初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

初中数学九年级下册《位似图形的概念及画法》教案

一、教学基本信息

项目

内容

课题名称

位似图形的概念及画法

学科

初中数学

学段与年级

九年级下学期

教材版本

人教版《数学》九年级下册第二十七章《相似》

课时安排

第1课时（共2课时）

课型

新授课

二、教学背景深度分析

（一）课标解读与核心素养指向

本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的变化”主题。课程标准明确要求：“通过具体实例认识图形的相似与位似，了解相似比和位似中心的概念；能在坐标系中画出位似图形，并利用位似进行图形的放大或缩小。”这不仅明确了知识技能目标，更蕴含了深刻的素养内涵。

从核心素养视角剖析：

1.抽象能力与空间观念：从具体的图片缩放、投影现象中，抽象出“位似”这一数学概念，理解其“形似且点连线共点”的本质属性。学生需要从二维图形中想象和理解点、线在特定变换下的位置关系，构建“位似中心”、“位似比”、“同侧与异侧”等概念的心理图式，这是发展空间观念的关键过程。

2.推理意识与几何直观：在探究位似图形的定义与性质时，需要进行合情推理与演绎推理。例如，从“对应点连线交于一点”能否必然推导出“对应边平行（或共线）”？反之是否成立？通过画图、测量、猜想、论证，培养学生的逻辑思维链条。几何直观则体现在通过直观的图形操作来理解和表述抽象的位似关系。

3.应用意识与创新意识：位似变换是连接数学与现实的桥梁。在艺术（绘画透视）、技术（工程制图、地图绘制）、科学（显微镜、望远镜成像）等领域有广泛应用。教学设计应引导学生用数学眼光观察这些现象，用数学思维分析其原理，并尝试创新性地解决一些简单的实际问题，如设计一个简单的缩放图案。

（二）教材分析与整合

本节课位于人教版九年级下册《相似》一章的末尾，是相似变换的一种特例和深化。其知识结构定位如下：

1.承上：它建立在“图形的相似”、“相似多边形及其判定”、“相似三角形的性质与判定”等一系列知识基础之上。学生已经掌握了“形状相同，大小不一定相同”的相似本质，以及通过比例线段研究图形关系的方法。位似是对相似关系增加了“对应点连线共点”这一几何位置约束，是相似关系的特殊化与精确化。

2.启下：本节是后续学习“位似变换的坐标规律”（在平面直角坐标系中）和“投影与视图”的知识基础。特别是位似作为中心投影的数学模型，为理解视图中的“长对正、高平齐、宽相等”提供了变换视角的解读。

教材的编排通常从生活实例引入，通过观察、归纳给出位似图形的描述性定义，然后介绍位似图形的性质，最后讲解位似图形的画法。本设计将在尊重此主线的基础上，进行结构化重组与深度挖掘：将“概念建构”与“性质探究”深度融合，在画图实践中深化对概念的理解；引入动态几何软件（如GeoGebra）作为认知工具，实现从静态观察到动态生成、从定性认识到定量分析的跨越。

（三）学情诊断

九年级下学期的学生已具备以下认知基础与潜在障碍：

1.已有基础：

1.2.掌握了相似图形、相似比的概念。

2.3.能够熟练运用比例的性质。

3.4.具备基本的尺规作图能力和空间想象力。

4.5.初步接触过图形变换（平移、轴对称、旋转）。

6.认知障碍与误区预判：

1.7.概念混淆：易将“位似”与“相似”等同，忽视“对应点连线交于一点”这一核心条件；或混淆“位似中心”与“相似中心”（一般的相似图形未必有公共点）。

2.8.理解片面：可能认为位似图形必须一个在另一个的“内部”或“外部”，难以理解分居位似中心两侧的情况（异侧位似）。

3.9.性质割裂：对于“对应边平行（或共线）”和“任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比”这两条性质，可能只知其然，不知其所以然，更不理解它们与定义的等价关系。

4.10.画法僵化：机械记忆画图步骤，不理解画法背后的几何原理（如为何要连接关键点与位似中心并截取定比线段）。

11.心理与能力特点：该阶段学生的抽象逻辑思维进入快速发展期，已不满足于被动接受结论，渴望参与探究过程，享受逻辑论证带来的理性满足感。但同时也面临中考压力，教学设计需兼顾思维的深度与效率，在探究中构建扎实的认知结构。

