2020年高二数学建模常考模型配套试题及套用思路附答案

2020年高二数学建模常考模型配套试题及套用思路附答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨需耗A种矿石10吨、B种矿石5吨、煤4吨；生产乙产品1吨需耗A种矿石4吨、B种矿石4吨、煤9吨。每1吨甲产品的利润是600元，每1吨乙产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨、B种矿石不超过200吨、煤不超过360吨。则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，利润总额为z元，则目标函数为（）A.z=600x+1000yB.z=10x+4yC.z=5x+4yD.z=4x+9y2.某商场为了促销商品，设计了一个抽奖活动。在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样。规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）。某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率是（）A.1/3B.2/3C.1/2D.3/43.某公司为了预测产品的销售量，收集了过去10年的销售数据。通过分析发现，销售量y与时间t（年）之间存在线性关系，设回归直线方程为y=bt+a。已知\(\sum_{i=1}^{10}t_{i}=55\)，\(\sum_{i=1}^{10}y_{i}=200\)，\(\sum_{i=1}^{10}t_{i}^{2}=385\)，\(\sum_{i=1}^{10}t_{i}y_{i}=1320\)，则b的值为（）A.2B.3C.4D.54.某城市的出租车收费标准为：起步价（3千米以内）8元，超过3千米后每千米1.5元。某人乘坐出租车行驶了x千米（x>3），则他应付的车费y（元）与x（千米）之间的函数关系式为（）A.y=8+1.5xB.y=8+1.5(x-3)C.y=1.5xD.y=8x+1.55.某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品。已知一等品的概率为0.6，二等品的概率为0.3，则三等品的概率为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.46.已知某种商品的需求函数为Q=100-2P（Q为需求量，P为价格），则当价格P=20时，该商品的需求弹性为（）A.-0.5B.-1C.-1.5D.-27.某企业为了扩大生产规模，拟投资建设一个新的工厂。已知建设工厂的固定成本为100万元，生产每件产品的可变成本为5元，产品的销售单价为10元。则该企业的盈亏平衡点产量为（）A.10万件B.20万件C.30万件D.40万件8.某学校为了了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了100名学生进行调查。已知这100名学生的平均成绩为80分，标准差为10分。则可以估计全校学生的平均成绩为（）A.70分B.80分C.90分D.100分9.某商场在国庆期间进行促销活动，规定凡购买商品满200元者，可抽奖一次。抽奖规则为：在一个不透明的盒子里装有5个红球和3个白球，从中随机摸出2个球。若摸出的2个球都是红球，则可获得一等奖；若摸出的2个球中有1个红球和1个白球，则可获得二等奖；若摸出的2个球都是白球，则可获得三等奖。则获得一等奖的概率为（）A.5/14B.10/28C.15/28D.20/2810.某农场要在一块长为100米、宽为80米的矩形土地上种植两种作物A和B。已知作物A每平方米的利润为2元，作物B每平方米的利润为3元。为了使总利润最大，且要求种植作物A的面积不少于种植作物B面积的一半，则种植作物A的面积为（）A.4000平方米B.5000平方米C.6000平方米D.7000平方米二、填空题（总共10题，每题2分）1.某工厂生产的产品次品率为0.05，现从该工厂生产的产品中随机抽取100件，则其中次品数的期望为______。2.已知某商品的成本函数为C=100+5Q（C为成本，Q为产量），则当产量Q=20时，平均成本为______。3.某公司为了研究员工的工作效率与工作时间的关系，收集了相关数据。通过分析发现，工作效率y与工作时间t之间存在二次函数关系，设二次函数为y=at²+bt+c。已知当t=1时，y=10；当t=2时，y=12；当t=3时，y=14，则a的值为______。4.某商场进行促销活动，规定凡购买商品满300元者，可获得一张优惠券。某顾客购买了价值400元的商品，则该顾客获得优惠券的概率为______。5.某城市的人口数量在过去10年中呈线性增长。已知10年前人口数量为100万人，现在人口数量为120万人，则该城市人口数量的年平均增长率为______。6.某企业生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品的可变成本为10元，产品的销售单价为15元。则该企业的利润函数为______。7.已知某随机变量X服从正态分布N(10,4)，则P(8<X<12)=______。（已知\(\varPhi(1)=0.8413\)）8.某学校为了了解学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取了50名学生进行调查。已知这50名学生平均每周体育锻炼时间为3小时，标准差为0.5小时。则可以估计全校学生平均每周体育锻炼时间的置信区间为______（置信水平为95%）。9.某农场要在一块面积为1000平方米的土地上种植蔬菜。已知种植白菜每平方米的成本为5元，种植萝卜每平方米的成本为3元。为了使总成本最小，且要求种植白菜的面积不少于种植萝卜面积的1/3，则种植白菜的面积为______平方米。10.某企业为了提高产品的质量，对生产过程进行了改进。改进前产品的次品率为0.1，改进后随机抽取了100件产品，发现有5件次品。则可以认为改进后产品的次品率______（填“降低了”“升高了”或“不变”）。三、判断题（总共10题，每题2分）1.线性规划问题的可行域一定是凸多边形。（）2.