2027届高三数学一轮复习课件：第四章　4.4　解三角形

第四章三角函数与解三角形4.4解三角形知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1正弦定理、余弦定理

正弦定理余弦定理内容

=

=

=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC变形公式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=

,sinB=

,sinC=

;

=2RcosA=

;cosB=

;cosC=

知识点2解三角形及其综合应用1.在△ABC中,已知a,b和A,解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

图形

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解2.三角形中常用的结论(1)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.(2)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tan

C

;sin

=cos

;cos

=sin

.(3)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC.(4)三角形中的射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.3.三角形的面积公式设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC的外接圆半径

为R,内切圆半径为r.(1)S=

ah(h为BC边上的高);(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA;(3)S=

(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径);(4)S=

.4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在

水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图a).

(2)方位角:方位角是指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方

位角为α(如图b).(3)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.

()(2)若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形.()(3)若A=

,a=

,则△ABC的外接圆的面积等于π.

()(4)若a=2

,b=4,A=

,则△ABC唯一.()(5)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.

()

✕

✕

√

✕

√

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=60°,a+c=6,b=2

,则△ABC的面积为_____.

23.在△ABC中,

A=

,BC=2

,△ABC的面积为6

,则△ABC的周长为_____________.

10+2 

4.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°

和45°,则A点到地面的距离AB=______________m.

5( +1)

考点清单考点1利用正弦、余弦定理解三角形角度1利用正弦、余弦定理求基本量典例1

(2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cosC=

,AC=4,BC=3,则cosB=

()A.

B.

C.

D.

A

解析由cosC=

得

=

,∴AB=3,∴cosB=

=

=

,故选A.解题技巧

1.利用余弦定理可以解决以下两类解三角形问题:一是已知两边和它们的

夹角,求其他角与边;二是已知三边求各角.因为这两种情况下的三角形是唯一的,所以

其解也是唯一的.2.利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题:一是已知两角和任一边,求其他边与

角;二是已知两边和一边的对角,求其他的边与角(该三角形不一定具有唯一性,常根据

三角函数值的有界性和大边对大角进行判断).变式训练1.(情境模型变式)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=

,sinB=

,C=

,则c=

()A.2

B.

C.

D.1

D

解析因为sinB=

且B∈

,所以B=

,则A=π-B-C=

.又a=

,所以由

=

,得

=

,解得c=1.故选D.2.(设问条件变式)(2026届浙江强基联盟联考,12)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,已知a=2,A=

,c=

,则角C=_________.解析因为a=2,A=

,c=

,

=

,所以sinC=

=

,由c<a得C=

.角度2判断三角形形状典例2在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosAcosB+bcos2A=acosA,则△ABC的形状是()A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

D

解析

解法一边化角根据正弦定理及题意得sinAcosAcosB+sinBcos2A=sinAcosA,所以(sinAcosB+sinBcosA-sinA)·cosA=0,所以[sin(A+B)-sinA]cosA=0,所以[sin(π-C)-sinA]cosA=0,即(sinC-sinA)cosA=0,所以sinC=sinA或cosA=0,【注意有两种情况】所以c=a或A=

,即△ABC是等腰或直角三角形.故选D.解法二角化边因为acosAcosB+bcos2A=acosA,所以cosA(acosB+bcosA-a)=0,则当cosA=0时,A=

;当acosB+bcosA-a=0时,由余弦定理的推论得a·

+b·

=a,所以有2c2=2ac,即a=c.综上,c=a或A=

,所以△ABC是等腰或直角三角形.故选D.归纳总结三角形形状的判断方法

易错警示

1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只

含角的式子进行判断,注意不要轻易两边同除以一个式子.2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程

中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.变式训练3.(关键元素变式)(2025届湖南邵阳海谊中学期中,8)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C

的对边,且acosB+(2c-b)cosA=c,则△ABC的形状为

()A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

D

解析

解法一边化角由acosB+(2c-b)cosA=c及正弦定理,得sinAcosB+(2sinC-sinB)cosA=sinC,所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,即sinCcosA-sinBcosA=0,即(sinC-sinB)cosA=0,则sinC=sinB或cosA=0,当sinC=sinB时,因为0<B<π,0<C<π,所以C=B或C+B=π(舍去),所以△ABC为等腰三角形;当cosA=0时,因为0<A<π,所以A=

,所以△ABC为直角三角形.综上所述,△ABC为等腰或直角三角形.故选D.解法二角化边因为acosB+(2c-b)·cosA=c,所以(2c-b)cosA=c-acosB=c-a·

=

,两边同乘

得【凑成余弦定理的形式】

cosA=

=cosA,则cosA=0或

=1,当cosA=0时,因为0<A<π,所以A=

,所以△ABC为直角三角形;当

=1时,b=c,所以△ABC为等腰三角形.综上所述,△ABC为等腰或直角三角形.故选D.解法三射影定理因为acosB+(2c-b)cosA=c,c=bcosA+acosB,所以有bcosA+acosB=acosB+(2c-b)·cosA,即(b-c)cosA=0,则b-c=0或cosA=0,当b-c=0时,b=c,所以△ABC为等腰三角形;当cosA=0时,因为0<A<π,所以A=

,所以△ABC为直角三角形.所以△ABC为等腰或直角三角形.故选D.角度3确定三角形解的个数典例3在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解