（四）教学策略选择

基于以上分析，本课将采用“大概念引领下的探究式教学”模式。

1.核心理念：以“图形在保持形状不变下的另一种精确变换——位似变换”为大概念统摄全课。

2.主要策略：

1.3.情境-问题链驱动：创设真实、富有挑战性的问题情境，通过环环相扣的问题链，引导学生主动建构知识。

2.4.“做数学”体验：将画图操作贯穿始终，在“动手做”中“动脑想”，实现手脑协同。

3.5.信息技术深度融合：利用GeoGebra动态演示位似图形的生成过程，直观展示位似比变化、位似中心位置移动带来的图形变化，突破异侧位似等教学难点，并辅助进行猜想与验证。

4.6.合作探究与精准讲授相结合：在关键概念的生成点、重难点的突破点组织小组探究与辩论；在方法归纳、体系建构时进行精炼、系统的讲授。

三、教学目标（分层表述）

（一）知识与技能

1.理解：能结合具体图形，准确阐述位似图形、位似中心、位似比的概念，并能识别位似图形。

2.掌握：能归纳并证明位似图形的基本性质（对应点连线共点、对应边平行/共线、对应线段比等于位似比）。

3.应用：能综合运用位似概念和性质，利用尺规或方格纸，按要求（给定位似中心与位似比）画出一个多边形的位似图形。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例、已有相似知识中抽象概括位似概念的过程，体会数学抽象和模型思想。

2.通过观察、测量、猜想、推理、验证等活动，探究位似图形的性质，发展合情推理和演绎推理能力。

3.在解决“如何精确放大图形”的实际问题中，探索位似图形的多种画法，体验“化归”（将复杂图形分解为关键点）和“数形结合”的数学思想方法。

（三）情感、态度与价值观

1.通过感受位似在摄影、测绘、艺术等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和文化价值，增强学习兴趣。

2.在探究活动中，培养严谨求实、合作交流的科学态度，以及勇于质疑、理性思考的理性精神。

3.通过欣赏由位似产生的美妙图案（如分形艺术初探），感受数学的和谐与创造之美。

四、教学重难点

1.教学重点：位似图形的概念及其基本性质。

2.教学难点：

1.3.对位似概念本质（“形似”且“点连线共点”）的理解，特别是异侧位似图形的识别与接受。

2.4.位似图形性质的探究与理解，尤其是各性质之间的逻辑关联。

3.5.灵活、准确地根据位似中心的不同位置（在多边形内、外、边上）画出位似图形。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.教学课件（PPT/Keynote），内含丰富的图片、视频素材（如显微镜成像过程、电影放映原理动画、埃舍尔版画等）。

2.3.动态几何软件GeoGebra课件，预设可拖动的位似中心、可调节的位似比滑块。

3.4.实物展示：可调节焦距的放大镜、两张大小不同但形状相同的图片。

4.5.导学案（含探究任务单）。

6.学生准备：

1.7.复习相似多边形的定义与性质。

2.8.准备直尺（带刻度）、圆规、量角器、方格纸、铅笔。

3.9.每4人一个学习小组。

六、教学过程

环节一：创设情境，激疑引思（约8分钟）

【教师活动1】展示现象，提出问题

1.播放一组图片：同一张照片的不同尺寸冲洗版；显微镜下的细胞图像与原标本；电影放映机将胶片画面投射到银幕上的示意图。

2.提问：“这些场景中，变化前后的图形是什么关系？”（预设回答：相似。）

3.追问：“这些相似关系，与我们之前学的任意两个相似三角形有什么不同？”（引导学生关注：照片放大时，各点似乎有一个‘膨胀’的中心；显微镜和放映机的光路中，所有光线似乎交于一点（镜头）。）

4.引出核心问题：“是否存在一种特殊的相似，其对应点之间的连线都经过同一个点？这种相似又有何特性和价值？”

【学生活动】观察、思考、讨论并回答。从生活经验出发，直观感知这种“有共同出发点的缩放”现象。

【设计意图】从学生熟悉的现实情境出发，在“相似”的普遍认知中制造认知冲突，引出对“特殊性”的思考，激发探究欲望。问题指向本课核心——位似的几何特征。

【学科融合点】融合物理学中的光学成像原理（凸透镜成像），为位似提供科学原型，体现STEM理念。

环节二：操作探究，建构概念（约15分钟）

【教师活动2】组织探究，归纳定义

1.任务一：纸上探“位”。

1.2.发给每个小组一张印有△ABC的纸和一枚图钉。

2.3.要求：将图钉固定在纸外一点O处，用笔尖在纸上描出△ABC，然后保持图钉（O点）固定，将纸沿着桌面自由旋转一个角度并适当移动，再次描出△ABC。观察两个三角形的位置关系。