概率为0的事件一定是不可能事件。（）3.回归直线一定过样本点的中心。（）4.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X=μ)=1。（）5.成本函数中的固定成本不随产量的变化而变化。（）6.在抽样调查中，样本容量越大，估计的精度越高。（）7.某商品的需求弹性为-1.5，说明该商品是富有弹性的。（）8.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像一定是一条抛物线。（）9.某企业的利润函数为L=-2Q²+10Q-5，则当Q=2.5时，利润最大。（）10.某事件发生的概率为0.8，则该事件不发生的概率为0.2。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述线性规划模型的一般步骤。2.说明正态分布的特点。3.解释需求弹性的含义，并说明其在经济决策中的作用。4.简述回归分析的基本思想。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论在实际生活中，如何运用数学建模解决资源分配问题。2.分析概率在风险评估中的应用。3.探讨二次函数模型在企业成本控制中的作用。4.讨论抽样调查在市场调研中的重要性。答案与解析一、单项选择题1.A。目标函数是利润总额，已知每1吨甲产品利润600元，生产x吨；每1吨乙产品利润1000元，生产y吨，所以z=600x+1000y。2.B。从4个球中先后摸出2个球的所有情况数为\(A_{4}^2=\frac{4!}{(4-2)!}=12\)种。所获得购物券金额不低于30元的情况有：(0,30)、(10,20)、(10,30)、(20,30)，共8种。所以概率为\(8\div12=\frac{2}{3}\)。3.B。根据回归直线方程\(b=\frac{\sum_{i=1}^{n}t_{i}y_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}t_{i}^{2}-n\overline{t}^{2}}\)，\(\overline{t}=\frac{\sum_{i=1}^{10}t_{i}}{10}=5.5\)，\(\overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^{10}y_{i}}{10}=20\)，代入数据可得\(b=3\)。4.B。3千米以内8元，超过3千米的部分为\((x-3)\)千米，每千米1.5元，所以\(y=8+1.5(x-3)\)。5.A。因为所有产品分为一等品、二等品和三等品，所以三等品概率为\(1-0.6-0.3=0.1\)。6.A。需求弹性公式为\(\eta=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}\)，对\(Q=100-2P\)求导得\(\frac{dQ}{dP}=-2\)，当\(P=20\)时，\(Q=100-2\times20=60\)，则\(\eta=-2\times\frac{20}{60}=-\frac{2}{3}\approx-0.5\)。7.B。设盈亏平衡点产量为Q，根据\(10Q=1000000+5Q\)，解得\(Q=200000\)件，即20万件。8.B。用样本均值估计总体均值，所以估计全校学生平均成绩为80分。9.A。从8个球中摸出2个球的组合数为\(C_{8}^2=\frac{8!}{2!(8-2)!}=28\)种，从5个红球中摸出2个红球的组合数为\(C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10\)种，所以获得一等奖的概率为\(10\div28=\frac{5}{14}\)。10.B。设种植作物A的面积为x平方米，则种植作物B的面积为\((8000-x)\)平方米，根据条件\(x\geq\frac{1}{2}(8000-x)\)，总利润\(z=2x+3(8000-x)=24000-x\)，当\(x=5000\)时，总利润最大。二、填空题1.5。次品数服从二项分布\(X\simB(100,0.05)\)，期望\(E(X)=np=100\times0.05=5\)。2.10。当\(Q=20\)时，\(C=100+5\times20=200\)，平均成本\(\overline{C}=\frac{C}{Q}=\frac{200}{20}=10\)。3.0。将\(t=1\)，\(y=10\)；\(t=2\)，\(y=12\)；\(t=3\)，\(y=14\)代入\(y=at²+bt+c\)，解方程组可得\(a=0\)。4.1。因为顾客购买了400元商品满足满300元的条件，所以获得优惠券概率为1。5.2%。设年平均增长率为x，则\(100(1+x)^{10}=120\)，解得\(x\approx0.02=2\%\)。6.\(L=5Q-20000\)。利润\(L=15Q-(20000+10Q)=5Q-20000\)。7.0.6826。因为\(X\simN(10,4)\)，则\(\mu=10\)，\(\sigma=2\)，\(P(8<X<12)=P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6826\)。8.\((2.86,3.14)\)。根据置信区间公式\(\overline{x}\pmz_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\)，\(z_{0.025}=1.96\)，\(\overline{x}=3\)，\(s=0.5\)，\(n=50\)，可得置信区间为\((2.86,3.14)\)。9.250。设种植白菜面积为x平方米，则种植萝卜面积为\((1000-x)\)平方米，根据\(x\geq\frac{1}{3}(1000-x)\)，总成本\(C=5x+3(1000-x)=3000+2x\)，当\(x=250\)时，总成本最小。10.降低了。改进前次品率为0.1，改进后抽取100件有5件次品，次品率为\(0.05\)，所以认为改进后次品率降低了。三、判断题1.正确。线性规划问题的可行域是由线性约束条件所确定的区域，一定是凸多边形。2.错误。概率为