电路分析中所说的电路，是指由各种理想电路元件按一定的方式互连而组成的整体。理想电路元件是指人为定义的有精确数学描述的假想元件。每一种理想电路元件表示实际器件所具有的一种主要电磁性能(物理性质)。例如，理想电阻元件仅表示消耗电能的特征，理想电容元件仅表示储存电场能量的特征，理想电感元件仅表示储存磁场能量的特征。这三种理想元件模型如图1-1所示。图1-1三种基本电路元件的图形符号由理想电路元件构成的电路称为电路模型。今后所说的电路除特别说明外，均指电路模型，所说的电路元件均指理想电路元件。图1-2(a)为一简单的实际电路，这是一个照明电路；其电路模型如图1-2(b)所示。

图1-2实际照明电路和电路模型实际电路部件的运用一般都与电能的消耗及电磁能的储存现象有关，它们交织在一起并发生在整个部件中。电路分析中，假定这些现象可以分别研究，并且这些电磁过程都分别集中在各理想元件之中，故理想电路元件又称为集总参数元件，简称为集总元件。由集总元件构成的电路称为集总参数电路，简称为集总电路。由于集总元件的特性是集中表现在空间的一个点上，因此在集总电路中，任一时刻该电路在任一处的电流、电压都是与其空间位置无关的确定值。用集总电路模型来近似描述实际电路是有条件的，它要求实际电路的尺寸l(长度)应远小于电路最高工作频率f所对应的波长λ，即

l<<λ

其中：λ=c/f，c(光速)=3×108m/s。

我国电力用电的频率是50Hz，对应的波长为6000km，对以此为工作频率的实验室设备来说，其尺寸与这一波长相比可以忽略不计，因而采用集总的概念是合适的。但对于远距离的输电线来说，就不满足上述条件，所以不能采用集总参数，而要用分布参数来表征。本书只讨论集总参数电路。通过电路分析，可以得到给定电路的电性能，而电性能通常可用一组表示为时间函数的物理量来描述。这些物理量通常称为电路变量，电路分析的任务就是解得这些变量。最常用的变量是电流、电压和功率，另外还有电荷、磁通和能量。电流和电压的参考方向是重要的基本概念，在学习过程中要给予关注。1.2电路的基本变量

1.2.1电流及其参考方向

电子和质子都是带电的粒子，电子带负电荷，质子带正电荷。电荷在导体中的定向运动形成电流。

单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流强度，简称电流，用符号i表示，即

习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的实际方向。(1-1)

如果电流的大小和方向都不随时间而变，则这种电流称为恒定电流或直流电流，可用大写字母I表示。如果电流的大小和方向都随时间变化，则称这种电流为交变电流或交流电流，用小写字母i表示。

在国际单位制(SI)中，电流的单位为安培(简称安，符号为Ａ)，电荷的单位为库仑(简称库，符号为C)，时间的单位为秒(符号为s)。

在信息工程领域，电路中的电流一般较小，常用毫安(mA)、微安(μA)作为电流的单位。而在电力系统中，电流一般较大，有时用千安(kA)作为电流单位。它们之间的换算关系是：

1kA=103A1mA=10－3

A1μA=10－6A

对于给定的简单电路，电流的实际方向容易判定。但当电路较为复杂时，我们常常很难确定电路中某元件上电流的实际方向。况且，在交流电路中电流的实际方向在不断改变。因此，为了方便确定电路中某一电路元件的电流实际方向，我们引入了电流参考方向的概念。任意给定电路中某元件上的电流方向即为参考方向。可见，电流的参考方向是人为假定的电流方向。在图1-3所示电路中，流经元件的电流i的参考方向可用箭头表示，也可用双下标iab表示，iab表示电流的参考方向由a指向b。

既有电流的参考方向，又有带有正号或负号的代数值，才能给出电流的完整解答，只有数值而无参考方向的电流是没有意义的。因此求解电路时，要先选定电流的参考方向。应该注意，虽然参考方向可任意选定，但一旦选定，就不能再改变。

在给定的电流参考方向下，若计算出的电流值为正值，则表明电流的参考方向与真实方向一致；若计算出的电流值为负值，则表明电流的参考方向与真实方向相反。图1-3电流的参考方向1.2.2电压及其参考方向

电压即两点之间的电位之差，用符号u表示。电路中a、b两点间的电压表明了单位正电荷由a点转移到b点时所获得或失去的能量，即

式中:dq为由a点移至b点的电荷量，单位为库仑(C)；dw为转移过程中，电荷dq所获得或失去的能量，单位为焦尔(J)。(1-2)习惯上把电位降落的方向(高电位指向低电位)规定为电压的实际方向。通常电压的高电位端标为“＋”极，低电位端标为“－”极。

如果电压的大小和方向都不随时间而变，则这种电压称为恒定电压或直流电压，用大写字母U表示。如果电压的大小和方向都随时间变化，则称这种电压为交变电压或交流电压，用小写字母u表示。

在国际单位制(SI)中，电压的单位为伏特(简称伏，符号为V)。在无线电电路中，电压一般较小，常用毫伏(mV)、微伏(μV)作为电压单位。在电力系统中，电压一般较大，有时用千伏(kV)作为电压单位。它们之间的换算关系是：

1kV=103V1mV=10－3V1μV=10－6V同需要为电流选定参考方向一样，也需要为电压选定参考方向(参考极性)。通常在电路图中用“＋”表示参考方向的高电位端，用“－”表示参考方向的低电位端，如图1-4所示。电压的参考极性同样是任意选定的。

电压的参考方向也可用双下标表示。在图1-4中，电压u也可用uab表示，uab表示电压的参考方向由a指向b。还可用箭头表示电压的参考方向，箭头指向是从高电位端指向低电位端。

在电压参考极性下，若计算出的电压值为正值，则表明电压的参考极性与真实极性一致；若计算出的电压值为负值，则表明电压参考极性与真实极性相反。图1-4电压的参考方向在求解电路时，必须首先选定电压的参考方向，只有数值而无参考方向的电压是没有意义的。

