鲁教版（五四制）初中数学七年级下册《等腰三角形》学历案教案

鲁教版（五四制）初中数学七年级下册《等腰三角形》学历案教案

一、课程基本信息

项目

内容

课题名称

等腰三角形的性质与判定

授课年级

七年级（五四制初中二年级）

教材版本

鲁教版（五四制）数学七年级下册

课时安排

2课时（连堂，共90分钟）

设计理念

秉持“学为中心”的学历案设计思想，以“大概念”统整教学，将等腰三角形置于“图形对称性”与“三角形基本体系”的交叉点上。通过“情境-问题-探究-应用-迁移”的线索，引导学生经历完整的数学发现与建构过程，发展几何直观、逻辑推理、模型观念等核心素养，实现从“知识掌握”到“观念形成”的深度学习。

课型

新授课（探究发现型）

二、学习目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形与几何”领域的要求，结合本课内容与学情，制定如下可观测、可评价的表现性学习目标：

1.理解与表征：能准确陈述等腰三角形的定义，识别其腰、底边、顶角、底角等元素；能运用规范的数学语言和符号（如△ABC中，AB=AC）表示等腰三角形及其相关性质。

2.探究与证明：

1.3.通过折叠、测量等操作活动，猜想并归纳等腰三角形的两个基本性质：“等边对等角”与“三线合一”。

2.4.能独立或合作完成“等边对等角”定理的演绎证明（作底边上的高），理解添加辅助线将三角形分割为两个全等直角三角形的基本思路，体会转化思想。

3.5.能基于“等边对等角”定理，通过逻辑推理证明“三线合一”性质，理解其内在统一性。

6.应用与建模：

1.7.能熟练运用等腰三角形的性质解决简单的几何计算问题（如求角度、边长）。

2.8.能在稍复杂的几何图形（如组合图形、基本尺规作图）中识别或构造等腰三角形，并利用其性质进行推理证明，初步建立利用特殊图形性质简化问题的策略模型。

9.迁移与创新：

1.10.能初步体会等腰三角形的轴对称性是其一切性质的根源，建立“对称→重合→相等”的认知路径。

2.11.能基于性质探究的经验，类比提出关于等腰三角形判定的猜想，并尝试设计验证方案，为下节课的学习埋下伏笔。

三、评价任务设计

为精准评估学习目标的达成度，设计贯穿学习全程的嵌入式评价：

目标序号

对应的评价任务

评价方式

评价要点

目标1

任务一：情境识别与概念表述

观察、提问、学案填写

表述的准确性、符号使用的规范性

目标2

任务二：操作探究与猜想提出

任务三：定理证明与说理

小组活动记录、实物展示、板演、论证过程评分量表

操作的规范性、猜想的合理性、证明的逻辑严密性、辅助线作法的合理性

目标3

任务四：基础应用

任务五：综合应用与建模

独立练习、小组互评、变式问题解决

计算的准确性、性质选择的恰当性、推理步骤的清晰性、模型应用的意识

目标4

任务六：性质根源探讨

任务七：判定猜想与展望

课堂讨论、思维导图绘制、猜想陈述

对轴对称本质的理解深度、类比猜想的合理性与创新性

四、学习资源与建议

1.前置知识：三角形的基本概念与分类；全等三角形的判定（SSS,SAS,ASA,AAS）；角平分线、中线、高的定义；轴对称的基本性质。

2.核心资源：

1.3.学历案文本：本教学设计文稿，包含学习任务单、探究指南、例题与练习。

2.4.探究工具包：每组提供等腰三角形纸片（锐角、直角、钝角各一）、量角器、直尺、圆规、剪刀、彩笔。

3.5.信息技术：几何画板动态课件（展示等腰三角形绕对称轴旋转重合的过程）；实物投影仪（展示学生作品）。

4.6.思维支架：“猜想-验证-证明”探究流程图；“已知-求证-分析-证明”书写模板。

7.学习建议：

1.8.学法指导：提倡“做中学、思中悟”。鼓励动手操作、大胆猜想、严谨验证、合作交流。

2.9.难点突破：性质证明中辅助线的添加是难点。建议从“如何构造两个全等三角形”这一核心问题反向思考，对比不同辅助线（作高、中线、顶角平分线）的异同与优劣。

3.10.拓展延伸：学有余力的同学可尝试探究：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和是否为定值？等边三角形具有哪些特殊性质？

五、学习过程（共90分钟）

第一课时：性质的发现与证明（40分钟）

环节一：创设情境，温故知新（5分钟）

1.情境导入

（教师利用多媒体展示一组图片：埃及金字塔侧面、埃菲尔铁塔局部结构、中国传统房屋的人字形屋顶、舞蹈演员的“一字马”姿势、自然界的树叶脉络…）

师生活动：

1.教师提问：“这些来自建筑、艺术、自然的图片中，隐藏着一个共同的几何图形，你发现了吗？”

2.学生观察、思考并回答。（预设答案：三角形，特别是看起来两边相等的三角形）

3.教师追问：“如何从数学上更精确地描述这种‘两边相等’的三角形？”

