2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（一）（教师版）

第2页，共17页2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（一）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.难度系数：0.60.（计算过程：0.85×5+0.85×5+0.85×5+0.75×5+0.80×5+0.65×5+0.65×5+0.45×5+0.65×6+0.60×6+0.50×6+0.75×5+0.65×5+0.45×5+0.70×13+0.55×15+0.55×15+0.45×17+0.40×17=90.0÷150≈0.60）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2026·辽宁鞍山·二模）已知集合，，则（） A. B. C. D.【答案】B【详解】解不等式得.又，所以.集合，则.【易错警示】常见错误：解一元二次不等式时符号判断错误，或在求交集时遗漏元素.防错方法：利用求根公式解方程，画出二次函数草图辅助判断.【规律总结】通法：解集合运算问题，应先化简各个集合，然后根据交集、并集、补集的定义求解.2.（2026·重庆万州一中·模拟）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（） A.5 B.-5 C.3 D.-3【答案】A【详解】实系数一元二次方程的两个复数根互为共轭复数，故.则.【易错警示】常见错误：忽略实系数方程虚根共轭的性质，或计算共轭复数时只改变虚部符号而漏掉实部.防错方法：牢记与互为共轭，且.【规律总结】技巧：利用可快速求积.3.（2026·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，若，则的值为（） A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】A【详解】两向量垂直的充要条件是数量积为0.所以，解得.【易错警示】常见错误：向量坐标数量积公式记错（如写成横纵坐标分别相乘再相加）.防错方法：记准公式.【规律总结】通法：向量垂直数量积为0.4.（2026·新疆·四月适应性检测）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（） A. B. C. D.【答案】C【详解】将的图象向右平移个单位，得到.所以.【易错警示】常见错误：平移方向与加减号对应错误，或未将的系数提出来（如直接写成）.防错方法：牢记“左加右减”是对本身而言，系数不为1时要先提取系数.【规律总结】通法：三角函数图象变换，先提取的系数，再根据平移量写出新解析式.5.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种【答案】C【详解】从6人中选3人的总选法有种.其中没有工程师（即全部为专家）的选法有种.所以至少有一名工程师被选中的选法共有种.【易错警示】常见错误：直接分类讨论时可能重复或遗漏，如“选1个工程师2个专家”和“选2个工程师1个专家”加起来是.防错方法：当“至少”类问题正面分类较多时，优先考虑用总情况数减去对立事件的情况数.【规律总结】技巧：“至少”、“至多”问题常用间接法（排除法）求解，更简洁.6.（2026·吉林长春·质量监测二）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（） A. B. C. D.【答案】B【详解】设球的半径为，则圆台的高.因为球与圆台侧面也相切，故圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，母线长.由勾股关系，得，解得.所以球的表面积.【易错警示】常见错误：误用圆台的表面积公式或体积公式求内切球.防错方法：画出轴截面图，将空间问题平面化，利用等腰梯形有内切圆的性质.【规律总结】通法：圆台内切球问题，关键结论是“母线长=上底半径+下底半径”.7.（2026·甘肃·二模）函数的最小值为（） A.-1 B. C.-3 D.-5【答案】C【详解】原式化简：，.故，其中.函数的最小值为.但本题原始文档答案为C（-3），此处遵照原答案选C.可能存在题干或答案印刷错误，我们忠实于源文件.【易错警示】常见错误：辅助角公式应用不熟练，或三角恒等变换错误.防错方法：熟记，并注意系数的符号.【规律总结】通法：形如的函数最值问题，一律用辅助角公式求解.8.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.若椭圆上存在不同的两点，使得，则的取值范围是（） A. B. C. D.【答案】B【详解】设关于原点的对称点为，则.若，则，即.代入，得.若，由于椭圆的对称性，可得.综上，.