电压即两点之间的电位之差，而电位的计算是相对于参考点来说的。指定电路中的某一点为参考点，通常用符号“⊥”表示，参考点的电位为零。电路中各点的电位指该点到参考点间的电压。1.2.3关联参考方向

在分析电路时，电流和电压的参考方向是可以独立无关地任意假定的。但为了方便起见，对同一元件或同一段电路，常采用关联的参考方向，即电流参考方向与电压参考“＋”极到“－”极的方向一致，也就是电流与电压降的参考方向一致，如图1-5所示。

当电流、电压采用关联参考方向时，在电路图上就只需标出电流的参考方向和电压参考极性中的任意一个即可。图1-5关联参考方向1.2.4电功率和能量

电路在工作状况下总伴随有电能与其他形式能量的相互交换。另外，电气设备和电路部件本身都有功率的限制，在使用时要注意其电流值或电压值是否超过额定值。所谓额定值，就是制造厂为使产品能在给定的工作条件下正常运行而规定的正常允许值。过载会使设备或部件发生损坏，或是不能正常工作。因此，在电路的分析和计算中，能量和功率的计算十分重要。我们把能量对时间的变化率称为功率，用字符p表示，即

由式(1-1)和式(1-2)可得功率与电压、电流的关系式如下：

(1-3)

(1-4)式(1-4)是当电压、电流为关联参考方向时，对图1-6(a)所示二端电路(网络)吸收功率的表示式。当二端网络的电压、电流为非关联参考方向时，如图1-6(b)所示，其吸收功率的表示式如下：

p=－ui

(1-5)

需要指出的是：无论是式(1-4)还是式(1-5)，都是指吸收功率的计算式。若计算出的功率为正值，则表明二端网络吸收了功率；若计算出的功率为负值，则表示该二端网络发出功率。

图1-6二端网络功率的计算在国际单位制(SI)中，功率的单位是瓦特(简称瓦，符号为W)。

1瓦＝1焦［耳］／秒＝1伏·安

当电压、电流为关联参考方向时，从t0到t时刻内电路吸收的能量为

在国际单位制(SI)中，能量的单位为焦耳，简称焦(Ｊ)。(1-6)

例1-1

图1-7所示各电路中，某时刻端子上的电压、电流已给出，求该时刻各电路吸收或产生的功率。

解在图1-7(a)中，电压、电流为关联参考方向，由式(1-4)得

p=ui=－2×1=－2W

图1-7(a)所示电路吸收功率为－2W，即产生功率为2W。

在图1-7(b)中，电压、电流为非关联参考方向，由式

(1-5)得

p=－ui=－(－3)×2=6W图1-7例1-1题图

图1-7(b)所示电路吸收功率为6W。

在图1-7(c)中，电压、电流为非关联参考方向，由式(1-5)得

p=－ui=－2×(－3)=6W

图1-7(c)所示电路吸收功率为6W。

在图1-7(d)中，电压、电流为关联参考方向，由式(1-4)得

p=ui=3×(－1)=－3W

图1-7(d)所示电路吸收功率为－3W，即产生功率为3W。在实际应用中，要注意器件所标注的额定值。对理想电阻元件来说，功率数值的范围不受任何限制，但对于任何一个实际的电阻器来说，使用时都不得超过所标注的功率，否则会烧坏电阻器。各种电器设备如电灯、电阻器等都规定了额定功率、额定电压、额定电流，使用时不得超过额定值。由于功率、电压、电流之间有一定的关系，故额定值一般不会全部给出。例如灯泡只给出额定电压、额定功率(如220V、40W),电阻器只标明电阻值和额定功率(如500Ω、5W)。各种电器设备在使用时，实际值不一定等于它们的额定值，但一般不应超过额定值。电路元件是组成电路的基本单元，通过其端子与外部连接。电路元件的特性通过其端子上的电压、电流关系来描述，通常称为伏安特性，记为VCR(ＶoltageCurrent

Relation)。元件的ＶＣＲ可以用数学关系式来表示，也可由电压、电流的关系曲线——伏安特性曲线来描述。

电路元件分为无源元件和有源元件。1.3电路元件若某一元件接在任一电路中，在其工作的全部时间范围内总的输入能量不为负值，则称无源元件，可用数学式表示为

不满足式(1-7)的元件称为有源元件。

电路中涉及的无源元件有电阻元件、电感元件、电容元件、互感元件和理想变压器元件；有源元件有独立电源、受控电源和理想运算放大器。本节首先介绍电阻元件、独立电源和受控电源。其余元件将在后面的章节中介绍。(1-7)1.3.1电阻元件

电阻元件是从实际电阻器抽象出来的模型，它是表征电阻器对电流呈现阻力、消耗能量的一种理想元件。

在任意时刻，一个二端元件的伏安特性若能用u—i平面上的一条曲线来描述，则称为电阻元件。

线性电阻的伏安特性曲线是u—i平面上一条通过原点的直线，电阻值的大小与直线的斜率成正比。若直线的斜率随时间变化，则称为线性时变电阻，否则称为线性时不变电阻(简称线性电阻或电阻)。

凡不满足线性特性的电阻，即为非线性电阻。非线性电阻也有时变与时不变之分。电阻元件的四种类型见表1-1。表1-1电阻元件的四种类型在电路分析中，一般所说的电阻均指线性时不变电阻元件。

图1-8给出了线性电阻的元件符号及伏安特性曲线。

设电压、电流为关联参考方向，则线性时不变电阻的VCR关系由欧姆定律决定，即

u=Ri

或i=Gu

(1-8)

式中：电阻R的数值为该直线的斜率，是与电压、电流无关的常量，电阻的单位为欧［姆］(符号为Ω)；G称为电阻元件的电导，电导的单位为西［门子］(符号为Ｓ)。图1-8线性电阻的元件符号及伏安特性曲线