2.概念明晰

1.任务一：请在自己的学案上完成。

1.2.(1)画出一个△ABC，使得AB=AC。

2.3.(2)标出它的腰、底边、顶角、底角。

3.4.(3)用符号语言表述：“△ABC是等腰三角形”。

5.教师巡视，关注学生作图与表述的规范性。选取一份学生作品投影，由其他学生评价、修正，最终明确：

1.6.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2.7.元素：相等的两边叫“腰”，另一边叫“底边”，两腰的夹角叫“顶角”，腰与底边的夹角叫“底角”。

3.8.符号：在△ABC中，∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形。

设计意图：从跨学科的现实情境出发，激发兴趣，感受数学的广泛应用。通过任务一，精准评估并巩固学生对等腰三角形基础概念的掌握，为后续探究奠基。

环节二：操作探究，大胆猜想（15分钟）

1.动手操作，感知特征

任务二：以小组为单位，利用提供的等腰三角形纸片进行探究。

1.活动A（折叠）：将等腰三角形纸片沿一条直线对折，使折痕两边的部分完全重合。你能找到几条这样的折痕？它通过了哪个顶点？与底边有什么关系？

2.活动B（测量）：用量角器测量等腰三角形的两个底角的度数，你有什么发现？用直尺测量折痕与底边交点到两个端点的距离，又有什么发现？

2.交流分享，形成猜想

1.小组合作探究，教师巡视指导，重点关注学生操作的规范性和观察的细致度。

2.邀请小组代表利用实物投影展示折叠过程并汇报发现。

1.3.预设发现1：只有一条折痕能使两部分完全重合，这条折痕通过顶角顶点，并且与底边垂直，平分底边。

2.4.预设发现2：两个底角度数相等；折痕与底边的交点是底边的中点。

5.教师引导提炼：这条特殊的折痕是什么线？（底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线）它们似乎是同一条线！

6.师生共同归纳猜想：

1.7.猜想1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。

2.8.猜想2（三线合一）：等腰三角形底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合。

设计意图：通过折叠这一典型的轴对称操作，让学生直观感知等腰三角形的轴对称性，这是其所有性质的几何本源。测量活动则为猜想提供数据支持。小组合作促进思维碰撞，为从“实验几何”向“论证几何”过渡做好铺垫。

环节三：逻辑证明，建构定理（20分钟）

1.证明“等边对等角”

1.明确命题：将猜想1转化为规范的数学命题。

1.2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC。

2.3.求证：∠B=∠C。

4.任务三（分析）：如何证明两个角相等？我们已学过哪些方法？（全等三角形对应角相等、平行线性质等）。在当前图形中，∠B和∠C分别位于△ABC中，如何构造全等三角形？

5.小组讨论：尝试寻找证明路径。教师提示：回顾折叠过程，折痕给我们什么启示？（将三角形分成两个部分）。

6.学生尝试：可能会提出作底边BC上的高AD、或中线AD、或顶角∠A的平分线AD。

7.师生共析：比较三种辅助线作法的可行性。以作高AD为例进行分析：

1.8.目标：证明△ABD≌△ACD。

2.9.条件：已有AB=AC（已知），AD=AD（公共边）。还需一个条件。

3.10.关键：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。（HL全等）

4.11.若作中线，则BD=CD（SAS全等）；若作角平分线，则∠BAD=∠CAD（SAS全等）。三种方法皆可，但作高无需额外证明线段或角相等，在现阶段最直接。

12.任务三（书写）：学生在学案上独立完成一种证明过程的书写。教师板书规范格式，并强调辅助线的叙述、证明步骤的因果逻辑。

13.形成定理：经过证明的猜想成为定理。简述为“等边对等角”。

2.推理“三线合一”

1.问题链引导：

1.2.Q1：如果已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，你能推出AD同时也是中线和顶角平分线吗？

2.3.Q2：需要证明什么？（证明BD=CD和∠BAD=∠CAD）

3.4.Q3：如何证明？请利用已证明的“等边对等角”定理。

5.学生独立思考后口述推理，教师板书关键步骤，展现由“高”推“中线”和“角平分线”的过程。同理，可简要说明从“中线”或“角平分线”出发亦可推出其他两线。

6.揭示本质：“三线合一”并非三个独立的性质，而是同一件事（轴对称）的三种不同表现形式，它们互为充要条件。

设计意图：这是本节课的核心与难点。引导学生从实验几何走向论证几何，亲历“分析题意-寻找策略-规范表达”的完整证明过程，深刻体会转化思想和逻辑推理的力量。对比不同辅助线作法，培养思维的灵活性与批判性。对“三线合一”的推理，则是对已证定理的初步应用，加深对性质间内在联系的理解。

第二课时：性质的应用、深化与迁移（50分钟）

环节四：基础应用，巩固新知（15分钟）

任务四：解决下列问题，并说明每一步的依据。

1.（直接应用）在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠A和∠C的度数。

2.（简单推理）如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠BAC=110°，求∠BAD和∠B的度数。

3.（规范书写）已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，且AD=AE，AB=AC。求证：BD=CE。