3.4.引导性提问：这两个三角形相似吗？连接AA‘,BB’,CC‘，你发现了什么？改变O点的位置或纸的移动距离，规律还成立吗？

5.任务二：软件验“似”。

1.6.利用GeoGebra展示：预设一个△ABC和一个点O。构造射线OA、OB、OC，通过拖动滑块k（位似比），在射线上截取OA‘=k·OA,OB’=k·OB,OC‘=k·OC，连接A’B‘C’，形成新三角形。

2.7.动态演示：拖动点O（改变位置）、调节k值（k>1,0<k<1,k<0）。引导学生观察：

a.当k>0时，△ABC与△A‘B’C‘的位置关系（同侧）；

b.当k<0时，△ABC与△A‘B’C‘的位置关系（异侧）；

c.两种情况下，对应点连线是否都经过点O？对应角、对应边成比例吗？

8.归纳定义：

1.9.引导学生用数学语言描述上述发现。

2.10.给出严谨定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A,A‘的连线都经过同一个点O，且满足OA’/OA=k（k为常数），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比。

3.11.强调概念要点：①前提是相似；②所有对应点连线共点；③该点分割对应线段成定比。

4.12.明晰分类：当k>0时，位似图形在位似中心同侧；当k<0时，位似图形在位似中心异侧。

【学生活动】

1.动手操作任务一，观察、测量、记录，小组内交流发现。

2.观察GeoGebra动态演示，思考并回答教师的连续追问。

3.参与定义的归纳过程，尝试用自己的语言表述，并对比教材定义进行修正、内化。

【设计意图】通过“实物操作+技术验证”的双重探究路径，让学生亲身经历概念的生成过程。实物操作带来直接体验，动态软件则将过程可视化、精确化、可变化，尤其帮助学生突破“异侧位似”这一认知难点。从具体实例中归纳定义，符合概念学习规律。

环节三：推理辨析，深化性质（约12分钟）

【教师活动3】引导猜想，组织论证

1.性质猜想：基于定义和刚才的观察，请学生猜想位似图形有哪些性质。

1.2.预设学生猜想：①对应点连线共点于O（即定义）；②对应边平行（或在同一直线上）；③周长比等于位似比|k|；④面积比等于位似比的平方|k|²。

3.重点突破——性质②的证明：

1.4.提问：“由‘对应点连线共点且成比例’，如何证明对应边平行？”以AB和A‘B’为例。

2.5.引导学生分析：已知OA‘/OA=OB’/OB=k，求证：AB∥A‘B’。

3.6.启发证明思路：利用平行线分线段成比例定理的逆定理。在△OAB中，由OA‘/OA=OB’/OB，可推出A‘B’∥AB。

4.7.逆向思考：提问：“如果两个相似多边形对应边平行，它们一定是位似图形吗？位似中心如何确定？”（引导学生发现：连接对应顶点，其延长线应交于一点，该点即为位似中心。此即位似的一种判定方法。）

8.性质整合与辨析：

1.9.利用GeoGebra，展示当位似中心位于两个图形对应顶点之间时（如k=-0.5），对应边依然平行。

2.10.引导学生区分：定义是根本，“对应边平行”是派生性质，两者在一定条件下等价。

3.11.简要说明性质③④可由相似图形性质直接推出。

【学生活动】

1.积极提出猜想。

2.在教师引导下，尝试写出性质②的证明过程，小组内互评。

3.思考并讨论逆命题的真假，理解定义与性质间的逻辑关系。

【设计意图】将性质的发现与证明作为发展学生推理能力的重要载体。不满足于直观感知，而是追问“为什么”，引导学生进行简单的演绎推理，体会数学的严谨性。通过对定义与性质关系的辨析，深化对位似本质的理解，构建知识网络。

环节四：典例精析，掌握画法（约20分钟）

【教师活动4】示范引领，变式训练

1.出示例题：已知四边形ABCD和位似中心O，位似比k=2，求作四边形ABCD的位似图形。

2.分析原理：作图的关键是什么？（确定关键点（顶点）的对应点）如何确定？依据定义：连接OA，在射线OA上截取OA‘=2OA。

3.展示画法（分情况讨论）：

1.4.情况一：位似中心在多边形外部（同侧，k>0）。

步骤：①连接OA、OB、OC、OD；②分别在射线OA、OB、OC、OD上截取A‘,B’,C‘,D’，使OA‘/OA=OB’/OB=…=2；③顺次连接A‘B’C‘D’。