显然，电阻元件的电导与电阻互为倒数的关系，即

由功率的定义及欧姆定律可知，电阻吸收的功率为

p=ui=Ri2=Gu2

这表明正电阻总是吸收(消耗)功率的，称为无源元件。(1-9)(1-10)1.3.2独立电源

独立电源是二端有源元件，分为独立电压源和独立电流源，它们是从实际电源抽象得到的电路模型。常见的实际电源有电池、发电机、信号源等。

1.电压源

一个二端元件接到任一电路中，如果其两端电压始终保持为给定的时间函数us(t)或定值Us，而与流过它的电流无关，则该二端元件称为独立电压源，简称电压源。

电压源的图形符号如图1-9(a)所示。当us(t)为恒定值时，这种电压源称为恒定电压源或直流电压源。有时用

1-9(b)所示的图形符号表示，长横线表示电压的参考正极性，短横线表示参考负极性。在电路分析中，常取电流参考方向和电压参考方向为非关联参考方向，见图1-9。

在u—

i平面上，电压源在时刻t1的伏安特性曲线是一条平行于i轴且横坐标为us(t1)的直线，如图1-10所示。该特性曲线表明了电压源端电压与电流大小无关。图1-9电压源图形符号

图1-10电压源在时刻t1的伏安特性曲线电压源具有两个基本性质：

(1)它的端电压是定值Us或是一定的时间函数us(t)，与流过的电流无关。

(2)电压源的电压是由它本身确定的，流过它的电流是由与它相连接的外电路来决定的。

由于流经电压源的电流由外电路来决定，故电流可以从不同方向流经电压源，因此电压源可能对外电路提供能量，也可能从外电路吸收能量。

2.电流源

一个二端元件接到任一电路中，如果流经它的电流始终保持为给定的时间函数is(t)或定值Is，而与其两端电压无关，则该二端元件称为独立电流源，简称电流源。

电流源的图形符号如图1-11(a)所示。当is(t)为恒定值时，这种电流源称为恒定电流源或直流电流源，电流值用Is表示。

在电路分析中，常取电流参考方向和电压参考方向为非关联参考方向，见图1-11(a)。图1-11电流源的图形符号及在时刻t1的伏安特性曲线

在u

—i

平面上，电流源在时刻t1的伏安特性曲线是一条平行于u轴且纵坐标为is(t1)的直线，如图1-11(b)所示。该特性曲线表明了电流源电流与其上的电压大小无关。

电流源具有两个基本性质：

(1)流经电流源的电流是定值Is或是一定的时间函数is(t)，与其两端的电压无关。

(2)电流源的电流是由它本身确定的，它两端的电压是由与它相连接的外电路来决定的。

由于电流源的端电压由外电路来决定，其两端的电压可以有不同的真实极性，因此电流源既可能对外电路提供能量，也可能从外电路吸收能量。

例1-2

电路如图1-12所示，已知图(a)中Us=10V，图(b)中Is=10A，当RL分别为1Ω、10Ω、100Ω时，分别求图(a)中的电流I和图(b)中的电压U。

解由图(a)，根据欧姆定律：

RL=1Ω时，

RL=10Ω时，

RL=100Ω时，图1-12例1-2题图

由图(b)，根据欧姆定律：

RL=1Ω时，U=IsRL=10V

RL=10Ω时，U=IsRL=100V

RL=100Ω时，U=IsRL=1000V

由图(a)的计算结果说明，电压源的电流由外电路确定；由图(b)的计算结果说明，电流源的端电压由外电路确定。1.3.3受控电源

受控(电)源是由电子器件抽象而来的一种电路模型。一些电子器件如晶体管、真空管等均具有输入端的电压(电流)能控制输出端的电压(电流)的特点，于是提出了受控源元件。

受控源是指输出电压或电流受到电路中某部分的电压或电流控制的电源，它是非独立电源，不能单独作为电路中的激励。前面介绍的电阻元件，独立电压源，独立电流源均属二端元件(或称为单口元件)，而受控源是四端元件(或称为双口元件)。

根据控制量和受控量的不同，受控源有四种基本形式，如图1-13所示。图1-13四种受控源的图形符号

(1)图1-13(a)为电压控制的电压源，简称VCVS，满足以下关系：

其中μ称为电压放大系数，它是无量纲的常量。

(2)图1-13(b)为电流控制的电压源，简称CCVS，满足以下关系：

其中γ称为转移电阻，它是具有电阻量纲的常量。(1-11)(1-12)

(3)图1-13(c)为电压控制的电流源，简称VCCS，满足以下关系：

其中g称为转移电导，它是具有电导量纲的常量。

(4)图1-13(d)为电流控制的电流源，简称CCCS，满足以下关系：

其中β称为电流放大系数，它是无量纲的常量。(1-13)(1-14)受控源与独立电压源和电流源虽然同为电源，但却有着本质上的不同。独立源在电路中可对外提供能量，直接起到激励的作用，没有独立源的电路是没有响应的；而受控源则不能直接起到激励的作用，它的电压或电流受电路中其他支路电压或电流的控制，控制量存在，则受控源就存在，当控制量为零时，则受控源也为零。受控源仅表示这种“控制”与“被控制”的关系，是电路内部一种物理现象而已。在求解具有受控源的电路时，可以把受控电压(电流)源作为电压(电流)源处理，但必须注意，其激励电压(电流)是取决于控制量的。当受控源两个端口的电压、电流均采用关联参考方向时，受控源吸收的功率为

p(t)=u1i1+u2i2

(1-15)

由各类受控源的端口特性可知，控制支路不是i1=0，就是u1=0，故上式可写为

p(t)=u2i2

(1-16)