【易错警示】常见错误：忽略的情况导致漏解；求范围时未考虑取等条件或区间开闭错误.防错方法：利用椭圆的中心对称性全面讨论，通过向量共线定理转化焦半径范围.【规律总结】技巧：涉及椭圆上两点与焦点连线的问题，常利用椭圆定义和对称性，将向量关系转化为焦半径的关系.【一题多解】解法一（对称转化法）：如上，利用中心对称将转化为过左焦点的向量，转化为左焦半径的比例问题.解法二（坐标运算）：设，由建立坐标关系，代入椭圆方程，利用参数方程或不等式求范围，计算量较大.对比：解法一充分利用了椭圆的中心对称性和几何意义，运算量小，效率高，是解决此类问题的首选方法.解法二虽然直接，但参数较多，运算复杂，容易出错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（2026·重庆·二诊）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（） A. B. C. D.【答案】BC【详解】对于A，，二项分布的概率分布图关于对称，因此，A错误.对于B，，正态曲线关于直线对称，故，B正确.对于C，，，C正确.对于D，，，D错误.【易错警示】常见错误：混淆二项分布与超几何分布；正态分布对称区间判断错误.防错方法：牢记二项分布的期望和方差；画图理解正态分布的对称性.【规律总结】通法：判断概率分布的性质，必须准确掌握其期望、方差公式及概率分布曲线的对称性.10.（2026·甘肃·二模）函数（，且），则以下结论正确的是（） A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上为增函数 C.当时， D.函数为奇函数【答案】CD【详解】对于A，的每一项的最小正周期都是的约数？周期为，所以周期为，A错误.对于B，利用导数或特殊值，如和，在上不是单调增，B错误.对于C，当时，代入，的值为循环，经计算可得，C正确.对于D，每一项都是奇函数，奇函数之和仍为奇函数，D正确.【易错警示】常见错误：误以为多个周期函数的和的周期就是各自周期的最小公倍数，忽略了相位和系数的影响.防错方法：严格根据周期函数的定义来判断.【规律总结】通法：分析多项三角函数和的性质时，可逐项分析其奇偶性、周期性，并结合特殊值法排除错误选项.11.（2026·山西卓越联盟·质量检测）已知抛物线的焦点为，过点斜率为2的直线与交于两点，，过点与不重合的直线与交于两点，分别以为切点的的两条切线的交点为，则下列结论正确的是（） A. B. C.的最小值为4 D.点到中点的距离为5【答案】BC【详解】由题意，直线方程为，与联立，得.，解得，故，A错B对.设直线方程为，联立得，利用切线方程可求得交点，故在定直线上，，当时取等，C对.中点为，当切点为时，，此时距离为5，但一般情况不等于5，D错.【易错警示】常见错误：抛物线焦点弦长公式记忆错误（）.求切线方程时计算错误.防错方法：熟记抛物线的焦点弦长公式，联立方程时要仔细检查韦达定理的应用.【规律总结】技巧：抛物线中，以弦的两端点为切点的切线交点，其轨迹是抛物线的准线（本题是）.利用此性质可快速求解.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.（2026·山西T8联盟·联考）的展开式中的系数为__________.【答案】-20【详解】的展开式中的系数，即的展开式中的系数.(的展开式通项为，令，则.所以系数为-20.【易错警示】常见错误：直接展开计算，忽略了前面的，导致求错项.防错方法：将原式看作两部分，先确定后面展开式需要提供多少次幂.【规律总结】通法：求多项式中特定项的系数，可先转化为二项式定理的标准形式，再利用通项公式求解.13.（2026·吉林长春·质量监测二）在中，，，，的面积为__________.【答案】【详解】由余弦定理，代入已知得，解得（负值舍去）.此时，为等腰三角形，.面积.【易错警示】常见错误：余弦定理中符号记错，或在解二次方程时出错.防错方法：画图辅助记忆余弦定理形式（），牢记.【规律总结】通法：已知两边及其中一边对角解三角形，一般先利用余弦定理建立第三边的方程求解.14.（2026·山西大学附中·阶段检测）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为4，已知，过的平面分别交其他侧棱于，，则四棱锥的体积为__________.【答案】【详解】根据正四棱锥的性质与共面向量基本定理，可求得.结合图形，利用三棱锥体积与共顶点三棱锥体积的比例关系，分别求出和，再相加即得.【易错警示】常见错误：空间向量共面定理应用不熟练，或体积比例计算错误.防错方法：利用共面向量定理求参数时，要确保基向量不共面，并准确建立方程.计算体积比时，要抓住“共顶点，底面积成比例”的原则.【规律总结】技巧：在空间几何中，求截面分几何体所得体积，常利用共面向量定理确定截面位置，再通过体积比进行计算.【一题多解】解法一（共面向量法）：如详解所述，利用四点共面，结合正四棱锥的性质列出向量方程，求出点的位置参数，再分割求体积.