2025年四川省自贡市中考数学试题(含答案)_第1页
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文档简介

PAGE1自贡市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本试题卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共6页,满分150分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,答卷时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.第I卷选择题注意事项:必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.知常改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.一、选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若,则内的数字是()A. B.2 C.4 D.2.起源于中国围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,为中心对称图形的是()A. B. C. D.3.如图,一束平行光线穿过一张对边平行的纸板,若、则的度数为()A. B. C. D.4.中国新能源汽车性能优越,近年来销售量持续攀升,2024年度销量已达到万辆.12866000用科学记数法表示为()A. B. C. D.5.如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为()A. B. C. D.6.某校举行“唱红歌”歌咏比赛,甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示.三项评分所占百分比如下图所示,平均分最高的是()选手专家组评分教师组评分学生组评分甲779乙878丙788A.甲 B.乙 C.丙 D.平均分都相同7.如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为5,边在轴上..若将正方形绕点逆时针旋转.得到正方形.则点的坐标为()A. B.C. D.8.如图,正六边形与正方形的两邻边相交,则()A. B. C. D.9.某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长.则小地砖短边长()A.7cm B.8 C.9 D.10.分别与相切于两点.点在上,不与点重合.若,则的度数为()A. B. C. D.或11.如图,在平面直角坐标系中,将平移,得到,点在坐标轴上.若,则点坐标为()A. B. C. D.12.如图,正方形边长为6,以对角线为斜边作、,点在上.连接.若.则的最小值为()A.6 B.6 C.3 D.4第II卷(非选择题共102分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答,作图题可先用铅笔绘出.确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题(共5个小题,每小题4分,共20分)13.计算:___________.14.分解因式:______.15.若,则的值为___________.16.如图,在中,,于点,.以点为圆心,长为半径画弧,交于点.以点为圆心.的长为半径画弧.交于点,过点作,交于点;再以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,以的长为半径画弧,交于点,过点作,交于点;又以点为圆心……重复以上操作.则的长为___________.17.如图,在平面直角坐标系中,的顶点,分别在轴,轴正半轴上,,,.以为边作等边.连接,则的最大值为___________.三、解答题(共8个题.共82分)18.解不等式组:,并在数轴上表示其解集.19.如图,,.求证:.20.去年暑假,小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米,他们各掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均每小时比小李多掰2筐,请问小李平均每小时掰玉米多少筐?21.某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班,为了解同学们的参与意向,学生会进行了随机问卷调查,要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项.以下是依据调查数据,正在绘制中的统计图和统计表,请根据相关信息解答下列问题,选择球类兴趣班人数条形统计图选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球B篮球