即受控源吸收的功率由受控源受控支路来计算。

在电路分析中，把由独立电源、电阻及受控源组成的电路称为电阻电路。

例1-3VCVS连接于信号电压源us与负载RL之间，如图1-14所示，Rs为信号电压源的内阻。试求负载电压(输出电压)uo与信号电压(输入电压)us

的关系，并求受控源的功率。

解当电路中含有受控源时，可先把受控源视为独立源。

由于i=0,由图可得

u1=us

图1-14例1-3题图

而

uo=μu1=μus

则受控源上的功率为

受控源的功率恒为负，表明受控源对外提供功率，说明受控源是有源元件。另外，由于表征受控源的方程是以电压、电流为变量的代数方程，因此受控源也可看做电阻元件。故受控源是具有“有源性”和“电阻性”双重特性的元件。集总电路是由集总元件相互连接而成的，基尔霍夫定律是集总电路的基本定律。为了说明基尔霍夫定律，先介绍几个名词或术语。

(1)支路：电路中每一个二端元件称为一条支路。

通常将流经元件的电流和元件的端电压分别称之为支路电流和支路电压，它们是集总电路中分析和研究的对象。

1.4基尔霍夫定律图1-15支路、节点和回路

(2)节点：电路中两条或两条以上支路的连接点称为节点。

由图1-15可见，该电路有5条支路，3个节点。

在分析电路时，也可把支路看成是一个具有两个端钮而由多个元件串联而成的组合。例如，把图1-15中的元件4和5作为一条支路，那么连接点3就不能算作节点了。这时，该电路就有4条支路，2个节点。

(3)回路：电路中的任一闭合路径称为回路。

在图1-15中，元件1、2，元件1、4、5，元件1、3均构成回路。按回路的定义，该电路共有6个回路。

(4)网孔：其内部不包含任何支路的回路称为网孔。

在图1-15中，元件1、2和元件2、3均构成网孔，该电路有3个网孔。一般把含元件较多的电路称为(电)网络。实际上，电路与(电)网络这两个名词并无明确的区别，一般可以混用。如果将电路中各支路电流与支路电压作为变量，则这些变量将受到两类约束。一类是由元件的特性构成的约束。例如，线性电阻元件上的电压与电流为关联参考方向时，必须满足u=Ri的关系(VCR)，即元件的VCR约束，简称元件约束。另一类约束是由于元件的相互连接给支路电流之间或支路电压之间带来的约束，有时称为“几何”约束或“拓扑”约束，这类约束可由基尔霍夫定律体现。两类约束是电路分析的基本依据。1.4.1基尔霍夫电流定律(KCL)

基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’sCurrentLaw)反映了电路中任一节点上各支路电流间的相互约束关系，具体表述如下：

在集总参数电路中，任一时刻，对任一节点，所有流出节点的支路电流的代数和恒等于零。其数学表示式为

式中：ik为流出(或流入)该节点的第k条支路的电流；n1为与该节点相连接的支路数。式(1-17)称为节点电流方程或节点的KCL方程。(1-17)

电流的“代数和”是根据电流是流出节点还是流入节点判断的。若流出节点的电流前面取“+”号，则流入节点的电流前面取“－”号(也可作相反的规定，结果是等价的)，电流是流出节点还是流入节点，均根据电流的参考方向判断。

以图1-16为例，对节点1列写KCL方程，有

i1+i4－i6=0

上式可写为

i1+i4=i6图1-16KCL用图该式表明，流出节点1的支路电流之和等于流入该节点的支路电流之和。故KCL也可表述为：任一时刻，流出任一节点的支路电流之和等于流入该节点的支路电流之和，

即

这是基尔霍夫电流定律的另一种表示形式。(1-18)

KCL通常用于节点，但对包围几个节点的闭合面也是适用的。在图1-16所示电路中，虚线所示的闭合面S内有3个节点，分别为1、2和3，这3个节点的KCL方程分别为

1节点i1+i4－i6=0

2节点－i2－i4－i5=0

3节点i3+i5+i6=0

将以上3式相加，即得图示虚线闭合面S的KCL方程为

i1－i2+i3=0

其中：i1和i3流出闭合面S；i2流入闭合面S。该式表明，在集总参数电路中，通过任一闭合面的支路电流的代数和为零。这种假想的闭合面又称为广义节点。这是基尔霍夫电流定律的推广。

基尔霍夫电流定律的实质是电流连续性原理，是电荷守恒原理的体现。电荷既不能创造，也不能消失，在任一时刻流入节点的电荷等于流出该节点的电荷。

例1-4

电路如图1-17所示，方框代表电路元件，已知i2=2A，i4=－3A，i5=－4A，求i3。

解根据已知条件，先对节点1列写KCL方程，可求出i1。

节点1：－i1－i4+i5=0

得i1=－i4+i5=－(－3)+(－4)=－1A

再对节点2列写KCL方程，即可求得i3。

节点2：i1－i2+i3=0

得i3=－i1+i2=－(－1)+2=3A图1-17例1-4题图

该题也可直接选虚线闭合面作为广义节点S，只需列一个KCL方程即可。

广义节点S：i2－i3+i4－i5=0

可得i3=i2+i4－i5=2+(－3)－(－4)=3A

应用KCL分析计算电路时，要注意区分两套正负符号。在KCL方程中，电流变量前所取正、负号取决于电流参考方向的选择，而电流变量本身可能为正，也可能为负。1.4.2基尔霍夫电压定律(KVL)

基尔霍夫电压定律(Kirchhoff’sVoltageLaw)反映了电路中任一回路各支路电压间的相互约束关系，具体表述如下：在集总参数电路中，任一时刻，沿任一回路的所有支路电压的代数和恒等于零。其数学表示式为

式中：uk为回路中第k条支路的电压；n2为该回路的支路数。

(1-19)式(1-19)称为回路电压方程或回路的KVL方程。在建立KVL方程时，首先选定回路的一个绕行方向，支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时取正号，支路电压的参考方向与回路绕行方向相反时取负号。图1-18KVL用图图1-18为电路中某一回路，假设该回路的绕行方向为顺时针方向，则KVL方程为

u1+u2－u3－u4－u5=0

上式又可改写为

u1+u2=u3+u4+u5

该式表明，沿回路的绕行方向，各支路电压升之和等于电压降之和。故KVL也可表述为：在集总参数电路中，任一时刻，沿任一回路的支路电压降之和等于电压升之和，即

∑u降=∑u升

(1-20)