的是

()A.b=4,A=20°,C=40°

B.a=4,b=6,B=35°C.a=4,b=6,A=35°

D.a=4,b=6,C=35°

C

解析对于A,由A=20°,C=40°,可得B=180°-A-C=120°,且b为定值,所以三角形只有一解;对于B,由a=4,b=6,可得a<b,所以A<B,此时三角形有唯一的解;对于C,由

=

,可得sinB=

=

×sin35°>sin35°,可得B有两解,所以三角形有两解;对于D,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=52-48cos35°>0,可得c有唯一的解,所以三角形

只有一解.故选C.解题技巧判断三角形解的个数问题的策略已知三角形的两边和其中一边的对角,不能唯一确定三角形的形状,解这类三角形问题

将出现无解、一解和两解三种情况,应分情况予以讨论.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:1.从代数角度分析(1)若sinB=

>1,则满足条件的三角形不存在;(2)若sinB=

=1,则满足条件的三角形的个数为1;(3)若sinB=

<1,则满足条件的三角形的个数为1或2.显然,由0<sinB=

<1可得B有两个解,一个为钝角,一个为锐角,考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等,此时需进行讨论.2.从几何角度分析详见【知识清单】知识点2的1.变式训练4.(结论拓展变式)(2025届河北秦皇岛昌黎一中一模,4)已知△ABC的内角A,B,C的对

边分别为a,b,c,且满足a=2

,B=

的三角形有两个,则b的取值范围为

()A.(0,2

)

B.(2

,4)C.(2,4)

D.(2,2

)

D

解析

解法一在△ABC中,a=2

,B=

,由△ABC有两解,得

即

解得2<b<2

,所以b的取值范围为(2,2

).故选D.解法二在△ABC中,由余弦定理的推论可得cosB=

=

,把a=2

代入整理得c2-4c+8-b2=0,所以关于c的一元二次方程有两个不相等的正实数根,不妨设为x1,x2,则x1

x2>0,所以Δ>0且x1x2=8-b2>0,即

解得

所以2<b<2

.所以b的取值范围为(2,2

).故选D.考点2解三角形及其综合应用角度1三角形中的最值和范围问题典例4

(2026届广东深圳中学摸底,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin

=

.(1)求角A;(2)若b=1,△ABC为锐角三角形,求c的取值范围.解析

(1)由题意得a(

sinC+cosC)=b+c,由正弦定理,得

sinAsinC+sinAcosC=sinC+sinB,在△ABC中,A+C=π-B,因此sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,因此

sinAsinC=sinC+sinCcosA,又sinC>0,故

sinA-cosA=1⇒2sin

=1,即sin

=

.由A∈(0,π)可得A-

∈

,因此A=

.(2)因为

=

,b=1,所以c=

=

=

·

+

,由△ABC为锐角三角形,有

因此

<B<

,易知f(B)=

在B∈

上单调递减,因此

∈(0,

),故c的取值范围为

.解题技巧

1.三角形中的最值、范围问题的解题策略

2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范围可利用余

弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边对大角等.变式训练5.(多解法变式)(2025届山东枣庄辅仁高级中学月考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对

边分别为a,b,c,且满足sinB(acosC+ccosA)=

bcosB.若b=

,则2a+c的最大值为______.

2 解析由正弦定理可得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=

sinBcosB,即sinBsin(A+C)=

sinBcosB.在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,所以sin2B=

sinBcosB,又B∈(0,π),所以sinB≠0,所以tanB=

,所以B=

.解法一边化角由b=

及正弦定理知

=

=

=

=2,所以a=2sinA,c=2sinC,所以2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin

=4sinA+2

sinA+

cosA

【解题关键:将2a+c化成关于A的三角函数,根据函数性质可求解】=5sinA+

cosA=2

sin(A+φ)≤2

,其中tanφ=

,当A+φ=

时取等号,所以2a+c的最大值为2

.解法二角化边设a=x(x>0),2a+c=t(t>

),则c=t-2x,根据余弦定理得b2=3=a2+c2-2accosB=x2+(t-2x)2-x(t-2x),即7x2-5tx+t2-3=0,因为关于x的方程有正实数解,所以Δ=25t2-28(t2-3)≥0,所以

<t≤2

,所以2a+c的最大值为2

.角度2解三角形的实际应用典例5

(2026届四川成都七中入学考,5)三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图,A,B,C三点在水平地面上的投影A',B',C'满足∠A'B'C'=75°,∠A'C'B'=45°,B到地面的距离

为300m,C到地面的距离为100m,在C处测得B的仰角为30°,在B处测得A的仰角为45°,

则A到地面的距离约为

()(参考数据:

≈1.414)

A.283m

B.441m

C

C.583m

D.741m解析由题意得BB'=300m,CC'=100m,如图,过C作CE⊥BB'于E,过B作BF⊥AA'于F,则∠BCE=30°,∠ABF=45°,CC'=B'E=100m,A'F=BB'=300m,BE=BB'-B'E=300-100=200m,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,∴CE=

BE=200

m,则B'C'=200

m,在△A'B'C'中,∠B'A'C'=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得

=

,

所以A'B'=

=200

m,则BF=200

m,因为∠ABF=45°,∠BFA=90°,所以AF=BF=200

m,所以AA'=AF+A'F=200

+300≈200×1.414+300≈583m.故选C.方法总结实际问题中解三角形的类型及方法

变式训练6.(关键元素变式)(2026届福建福古宁五校教学联合