师生活动：

1.学生独立完成，教师巡视，关注学生是否养成“边写边注依据”的习惯，以及对于“三线合一”条件（必须明确哪条线是“三线”中的哪一线）的准确使用。

2.采用投影展示、学生互评的方式讲评。重点讲评第3题，引导学生发现图形中存在两个等腰三角形（△ABC和△ADE），并利用其性质进行等量代换（AB-AD=AC-AE），展示综合运用知识的能力。

设计意图：通过阶梯式练习，巩固对两个性质的理解和直接应用。问题3需要识别复杂图形中的基本图形，并进行简单的推理，是向综合应用过渡的桥梁。

环节五：综合建模，拓展思维（20分钟）

任务五：探究与解决以下更具挑战性的问题。

【探究一：尺规作图中的应用】

已知线段a和∠α，求作：一个等腰三角形，使其腰长为a，顶角为∠α。

1.小组讨论作图方案。关键：顶角确定了，如何确定底边？利用等腰三角形性质，两个底角相等，底边如何与腰关联？

2.分享方案。教师引导：本质上，已知“两边及其夹角”（SAS），作图原理实为全等三角形作图的延伸。利用“等边对等角”，也可先作出顶角，再在其两边上截取腰长。

3.学生尝试作图，教师利用几何画板演示动态验证。

【探究二：实际建模问题】

如图，一艘科考船在A点测得灯塔B在其北偏西30°方向，航行一段距离到C点后，测得灯塔B在其北偏东60°方向。已知AC=2海里。如果科考船保持航向不变，它是否有触礁（假设B为暗礁）的危险？请估算船与灯塔B的最近距离。

（教师提供简化示意图，图中隐含△ABC为AB=BC的等腰三角形）

1.学生小组合作：将文字转化为几何图形，寻找图中的等腰三角形（通过计算角度发现∠A=∠C=30°）。

2.建立模型：问题转化为“已知等腰三角形ABC的腰AC=2，顶角120°，求底边BC上的高（即最短距离）”。

3.求解：利用“三线合一”作出高，将等腰三角形分割为两个含30°角的直角三角形，利用三角函数或特殊直角三角形边比关系求解。

设计意图：将性质应用于尺规作图，连接了“性质”与“图形构造”，深化理解。实际建模问题创设了真实的跨学科情境（地理、航海），要求学生提取信息、抽象模型、综合利用等腰三角形性质和三角函数知识解决问题，体现了数学的应用价值，培养了模型观念和创新意识。

环节六：溯源反思，类比展望（15分钟）

1.性质根源探讨（任务六）

1.教师引导回顾：我们今天学习的所有性质，其最根本的源头是什么？

2.学生讨论回答。（预设：轴对称性）

3.师生共同总结知识脉络图（板书或思维导图）：

轴对称图形（定义）→折叠重合（操作）→边、角、线的对应相等（猜想）→逻辑证明（定理）→等边对等角、三线合一（应用）。

4.强调：对称是几何图形最美丽的性质之一，它联系了形状与数量，是研究特殊图形的重要视角。

2.判定猜想与展望（任务七）

1.教师抛出问题：“我们研究了等腰三角形的‘性质’，即‘已知是等腰三角形，能得到什么结论’。反过来，思考它的‘判定’：具备什么条件的三角形可以断定为等腰三角形？”

2.小组基于性质进行逆向猜想：

1.3.猜想A：如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形。（“等角对等边”）

2.4.猜想B：如果一个三角形一边上的高、中线、角平分线中有两条重合，那么它是等腰三角形吗？

5.教师肯定猜想的合理性，尤其是猜想A，并鼓励学生课后尝试像今天一样，去证明自己的猜想。

6.预告下节课内容：我们将重点研究等腰三角形的判定方法，并探索更特殊的等腰三角形——等边三角形。

设计意图：引导学生从整体上回顾学习历程，将知识点串联成线，形成以“对称”为核心的概念图，促进知识的结构化。通过提出判定猜想，实现从性质到判定的自然过渡，激发学生的探究欲，为单元学习做好铺垫，体现了教学的整体性与延续性。

六、学后反思

请在课后填写以下反思量表：

反思维度

问题提示

我的收获与疑惑

知识掌握

1.我能清晰说出等腰三角形的两个性质定理及其证明思路吗？

2.“三线合一”在使用时需要注意什么前提条件？

方法策略

3.在证明几何问题时，添加辅助线的目的是什么？今天的探究给了我哪些启发？

4.解决实际问题时，经历了一个怎样的步骤？（如：抽象图形、寻找模型、应用性质、求解检验）

观念与联系

5.等腰三角形的性质与它的轴对称性有何内在联系？

6.等腰三角形在三角形家族中处于什么位置？它与等边三角形、一般三角形有何联系？

学习表现

7.我在小组合作探究中做出了哪些贡献？

8.我是否敢于提出猜想并对同学的思路进行评价？

七、作业设计（分层）

【基础巩固层】（必做）

1.课本对应章节的练习题。

2.整理本节课的定理及其证明过程到数学