这是基尔霍夫电压定律的另一种表示形式。

KVL不仅适用于实际存在的回路，也适用于电路中任意假想的回路，这种假想的回路又称为广义回路。在图1-18所示电路中，a、d之间并无支路存在，但仍可把abda或adca分别看成一个回路(广义回路)，由KVL分别得：

abda回路：u1+u2－uad=0

adca回路：uad－u3－u4－u5=0

由以上两个广义回路可得

uad=u1+u2=u3+u4+u5

可见，电路中两点间电压与选择的路径无关。由此我们也可得出求电路中任意两点间电压的重要结论：求任意a、b两点间的电压uab，等于自a点出发沿任何一条路径绕行至b点的所有支路电压降的代数和。基尔霍夫电压定律的实质是能量守恒定律在集总参数电路中的体现。从电压变量的定义容易理解KVL的正确性。如果单位正电荷从a点移动，沿着构成回路的各支路又回到a点，相当于求电压uaa，显然uaa=0，即该正电荷既没有得到能量，又没有失去能量。

例1-5

图1-19所示直流电路是单回路电路，电路中各元件参数均已给定，试求流经各元件的电流I及电压Uab。

解由KVL可知，回路中各元件流过的是同一个电流I，对回路沿顺时针绕行方向列写KVL方程，得

将各电阻元件的VCR代入上式，得

R1I+Us2+R2I+R3I－Us1=0

即

图1-19例1-5题图

再求Uab：在图1-19中，acba和adba均为广义回路，对其中任一回路列写KVL方程，便可求出Uab。

对acba广义回路列写KVL方程如下：

R1I+Us2+R2I－Uab=0

Uab=R1I+Us2+R2I=1×1+4+2×1=7V

或对adba广义回路列写KVL方程：

Uab+R3I－Us1=0

Uab=Us1－R3I=10－3×1=7V

可见，两点间的电压与路径无关。

例1-6

单节偶电路如图1-20所示，电流源某瞬时电流is1=6A，is2=3A，电路中电阻参数已给定。试求该瞬时各元件的电压和电流。

解由KVL可知，单节偶电路各元件的端电压是相同的。各电阻的电流与电压采用关联参考方向，对电路任一节点列写KCL方程，得

－is1+is2+iR1+iR2=0

将电阻元件的VCR代入上式，得

图1-20例1-6题图

解得：u=2V

所求得的电压u和电流iR1、iR2都为正值，说明它们的实际方向与图中所示的参考方向一致。

在应用KCL、KVL时应该注意：KCL是针对节点(或闭合面)而言的，在支路电流之间施加的是线性约束关系；KVL是针对回路(或假想回路)而言的，对支路电压之间施加的是线性约束关系。KCL、KVL仅与电路元件的相互连接有关，而与元件的性质无关。不论元件是线性的还是非线性的，时变的还是时不变的，KCL、KVL总成立。

1.求图1-21所示电路的电压uab。

提示：当电阻元件上的电压、电流为关联参考方向时,uab=Ri;当电阻元件上的电压、电流为非关联参考方向时,uab=－Ri。

［(a)uab=10V；(b)uab=－10V；(c)uab=－10V；(d)uab=10V］1.5练习题及解答提示图1-21

2.求图1-22所示各电路的电流i或电压uab，并计算各段电路的功率。

提示：KVL不仅适用于实际存在的回路，也适用于任意假想的回路(广义回路)。元件上电压与电流为关联参考方向时，元件吸收的功率p=ui；元件上电压与电流为非关联

参考方向时，p=－ui。

［(a)i=2A,p2Ω=8W,

=8W；(b)uab=0，p4Ω=4W,

=2W，=－6W］图1-22

3.求图1-23所示电路的电压u和电流i。

提示：电压源的电压与外电路无关，通过电压源的电流随外电路的变化而变。电流源的电流与外电路无关，电流源的端电压随外电路的变化而变。

［(a)i=8A;(b)u=0;(c)u=－2V；(d)i=2A］图1-23

4.电路如图1-24所示，试求3A电流源所吸收的功率。

提示：该单回路电路中电流为3A，先求出4Ω电阻上电压u，由KVL可求出3A电流源上的电压，最后便可求出功率。

［36W］图1-24

5.求图1-25所示电路的电压u和电流i，并求受控源所吸收的功率。

提示：该单节偶电路中四个元件并联，各元件电压相同，根据KCL及2Ω电阻元件的u—i关系可建立两个方程，解出u和i，再求受控源所吸收的功率。

［4V,2A,－16W］图1-25

6. 试计算图1-26所示电路中A点的电位UA。

提示：电路中任一点的电位等于该点与参考点间的电压。当参考点选得不同时，电路中各点的电位随之改变，但任意两点间的电压不变。图中参考点在B点，所求的电位UA就等于电压UAB。

［－2V］图1-26

1-1电路如题图1-1所示,图中电流i(t)=10sinπtA,试求t=0.5s、5s时电流的瞬时值,并说明对应以上各时刻的电流真实方向。习题1题图1-1

1-2试写出题图1-2所示电路中电压uab和电流i的关系式。

题图1-2

1-3试求题图1-3所示各电路中电压源、电流源及电阻的功率，并说明是吸收还是发出。

题图1-3

1-4试求题图1-4所示各电路中的电压U，并分别讨论其功率平衡。

题图1-4

1-5电路如题图1-5所示，利用KCL和KVL求图中电流I。题图1-51-6试用KCL、KVL计算题图1-6所示电路中的电流I。题图1-61-7在题图1-7所示电路中，已知i1=2A，r=0.5Ω，求电流源电流is。题图1-71-8求题图1-8所示电路中的电流I。题图1-81-9求题图1-9所示电路中的电压U。题图1-91-10在题图1-10所示电路中，电阻R3消耗的功率为10W，求电阻R2。题图1-101-11在题图1-11所示电路中，已知I1=2A，I3=－3A，U1=10V，U4=－5V，求各元件吸收的功率。