2.5.情况二：位似中心在多边形外部（异侧，k=-2）。

强调：此时截取点在反向延长线上。引导学生理解k<0的几何意义。

3.6.情况三：位似中心在多边形边上（如点O在边AB上）。

引导思考：此时点A‘、B’在哪里？（与O重合或在AB及其延长线上）作图时需特别注意。

4.7.情况四：位似中心在多边形内部。

让学生先尝试，再点评。

8.变式训练与挑战：

1.9.变式1：不给定位似中心O，要求将四边形ABCD放大为原来的2倍。怎么办？（引导学生得出：可任意选择一点作为位似中心，本质上可以画出无数个符合要求的位似图形。）

2.10.变式2（合作探究）：在方格纸中，如何快速画出位似图形？（引导学生发现利用网格和位似比，通过数格子的方法确定对应点，这为下节课“坐标系中的位似”作铺垫。）

3.11.挑战任务：给定一个五角星图案和位似中心O，位似比k=1/3，你能画出它缩小后的图案吗？体会将复杂图形“化归”为关键点处理的思想。

【学生活动】

1.跟随教师分析，理解画法原理。

2.在学案上或方格纸上，动手绘制不同情况下的位似图形。小组内互查作图准确性和规范性。

3.尝试变式问题，进行小组讨论，汇报不同的解决方案。

4.完成挑战任务，总结画图的一般步骤和注意事项。

【设计意图】画法是概念和性质的综合应用。本环节采用“一题多变，一题多解”的方式，通过不同情况的对比，让学生全面掌握位似作图的原理与方法，避免机械套用步骤。变式训练旨在培养学生的灵活性和发散思维，挑战任务则提升应用能力。此环节是技能形成的关键。

环节五：归纳反思，体系初建（约5分钟）

【教师活动5】引导总结，梳理脉络

1.引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.2.知识：我们今天学习了什么？（位似的概念、分类、性质、画法）

2.3.方法：我们是如何研究位似的？（从生活实例→操作探究→抽象定义→推理性质→应用画法）

3.4.思想：贯穿其中的数学思想有哪些？（模型思想、数形结合、化归思想、分类讨论）

5.展示本节课的知识结构思维导图（雏形），强调位似是一种特殊的相似变换，其核心是“定点缩放”。

6.留疑：在平面直角坐标系中，位似变换会有什么更简洁的规律？它为我们的绘图和设计带来哪些新的可能？

【学生活动】积极参与总结，回顾学习历程，构建个人知识框架。思考教师提出的问题，为下节课的学习埋下伏笔。

【设计意图】课堂小结不是简单的知识罗列，而是引导学生进行元认知反思，梳理学习路径，提炼思想方法，将零散的知识点系统化、结构化。留疑旨在激发持续的求知欲。

环节六（课外延伸）：分层作业，拓展视野

【作业设计】

1.基础巩固层（必做）：

1.2.阅读教材，复述位似图形的定义，并用自己的话解释位似比k>0和k<0的几何意义。

2.3.教材课后练习题：判断图形是否为位似图形，并指出位似中心；完成简单的位似作图。

4.能力提升层（选做）：

1.5.探究题：两个位似图形，如果位似中心不在图纸内，你能否通过作图找到它？写出你的方法和理由。

2.6.设计题：利用位似变换，将一个简单的Logo图案（如一片树叶）放大和缩小，绘制出一组具有美感的系列图案。

7.拓展创新层（挑战）：

1.8.文献阅读：查阅资料，了解“分形”艺术（如科赫雪花、谢尔宾斯基三角形），思考其中是否蕴含着位似的思想？（自相似性）

2.9.实践调研：生活中哪些地方应用了位似原理？拍摄一张照片或绘制一张草图，并简要说明其工作原理。

【设计意图】设计分层、弹性的作业，满足不同层次学生的发展需求。基础题巩固“双基”；提升题发展探究和设计能力；创新题链接数学前沿与生活实践，拓宽学科视野，培养跨学科综合素养。

七、板书设计

（左侧主板）（右侧副板/电子白板同步区域）

§27.3位似（第一课时）

一、概念

1.定义：两个相似图形，若所有对应点连线共点，则称为位似图形。

该点→位似中心(O)

定比k→位似比(OA‘/OA=k)

2.分类：

k>0→同侧位似

k<0→异侧位似

二、性质

3.对应点连线共点于O（定义）

4.对应