C乒乓球

D羽毛球

(1)请补全上述条形统计图和占比统计表,若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比,则篮球兴趣班的扇形圆心角为___________度;(2)估计该校七年级400名学生中,选择乒乓球兴趣班的人数;(3)若用电脑随机选择A,B,C,D四类兴趣班,请用列表或画树状图的方法,求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率22.如图,等圆和相交于两点,经过的圆心,连接,作直径,延长到点,使,连接.(1)___________度;(2)求证:为的切线;(3)若,求上的长.23.如图,正比例函数与反比例函数的图象交于点,点是线段上异于端点的一点,过点作轴的垂线.交反比例函数的图象于点.(1)求的值;(2)若,求点坐标;(3)双曲线关于轴对称的图象为,直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标.24.如图1,自贡彩灯公园内矗立着一座高塔,它见证过自贡灯会的辉煌历史.小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动,小组同学研讨完测量方案后,活动如下.(1)制作工具如图2,在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉,系上细绳,绳的另一端系小重物,过点画射线.测量时竖放木板,当重垂线时,将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉,绕点转动三角尺,通过边瞄准目标,测量可得仰角度数.采用同样方式,可测俯角度数.测量时,否水平呢?小蕊产生了疑问.组长对她说:“因为始终垂直于水平面,满足就行.”求证:.(2)获取数据如图3,同学们利用制作测量工具,在该塔对面高楼上进行了测量.已知该楼每层高3米,小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为,在25楼对应位置处测得塔底的俯角为,塔顶的仰角为.如图4,为得到仰角与俯角的正切值,小蕊在练习本上画了一个,,,.在边上取两点,,使,,量得,,,则___________,___________,___________(结果保留小数点后两位).(3)计算塔高请根据小蕊的数据,计算该塔高度(结果取整数).(4)反思改进小蕊测量结果与该塔实际高度存在2米的误差.为减小误差,小组同学想出了许多办法.请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议(总字数少于50字).25.如图,在中,分别是的中点,连接,交于点.(1)若,,,则四边形的面积为___________;(2)若,的最大面积为.设,求与之间的函数关系式,并求的最大值;(3)若(2)问中取任意实数,将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度,得到函数的图象.直线交该图象于点,(点在点左边),过点的直线交该图象于另一点,过点的直线与直线交于点.若,试问直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.自贡市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学本试题卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共6页,满分150分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,答卷时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.第I卷选择题注意事项:必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.知常改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.一、选择题(共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若,则内的数字是()A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是有理数的乘法运算,根据可得答案.【详解】解:∵,∴则内的数字是,故选:A2.起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,为中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形,根据中心对称图形的定义判断即可,解题的关键是正确理解中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.【详解】解:、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合,不是中心对称图形,不符合题意;、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合,不是中心对称图形,不符合题意;、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,是中心对称图形,符合题意;、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合,不是中心对称图形,不符合题意;故选:.3.如图,一束平行光线穿过一张对边平行的纸板,若、则的度数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.先证明,再证明,再结合对顶角的性质可得答案.【详解】解:如图,∵,,∴,∵,∴,∴;故选:D4.中国新能源汽车性能优越,近年来销售量持续攀升,2024年度销量已达到万辆.12866000用科学记数法表示为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值时,n是正整数;当原数的绝对值时,n是负整数.据此求解即可.【详解】解:;故选:C.5.如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图,熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键.根据从前面看到的图形是主视图,即可求解.【详解】解:根据题意得:其主视图是故选:D.6.某校举行“唱红歌”歌咏比赛,甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示.三项评分所占百分比如下图所示,平均分最高的是()选手专家组评分教师组评分学生组评分甲779乙878丙788A.甲 B.乙 C.丙 D.平均分都相同【答案】B【解析】【分析】本题考查的是加权平均数的含义,根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数,再比较即可.【详解】解:甲的平均分为:(分),乙的平均分为:(分),丙的平均分为:(分),∴平均分最高的是乙;故选:B7.如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为5,边在轴上..若将正方形绕点逆时针旋转.得到正方形.则点的坐标为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质,旋转的性质,坐标与图形,由正方形与旋转可得在轴上,,结合,可得,,进一步可得答案.【详解】解:∵正方形的边长为5,边在轴上,将正方形绕点逆时针旋转.得到正方形.∴,在轴上,,∵,∴,,∴,故选:A8.如图,正六边形与正方形的两邻边相交,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是对顶角的性质,多边形和正多边形的内角和,熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键.先根据正多边形每个内角为,得到正六边形和正方形每个内角的度数,再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案.【详解】解:如图,∵正六边形与正方形的两邻边相交,∴,,∵,,,∴,∴,故选:B.9.某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长.则小地砖短边长()A.7cm B.8 C.9 D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.设每块小平行四边形地砖的长为,宽为,由图示可得等量关系:①2个长个长4个宽,②一个长一个宽,列出方程组,解方程组即可.【详解】解:设每块小平行四边形地砖长为,宽为,由题意得:,解得:,则每块小平行四边形地砖的短边长为,故选:B.10.分别与相切于两点.点在上,不与点重合.若,则的度数为()A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查的是切线的性质,圆周角定理的应用,圆的内接四边形的性质,先画图,连接,,求解,再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.【详解】解:如图,连接,,∵分别与相切于两点,∴,∵,∴,∴,,故选:D11.如图,在平面直角坐标系中,将平移,得到,点在坐标轴上.若,则点坐标为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形,相似三角形判定和性质,坐标与图形变换—平移,熟练掌握相关知识点,添加辅助线构造相似三角形,是解题的关键.过点作轴,作交的延长线于点,证明,得到,根据点的坐标,结合的值,求出,平移求出点坐标,进而得到平移规则,再求出点坐标即可.【详解】解:过点作轴,作交的延长线于点,则:∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵平移,∴,∴,∴将点先向右平移10个单位,再向下平移3个单位得到点,∴将点先向右平移10个单位,再向下平移3个单位得到点,∴;故选B.12.如图,正方形边长为6,以对角线为斜边作、,点在上.连接.若.则的最小值为()A.6 B.6 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系,以点B为原点,所以直线为x轴,所在直线为y轴,设的中点为G,过点D在上方作,使.过点H作于点K,连接,则,根据正方形性质,得,得,和,,根据,得点B、E、A、D在上,得,得,根据,得,得,得点F在以点H为圆心,为半径的圆上运动,根据,得,得,得取得最小值,为.【详解】解:以点B为原点,所以直线为x轴,所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,设的中点为G,过点D作,使,过点H作于点K,连接,则,∵正方形边长为6,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴点B、E、A、D在上,∴,∵,∴,∴,∴,即,∵,∴,∴,∴,∴,∴点F是在以点H为圆心,为半径的圆上运动,∵,,∴,∴,∴,∵,∴当点F在上时,取得最小值,.故选:D.【点睛】本题考查了正方形与三角形综合.熟练掌握正方形性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线性质,圆周角定理,相似三角形判定和性质,等腰直角三角形性质,是解题的关键.第II卷(非选择题共102分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答,作图题可先用铅笔绘出.确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题(共5个小题,每小题4分,共20分)13.计算:___________.【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式的减法,先化简,再合并即可.【详解】解:;故答案为:.14.分解因式:______.【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法分解因式,的公因式是,提出公因式后括号里剩下,所以分解因式的结果为.【详解】解:,故答案为:

