初中八年级数学重点题目解答合集

初中八年级数学重点题目解答合集八年级数学承上启下，知识点的难度和综合性较之前有所提升，尤其几何证明和函数初步的引入，对同学们的逻辑思维和抽象思维能力提出了新的要求。本文汇集了八年级数学学习过程中的若干重点题目，并提供详尽的解答与思路分析，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这些核心内容，提升解题能力。一、全等三角形与轴对称全等三角形是平面几何的入门与基石，而轴对称则是研究图形变换的重要工具，两者结合能解决许多复杂的几何问题。（一）全等三角形的判定与性质例题1：已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。解答与分析：要证明∠A=∠D，观察图形，∠A和∠D分别在△ABC和△DEF中。若能证明这两个三角形全等，则对应角相等。已知AB=DE，AC=DF，这是两组对应边相等。第三组边呢？题目给出BE=CF。因为B、E、C、F在同一直线上，所以BC=BE+EC，EF=EC+CF。由于BE=CF，那么BC=EF。因此，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，根据“边边边”（SSS）判定定理，可得△ABC≌△DEF。所以∠A=∠D。思路点拨：本题考查SSS判定定理的应用。关键在于通过线段的和差关系，利用已知的BE=CF推导出BC=EF，从而凑齐SSS的三个条件。在解决全等三角形问题时，仔细分析已知条件，寻找或构造全等的条件是首要任务。例题2：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：AE=AF。解答与分析：要证AE=AF，可考虑证明△AED和△AFD全等。已知AD是∠BAC的角平分线，所以∠EAD=∠FAD。DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°。又AD是公共边。在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，AD=AD，根据“角角边”（AAS）判定定理，可得△AED≌△AFD。因此，AE=AF。思路点拨：本题考查角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等，即本题中DE=DF，这一点在后续学习中也很重要）和AAS全等判定。当题目中出现角平分线和垂直条件时，要联想到角平分线的性质，这往往是解题的突破口。（二）轴对称与等腰三角形例题3：已知等腰三角形的一个内角为70°，求它的另外两个内角的度数。解答与分析：等腰三角形的两个底角相等。题目中只给出一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，因此需要分情况讨论。情况一：当70°角为顶角时，另外两个底角的度数相等。设底角为x，则有2x+70°=180°，解得x=55°。所以另外两个内角均为55°。情况二：当70°角为底角时，另一个底角也为70°，则顶角的度数为180°-70°-70°=40°。所以另外两个内角分别为70°和40°。综上所述，该等腰三角形另外两个内角的度数为55°、55°或70°、40°。思路点拨：等腰三角形问题中，若已知一个内角，要注意这个角可能是顶角也可能是底角（直角和钝角只能是顶角），必须进行分类讨论，否则容易漏解。这体现了数学思维的严谨性。例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求∠A的度数。解答与分析：这是一个较为经典的等腰三角形角度计算问题，图形中包含多个等腰三角形。我们可以通过设未知数，利用三角形内角和定理及等腰三角形性质建立方程求解。设∠A=x。因为AD=BD，所以△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠A=x。根据三角形外角性质，∠BDC是△ABD的外角，所以∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x。又因为BD=BC，所以△BDC是等腰三角形，∠BDC=∠BCD=2x。因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。所以∠A的度数为36°。思路点拨：对于含有多个等腰三角形的复杂图形，利用“等边对等角”以及三角形内角和、外角性质，通过设未知数建立方程是常用的有效方法。关键在于理清各个角之间的关系。二、一次函数一次函数是初中阶段学习的第一个基本初等函数，它的概念、图像和性质是后续学习反比例函数、二次函数的基础，同时也是解决实际问题的重要工具。（一）一次函数的图像与性质例题5：已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点A（-2，-1）和点B（1，3）。（1）求此一次函数的解析式；（2）判断点C（2，5）是否在该函数的图像上。解答与分析：（1）因为一次函数y=kx+b的图像经过点A（-2，-1）和点B（1，3），所以将这两点的坐标分别代入函数解析式，得到关于k、b的方程组：当x=-2，y=-1时：-2k+b=-1当x=1，y=3时：k+b=3用第二个方程减去第一个方程：(k+b)-(-2k+b)=3-(-1)，即3k=4，解得k=4/3。