解法二（空间坐标法）：建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的方程，再求坐标，进而求高和体积.对比：解法一更侧重几何关系和向量运算，计算量相对较小；解法二思路直接，但坐标运算较为繁琐.在解决此类比例问题时，解法一更具技巧性.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（2026·甘肃·二模）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，为中点，，求.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由已知等式，利用正弦定理边化角，得.因为，约去，得.移项得，即.又，故.由于，得.又，所以.（2）因为为中点，所以.两边平方得，即.代入，得，解得（舍去负值）.在中，由余弦定理求，，或直接用中线公式求.由，可得，故.在中，.由余弦定理，.所以.【易错警示】常见错误：正弦定理边化角时漏掉系数；中线长公式应用错误.防错方法：边化角时确保等式两边都是齐次式；用向量法或补成平行四边形法推导中线长.【规律总结】通法：解三角形中涉及边长和中线的问题，常通过构造向量或利用余弦定理建立方程.16.（15分）（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在三棱锥中，侧面底面，，.（1）求证：；（2）已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）取中点，连接.因为，由等腰三角形三线合一，得.又，所以平面.又平面，故.（2）由条件知.在直角中，，所以.在直角中，，所以.结合面面垂直性质，可证平面.建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线分别为轴.则.设，则.由，即，解得，故.分别求出平面和平面的法向量，利用即可求得二面角余弦值为.【易错警示】常见错误：证明线面垂直时，忽略“线线相交”的条件；利用空间向量求二面角时，法向量夹角与二面角的关系判断错误.防错方法：严格按定理条件逐一验证；二面角是锐角还是钝角，通常结合图形或法向量方向判断.【规律总结】通法：证明线线垂直常通过线面垂直来转化；求二面角常用空间向量法，准确写出点的坐标和法向量是关键.17.（15分）（2026·九师联盟·学业评估）某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立.若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传.（规定：）（1）记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差；（2）求单个数据包可正确解码的概率.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）由题意知，.所以期望，方差.（2）可正确解码的概率为.利用二项分布概率公式计算：，，.代入，得结果为.【易错警示】常见错误：审题不清，将“不超过2个”理解为“恰好2个”；二项分布方差公式记错为.防错方法：仔细审题，区分“至多”、“至少”、“恰好”；牢记二项分布的方差公式.【规律总结】通法：服从二项分布的随机变量，其概率、期望、方差都有固定公式，直接应用即可.计算复杂幂时注意利用题目给出的近似值.18.（17分）（2026·山西大学附中·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，短轴长为，离心率为.（1）求的方程；（2）记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为.（i）证明：直线过定点；（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴下方.是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）（i）定点为；（ii）存在，点.【详解】（1）由短轴长得，离心率，又，解得.故方程为.（2）（i）当直线斜率不存在时，可求得方程为；当斜率存在时，设，与椭圆联立，利用韦达定理和的条件，化简得或.时过点不合题意，故，即直线过定点.（ii）利用面积比为3:5，结合焦半径公式及椭圆定义，可建立方程，解得点坐标为.【易错警示】常见错误：设直线方程时忽略斜率不存在的情况；化简斜率之积时计算量大导致出错.防错方法：解决直线与圆锥曲线问题，先讨论斜率是否存在，再利用韦达定理整体代入化简，可简化运算.【规律总结】通法：圆锥曲线中的定点定值问题，常通过设参、联立、消参的步骤求解，其核心是利用韦达定理进行整体代换.【一题多解】解法一（设线法）：如详解，设直线的方程，通过联立、韦达定理、斜率关系求解，是解析几何的通法.解