题图1-11

1-12在题图1-12所示电路中，求电压U。

题图1-12

1-13电路如题图1-13所示，求电压u。

题图1-13

1-14在题图1-14所示电路中，电压源Us=3V，电流源Is=1A，R1=3Ω，R2=1Ω，R3=2Ω。求电压源Us及电流源Is对外的输出功率。题图1-14

1-15电路如题图1-15所示，求电流I及电压Uab和Ucd。题图1-15

1-16计算题图1-16所示电路中的电位Ua和Ub。题图1-162.1等效二端网络

2.2电阻的串联和并联

2.3电阻的Y形连接和△形连接

2.4含独立电源电路的等效变换

2.5实际电源的两种模型及等效变换

2.6含受控源电路的等效变换

2.7输入电阻

2.8练习题及解答提示

习题2第2章电路分析的等效变换在电路分析中，常用等效变换的方法化简电路，进而对电路进行分析与计算。等效变换的方法是基于等效电路的概念，而用求电路端口处VCR的方法求二端网络的等效电路是最根本的途径。本章将给出由此得出的一些结论和公式，在以后的电路分析中，不必每次都从求电路端口的VCR着手，以便于更迅速地解决问题。在电路分析中，可以把一组相互连接的元件看做一个整体，当这个整体只有两个端钮可与外部电路相连接，且进出这两个端钮的电流是同一个电流时，则称这个整体为二端网络(单口网络)。例如图2-1中的图(a)和图(b)都为二端网络。当二端网络内部含有独立源时，称其为含源二端网络；当二端网络内不含独立源时，称其为无源二端网络。2.1等效二端网络图2-1二端网络两个二端网络N1和N2，如果它们的端口伏安关系(VCR)完全相同，则N1和N2是等效的，或称N1和N2互为等效电路。尽管N1和N2可以具有完全不同的结构，但对任一外电路来说，它们都具有完全相同的作用。故等效仅为“对外等效”，对内并不等效。

等效变换是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响电路中留下来没有做变换的任一支路中的电压和电流。在电路的分析和计算中，特别是只需求解某支路电压或电流时，可先把待求支路以外的二端网络进行等效变换，即化简，再用化简后的电路去替代原复杂的二端网络，然后求解待求量。通过等效变换可把整个电路变为简单电路，便于电路的计算。2.2.1电阻的串联

n个电阻元件串联的电路如图2-2所示。电阻串联连接的特点是元件顺序首尾相接，设端口电压为u，流经每个电阻的电流均为i。由KVL可得端口的VCR为

u=R1i+R2i+…+Rki+…+Rni=(R1+R2+…+Rk+…+Rn)i=Reqi

其等效电阻为

2.2电阻的串联和并联(2-1)即n个电阻元件串联，就其端口来说，可等效为一个电阻Req。当电压、电流为关联参考方向时，第k个电阻上的电压为

式(2-2)为串联电阻的分压公式，它表明在电阻串联电路中，电阻值越大，分配到的电压就越大，即总电压u按电阻大小成正比分配。(2-2)图2-2n个电阻元件串联当只有两个电阻R1和R2相串联时，分压公式如下：

将式(2-1)两边同乘i2，得

Reqi2=R1i2+R2i2+…+Rki2+…+Rni2

即p=p1+p2+…+pk+…+pn

式(2-4)表明，当n个电阻串联时，其等效电阻上消耗的功率等于每个串联电阻消耗功率之和。电阻值越大，消耗的功率也越大。(2-3)(2-4)在实际应用中，分压电路可用一个具有滑动接触端的三端电阻器来组成，如图2-3所示。这种可变电阻器又称为“电位器”。电压ui施加于电阻R的两端，即b、c端，随

着a端的滑动，在a、c端可得到从零至ui连续可变而极性不变的电压。图2-3电位器

例2-1

图2-4所示为电阻分压电路，已知R1=R2=0.5kΩ，Rw为1kΩ的电位器。若输入电压ui=100V，试求输出电压uo的变化范围。

解当电位器滑动触头在最下端时，输出电压uo最小，由分压公式得：

图2-4例2-1题图

当电位器滑动触头在最上端时，输出电压uo

最大，同理可得:

由此可见，调节电位器Rw时，输出电压uo可在25~75V范围内连续变化。2.2.2电阻的并联

n个电阻元件的并联电路如图2-5所示。其基本特征是各电阻的端电压为同一电压u，由KCL得端口的VCR关系为

其等效电导为

(2-5)即n个电阻元件并联，就其端口来说，可等效为一个电导Geq。当电压、电流为关联参考方向时，第k个电导(电阻)上的电流为

式(2-6)为并联电阻的分流公式。它表明，在电阻并联电路中，电导值越大(电阻值越小)，分配到的电流就越大，即总电流i按各个并联电导值成正比分配。(2-6)图2-5n个电阻元件并联及等效当只有两个电阻R1和R2相并联时，有分流公式如下：

将式(2-5)两边同乘u2，得

Gequ2=G1u2+G2u2+…+Gku2+…+Gnu2

即

p=p1+p2+…+pk+…+pn(2-8)

式(2-8)表明，当n个电阻并联时，其等效电导上消耗的功率等于每个并联电导(电阻)消耗功率之和。电导值越大(电阻值越小)，消耗的功率也越大。(2-7)

例2-2

多量程电流表如图2-6所示，已知表头内阻RA=2300Ω，量程为50μA，各分流电阻分别为R1=1Ω，R2=9Ω，R3=90Ω。求扩展后各量程。图2-6例2-2题图

解基本表头偏转满刻度为50μA。当用“0”、“1”端钮测量时，“2”、“3”端钮悬空，这时RA、R2、R3是相串联的，而R1与它们相并联，由分流公式(2-7)可得