将k=4/3代入k+b=3，得4/3+b=3，解得b=3-4/3=5/3。所以，此一次函数的解析式为y=(4/3)x+5/3。（2）要判断点C（2，5）是否在该函数图像上，只需将x=2代入函数解析式，计算出对应的y值，看是否等于5。当x=2时，y=(4/3)*2+5/3=8/3+5/3=13/3≈4.33，不等于5。所以点C不在该函数的图像上。思路点拨：待定系数法是求函数解析式的基本方法。对于一次函数，通常需要两个独立的条件（即图像上两个点的坐标）来确定k和b的值。判断一个点是否在函数图像上，就是检验该点的坐标是否满足函数解析式。例题6：已知一次函数y=(m-1)x+m+2。（1）若函数图像经过原点，求m的值；（2）若函数图像与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围；（3）若y随x的增大而减小，求m的取值范围。解答与分析：（1）函数图像经过原点（0，0），将x=0，y=0代入函数解析式得：0=(m-1)*0+m+2，即m+2=0，解得m=-2。同时，一次函数中k=m-1≠0，当m=-2时，m-1=-3≠0，符合题意。所以m的值为-2。（2）函数图像与y轴的交点，其横坐标为0。令x=0，则y=m+2。交点在x轴上方，即y>0，所以m+2>0，解得m>-2。又因为是一次函数，m-1≠0，即m≠1。所以m的取值范围是m>-2且m≠1。（3）一次函数y=kx+b，当k<0时，y随x的增大而减小。所以m-1<0，解得m<1。思路点拨：本题综合考查了一次函数的基本概念和性质。（1）中，原点坐标的应用是关键；（2）中，与y轴交点的纵坐标就是b的值（对于y=kx+b而言），同时不要忘记一次函数的定义要求k≠0；（3）中，k的符号决定了函数的增减性。（二）一次函数与方程、不等式及实际应用例题7：如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，2）。（1）求该函数的解析式；（2）结合图像，直接写出不等式kx+b>0的解集。解答与分析：（1）已知函数图像经过点A（3，0）和点B（0，2），用待定系数法求解。将A（3，0）代入y=kx+b：3k+b=0将B（0，2）代入y=kx+b：0*k+b=2，即b=2。将b=2代入3k+b=0，得3k+2=0，解得k=-2/3。所以函数解析式为y=(-2/3)x+2。（2）不等式kx+b>0，即函数值y>0。观察图像，y>0表示函数图像在x轴上方的部分。已知图像与x轴交于点A（3，0），且k=-2/3<0，函数图像从左到右呈下降趋势。因此，当x<3时，图像在x轴上方，即y>0。所以不等式kx+b>0的解集为x<3。思路点拨：一次函数与一元一次不等式有着密切的联系。从“数”的角度看，不等式kx+b>0的解集是使一次函数y=kx+b的值大于0的自变量x的取值范围；从“形”的角度看，是一次函数y=kx+b的图像在x轴上方部分所有点的横坐标的集合。数形结合是解决这类问题的关键。例题8：某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？解答与分析：（1）设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元。根据题意，可列出方程组：3x+2y=1205x+4y=220将第一个方程两边同时乘以2，得6x+4y=240。用此方程减去第二个方程：(6x+4y)-(5x+4y)=240-220，即x=20。将x=20代入3x+2y=120，得3*20+2y=120，60+2y=120，2y=60，y=30。所以A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。（2）设购进A商品m件，购进B商品n件。根据题意，有两个不等关系：①总进价不超过1000元：20m+30n≤1000②A商品数量不少于B商品数量的2倍：m≥2n我们要求最多能购进多少件A商品，即求m的最大值。可以尝试用含m的代数式表示n，再代入不等式。由m≥2n，得n≤m/2。将n≤m/2代入20m+30n≤1000，得20m+30*(m/2)≤1000。化简：20m+15m≤1000，35m≤1000，m≤1000/35≈28.57。因为m为商品数量，应为正整数，所以m的最大值为28。此时，n≤28/2=14。检验总进价：20*28+30*14=560+420=980≤1000，符合题意。所以最多能购进28件A商品。思路点拨：列方程（组）解应用题的关键是找出等量关系。对于不等式（组）的应用，则是找出不等关系。在解决最值问题时，要根据题意确定自变量的取值范围，并结合实际意义（如商品件数为整数）进行取舍。本题也可以通过设只购进A商品m件，B商品n件，然后消元，转化为关于m的不等式求解。三、总结与学习建议八年级数学的知识点繁多且相互关联，全等三角形的严谨证明、轴对称的巧妙应用、一次函数的数形结合，都需要同学们在理解概念的基础上，通过适量的练习来巩固和深化。1.重视基础，吃透概念：数学的逻辑性很强，任何一个知识点的薄弱都可能影响后续学习。对定义、定理、公式要不仅知其然，更要知其所以然。2.勤于思考，总结方法：解题不是目的，掌握方法才是关键