.15.若,则的值为___________.【答案】【解析】【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算,由题意可得,整体代入计算即可得解,熟练掌握运算法则是解此题的关键.【详解】解:∵,∴,∴,故选:.16.如图,在中,,于点,.以点为圆心,的长为半径画弧,交于点.以点为圆心.的长为半径画弧.交于点,过点作,交于点;再以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,以的长为半径画弧,交于点,过点作,交于点;又以点为圆心……重复以上操作.则的长为___________.【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索,由等腰三角形的性质可得,由勾股定理得出,求出,,同理可得,…,即可得解,熟练掌握以上知识点并灵活运用,正确得出规律是解此题的关键.【详解】解:∵在中,,于点,.∴,∴,∵以点为圆心,的长为半径画弧,交于点.∴,∴,∵以点为圆心.的长为半径画弧.交于点,∴,∵过点作,交于点;∴,∴,∴,即,∴,,∵以点为圆心,的长为半径画弧,交于点,∴,∴,∵以的长为半径画弧,交于点,∴,∵过点作,交于点;∴,∵,∴,∴,即,∴,同理可得:,…,∴的长为,故答案为:.17.如图,在平面直角坐标系中,的顶点,分别在轴,轴正半轴上,,,.以为边作等边.连接,则的最大值为___________.【答案】##【解析】【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系,解直角三角形得出,由等边三角形的性质可得,,取的中点,连接、,作交的延长线于,则,,求出,,从而可得,由勾股定理可得,最后根据三角形三边关系可得,即可得解,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.【详解】解:∵在中,,,.∴,∵为等边三角形,∴,,如图,取的中点,连接、,作交的延长线于,,则,,∴,,∴,∴,根据三角形三边关系可得:,∴,∴的最大值为,故答案为:.三、解答题(共8个题.共82分)18.解不等式组:,并在数轴上表示其解集.【答案】,见解析【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法,在数轴上表示不等式组的解集,先分别解不等式组中的两个不等式,再在数轴上表示解集的公共部分即可.【详解】解:,由①得:,由②得:,在数轴上表示其解集如下:∴不等式组的解集为:.19.如图,,.求证:.【答案】见解析【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,先证明,结合,,证明即可.【详解】证明:∵,∴,∵,,∴,∴.20.去年暑假,小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米,他们各掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均每小时比小李多掰2筐,请问小李平均每小时掰玉米多少筐?【答案】10筐【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用,设小李平均每小时掰玉米筐,则小张平均每小时掰玉米筐.根据题意,两人劳动时间相同,所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比,可得:,再解方程即可.【详解】解:设小李平均每小时掰玉米筐,则小张平均每小时掰玉米筐.方程两边同乘得:,展开并化简:,移项:,解得:,经检验:是原方程的根且符合题意;所以,小李平均每小时掰玉米10筐.21.某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班,为了解同学们的参与意向,学生会进行了随机问卷调查,要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项.以下是依据调查数据,正在绘制中的统计图和统计表,请根据相关信息解答下列问题,选择球类兴趣班人数条形统计图选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球B篮球