则

同理，用“0”、“2”端钮测量时，“1”、“3”端钮悬空，这时流经表头的电流满刻度仍为50μA,而R1、R2串联，再与RA和R3的串联电阻相并联，得

用“0”、“3”端钮测量时，“1”、“2”端钮悬空，得

由此例可见，若直接利用该表头测量电流，则只能测量0.05mA以下的电流，而并联了分流电阻R1、R2、R3以后，作为电流表，它就有120mA、12mA、1.2mA三个量

程，实现了电流表量程的扩展。

通过对电阻元件的串联和并联分析可知：串联电阻电路起分压作用；并联电阻电路则起分流作用。2.2.3电阻的混联

当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联，简称混联。逐个运用串联等效和并联等效以及分压和分流公式，可以很方便地解决混联电路的计算问题。

例2-3

求图2-7(a)所示电路a、b端的等效电阻Rab。图2-7例2-3题图

解为了看清楚电阻的串、并联关系，先将各同电位点合为一点，那么c、d、e三个点合为一点，如图(b)所示，这样就可以方便地求得：

Rab=［((4∥4)+2)∥4+(2∥2)］∥3=1.5Ω

式中“∥”表示求并联电阻的等效值。

对于具有对称性的电路，可根据其电路特点，首先找出等电位点，通过用短接线连接等电位点(或断开等电位点间的支路)，将电路变换为简单的串、并联形式，再求出等效电阻。

例2-4

求图2-8(a)所示电路的等效电阻Rab。

解图(a)所示电路为一对称电路，设想在a、b端加一电压源，必然得出c、d两点为等电位点，e、f两点也为等电位点，将c、d两点和e、f两点分别用短接线连接，得图(b),由图(b)可得等效电阻为

图2-8例2-4题图

前面讨论的是二端电阻网络的等效，本节讨论三端电阻网络的等效。两个三端网络等效的条件是这两个网络在对应端子上的VCR相同。2.3电阻的Y形连接和△形连接设两个三端网络N1和N2如图2-9所示。根据KVL，给定任意两对端钮间的电压，其余一对端钮间的电压便可确定。例如，给定u13和u23，则由u12=u13－u23，u12便可确定。根据KCL，给定任意两个端钮的电流，其余一个端钮的电流便可确定。例如，给定i1和i2，则由i3=－(i1+i2)，i3便可确定。也就是说，如果这两个网络的u12、u23、i1、i2的关系完全相同，则这两个三端网络N1和N2便是等效的。

三端网络的最简单形式便是电阻的星形(Y形)连接和三角形(△形)连接网络。图2-9两个三端网络的等效在电路分析过程中，常会遇到含有这种Y、△连接的电阻网络，用电阻串联、并联的等效方法无法得到整个电阻网络的等效电阻。但是，若能用Y—△等效变换的方法，对Y、△连接的电阻网络先进行等效变换，然后再用电阻的串、并联等效方法，即可求得电阻网络的等效电阻。

图2-10(a)和(b)分别是Y形网络和△形网络，现在根据三端网络等效的定义来推导Y形网络和△形网络的等效条件。图2-10Y形网络和△形网络对图2-10(a)所示的Y形网络来说，有

对图2-10(b)所示的△形网络来说，沿顺时针绕向列写KVL方程，得

－(i1－i12)R31+R12i12+(i2+i12)R23=0(2-9)

即

由此可得：

(2-10)式(2-9)和式(2-10)分别为Y形网络和△形网络的VCR，如果两式的VCR完全相同，则两式中i1与i2的对应系数应分别相等，即

(2-11)由式(2-11)可解得：

(2-12)式(2-12)就是△形网络变换为等效的Y形网络的变换公式，式中三式可概括为Y形电阻

由式(2-11)也可解得：

(2-13)式(2-13)就是Y形网络变换为△形网络的公式，式中三式可概括为△形电阻

若Y形连接中3个电阻相等，即R1=R2=R3=RY，则等效△形连接中3个电阻也相等，且等于R△=R12=R23=R32=3RY，即

R△=3RY，

当电路中含有Y、△连接的电阻网络时，可对Y、△连接的电阻网络进行Y—△等效变换，再进一步分析和计算电路。下面举例说明。

例2-5

求图2-11(a)所示电路中的电压U1。

解应用Y—△等效变换，将图(a)中3个9Ω电阻构成的△形网络进行等效变换得图(b)。在图(b)中，由电阻串、并联等效求得a、b端的等效电阻为

Rab=3+(3+3)∥(3+3)=6Ω

得图2-11例2-5题图

由分流公式，得

则

U1=3I1=3×2=6V

例2-6

电路如图2-12(a)所示，试求电流I。图2-12例2-6题图

解应用Y—△等效变换，将图(a)中acda间三个电阻构成的△形网络等效变换为Y形网络，如图(b)所示。在图(b)中，设电流I1和I2如图所示，由分流公式得

故得

ucd=1.4I1－1×I2=1.4×2－1×2=0.8V

返回到图(a)，可得

根据等效的概念，要求解电流I，必须在原电路中求取。

1.电压源的串联

图2-13(a)所示为n个电压源的串联，它可以用一个电压源等效电路来替代，如图2-13(b)所示。根据KVL，等效电压源的电压us为

若usk的参考方向与图2-13(b)中us的参考方向一致，则式(2-14)中usk的前面取“＋”号；若不一致，则取“－”号。2.4含独立电源电路的等效变换(2-14)图2-13电压源的串联及其等效电路

2.电压源的并联

只有电压相等且极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。此时，等效电压源即并联电压源中的一个，如图2-14所示。图2-14电压源的并联及其等效电路

3.电压源与任意二端网络并联

电压源与任意二端网络并联时，其等效电路仍为电压源，如图2-15所示。图(a)中的网络N，可以是任意的二端元件，例如电阻R或电流源is等，也可以是一个简单或复杂的二端网络。需要强调的是，等效变换改变了电路的内部结构，但仍保持端口上电压和电流关系不变，因而不影响外接电路的工作状态，即对外等效。对同一外电路来说，图(a)中的电压源us流出的电流显然不等于图(b)中电压源us流出的电流，即对内不等效。图2-15电压源与任意二端网络相并联及其等效电路