C乒乓球

D羽毛球

(1)请补全上述条形统计图和占比统计表,若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比,则篮球兴趣班的扇形圆心角为___________度;(2)估计该校七年级400名学生中,选择乒乓球兴趣班的人数;(3)若用电脑随机选择A,B,C,D四类兴趣班,请用列表或画树状图的方法,求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率【答案】(1)补全上述条形统计图和占比统计表见解析,(2)人(3)【解析】【分析】本题考查了条形统计图、统计表、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)先求出本次调查的总人数,即可计算出组的人数,从而即可补全条形统计图,分别求出组、组、组人数占调查总人数百分比,即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表,用乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解;(2)用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解;(3)列表得出所有等可能的结果数,再从中找到符合条件的结果数,然后再用概率公式求解即可.【小问1详解】解:由题意可得,本次调查的总人数为:(人),故组的人数为(人),补全条形统计图如图所示:;组人数占调查总人数百分比为,组人数占调查总人数百分比为,组人数占调查总人数百分比为,补全选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球B篮球C乒乓球D羽毛球若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比,则篮球兴趣班的扇形圆心角为;故答案为:90;【小问2详解】解:(人),故估计该校七年级400名学生中,选择乒乓球兴趣班的人数为人;【小问3详解】解:列表得:甲乙由表格可得,共有种等可能出现的结果,其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有种,∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为.22.如图,等圆和相交于两点,经过的圆心,连接,作直径,延长到点,使,连接.(1)___________度;(2)求证:为的切线;(3)若,求上的长.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】【分析】(1)如图,连接,,,证明,四边形是菱形,,是等边三角形,可得,进一步可得结论;(2)如图,连接,由(1)得:,是等边三角形,可得,证明为等边三角形,可得,,证明,可得,再进一步证明即可;(3)由,,,可得,结合,再利用弧长公式计算即可.【小问1详解】解:如图,连接,,,∵和相交于两点,且经过的圆心,∴,,∴四边形是菱形,,是等边三角形,∴,∴.【小问2详解】证明:如图,连接,由(1)得:,是等边三角形,∴,∴,∵,∴为等边三角形,∴,,∵,∴,∴,∴,∵为半径,∴为的切线;【小问3详解】解:∵,,,∴,∵,∴上的长.【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,切线的判定,等腰三角形的判定与性质,锐角三角函数的应用,弧长的计算,作出合适的辅助线是解本题的关键.23.如图,正比例函数与反比例函数的图象交于点,点是线段上异于端点的一点,过点作轴的垂线.交反比例函数的图象于点.(1)求的值;(2)若,求点坐标;(3)双曲线关于轴对称的图象为,直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标.【答案】(1)(2)(3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或.【解析】【分析】(1)点在反比例函数上,可得,即,将代入正比例函数中,进一步求解即可;(2)设,结合过点作轴的垂线.交反比例函数的图象于点.可得,可得,再解方程进一步求解即可;(3)求解,如图,由旋转可得:,,过作轴于,过作轴于,证明,可得,证明在的图象上;结合反比例函数是中心对称图形可得:,从而可得答案.【小问1详解】解:∵点在反比例函数上,∴,即,将代入正比例函数中,得,解得:;【小问2详解】解:∵在直线上,设,∵过点作轴的垂线.交反比例函数的图象于点.∴,∵,∴,整理得:,解得:或(不符合题意舍去),∴;【小问3详解】解:∵双曲线关于轴对称的图象为,∴,如图,由旋转可得:,,过作轴于,过作轴于,∴,∴,∴,∵,∴,,∴,当时,,∴在的图象上;由反比例函数是中心对称图形可得:,∴射线绕点旋转后与交点坐标为或.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式,一元二次方程的解法,轴对称的性质,中心对称的性质,全等三角形的判定与性质,熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.24.如图1,自贡彩灯公园内矗立着一座高塔,它见证过自贡灯会的辉煌历史.小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动,小组同学研讨完测量方案后,活动如下.(1)制作工具如图2,在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉,系上细绳,绳的另一端系小重物,过点画射线.测量时竖放木板,当重垂线时,将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉,绕点转动三角尺,通过边瞄准目标,测量可得仰角度数.采用同样方式,可测俯角度数.测量时,是否水平呢?小蕊产生了疑问.组长对她说:“因为始终垂直于水平面,满足就行.”求证:.(2)获取数据如图3,同学们利用制作的测量工具,在该塔对面高楼上进行了测量.已知该楼每层高3米,小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为,在25楼对应位置处测得塔底的俯角为,塔顶的仰角为.如图4,为得到仰角与俯角的正切值,小蕊在练习本上画了一个,,,.在边上取两点,,使,,量得,,,则___________,___________,___________(结果保留小数点后两位).(3)计算塔高请根据小蕊的数据,计算该塔高度(结果取整数).(4)反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差.为减小误差,小组同学想出了许多办法.请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议(总字数少于50字).【答案】(1)见解析(2),,(3)50米(4)见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形

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