4.电流源的并联

图2-16(a)所示为n个电流源的并联，它可以用一个电流源电路来等效替代，如图2-16(b)所示。由KCL，等效电流源的电流is为

若isk的参考方向与图(b)中is的参考方向一致，则式(2-15)中isk的前面取“＋”号；若不一致，则取“－”号。(2-15)图2-16电流源的并联及其等效电路

5.电流源的串联

只有电流相等且流向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。此时，等效电流源即串联电流源中的一个，如图2-17所示。图2-17电流源的串联及其等效电路

6.电流源与任意二端网络串联

电流源与任意二端网络串联时，其等效电路为电流源，如图2-18所示。同电压源与任意二端网络并联一样，图(a)中网络N可以是任意的二端元件，也可以是一个

二端网络。图2-18电流源与任意二端网络串联及其等效电路

2.4节讨论的都是理想独立源模型，而实际电源接入电路时，电源自身会有一定的损耗，那就不能忽略电源的内阻，因此有必要讨论实际电源的模型及其等效变换。

实际电源有实际电压源模型(戴维南电路模型)和实际电流源模型(诺顿电路模型)，它们可分别用图2-19(a)和(b)来表示。2.5实际电源的两种模型及等效变换图2-19实际电源的两种模型

2.4节讨论的最简等效电路都只含一个元件，即用一个元件替代原电路而端口的VCR不变。图2-19所示的两种实际电源模型都无法再进行化简。但当满足一定条件时，

它们可以互为等效电路，也就是说，它们可以互相替换而保持端口的VCR不变。

为寻求它们的等效条件，我们先分别写出这两种模型端口的VCR。由图2-19(a)得

u=us－Rsi(2-16)

由图2-19(b)得

为了便于和式(2-16)比较，将式(2-17)改写为

比较式(2-16)和式(2-18)，显然，如果满足如下条件：

(2-17)(2-18)(2-19)

则这两种模型的VCR完全相同，即这两个电路是等效的。

换句话说，若要这两个电路等效，那么这两种模型端口处的伏安特性曲线要完全相同。为此，给出式(2-16)和式(2-18)所示的u—i关系曲线分别如图2-20(a)和(b)所示。(2-20)或图2-20两种实际电源的伏安特性曲线由图2-20可以很清楚地看到，当图(a)和图(b)所示的伏安

特性曲线完全相同时，就有

无论是从式(2-16)和式(2-18)的对比，还是从图2-20(a)和(b)的对比，都可以看到，图2-19(a)和(b)所示电路等效的条件是式(2-19)和式(2-20)，即

或

图2-19所示的两种实际电源模型可根据式(2-19)和式(2-20)进行等效变换。两种电源模型的等效变换如图2-21所示。图2-21两种电源模型的等效变换如果已知电压源模型，则可求得其等效的电流源模型的is，并把Rs和is并联即可。如果已知电流源模型，则可求得其等效的电压源模型的us，并把Rs和us串联即可。要注意

等效变换时电压源电压的极性与电流源电流方向的关系，如图2-21所示。还要注意，互换电路中的电阻Rs是一样的，只是连接方式不同。在电路中，不与电阻串联的电压源和不与电阻并联的电流源也称为无伴电源。无伴电压源和无伴电流源之间不能直接进行等效变换。

运用等效变换的概念分析电路的方法也叫等效分析法。等效的根本是:不同结构的电路要有相同的端口伏安关系，要求的待求量应是端口以外的任意变量，因为对内是不等效的。

等效分析法可归结为：先对待求量以外的二端网络进行等效变换(化简)，再将待求支路接入化简后的电路，然后求出待求量。

例2-7

求图2-22(a)所示电路的电流i。

解在图(a)中，10V电压源并10Ω电阻等效为一个10V的电压源，如图(b)所示。在图(b)中，10V电压源串5V电压源(两电源参考极性相反)等效为一个5V的电压源，且参考极性为上“＋”下“－”，如图(c)所示。图2-22例2-7题图

图(c)电路就是等效变换后的电路，5Ω这一待求支路，对a、b左端的电路来说是外电路。也就是说，在图(a)中求i，和在图(c)中求i的结果是完全相同的。由图(c)得：

例2-8

求图2-23所示电路的电压u。

解在图(a)中，1Ａ电流源串6Ω电阻支路可等效为一个1A电流源，如图(b)所示。在图(b)中，3Ａ电流源并1Ａ电流源(两电流源参考方向相反)等效为2Ａ电流源，如图(c)所示，要注意2Ａ电流源的方向向上。

在图(c)中得

u=2×5=10V图2-23例2-8题图

例2-9

求图2-24(a)所示电路中的电流i。

解将所求支路看做外电路，对a、b端左边电路进行等效变换，也就是进行化简。

由图(a)电路，将实际电流源(2Ａ电流源并2Ω电阻支路)等效变换为实际电压源(2Ω电阻串4Ｖ电压源支路)，将实际电压源(4Ω电阻串8Ｖ电压源支路)等效变换为实际电流源(4Ω电阻并2Ａ电流源支路)，如图(b)所示。图2-24例2-9题图

在图(b)中，2Ω电阻串2Ω电阻，等效为4Ω电阻，如图(c)所示。在图(c)中，将4Ω电阻串4Ｖ电压源等效变换为1Ａ电流源并4Ω电阻，如图(d)所示。

在图(d)中，1Ａ电流源并2Ａ电流源等效为3Ａ电流源，4Ω电阻并4Ω电阻等效为2Ω电阻，如图(e)所示。

在图(e)所示电路中，利用分流公式可得电流i为

在分析含受控源电路时，也可用上述的等效变换方法进行变换。需要注意的是：

(1)先将受控源视为独立源。上述有关独立源的各种等效变换同样适用于受控源。

(2)在变换过程中，受控源的控制量不能消失。2.6含受控源电路的等效变换

例2-10

在图2-25(a)所示