专题07 一元一次方程实际应用的六种考法（解析版）（人教版）

专题07一元一次方程实际应用的六种考法

1.数字问题

例．（1）把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两

个数分别是和；

（2）把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两

个数分别是和；

（3）把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到

的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．

8017025625

【答案】（1）47，53；（2）20，80；（3），，，．

9999

【详解】解：（1）设第一个数为x，则第二个数是（100﹣x），

由题意得：x+3＝100﹣x﹣3，解得x＝47．

所以100﹣x＝100﹣47＝53．

答：拆分成的这两个数分别是47和53．

故答案为：47，53；

（2）设第一个数为y，则第二个数是（100﹣y），

由题意得：2y＝（100﹣y）÷2，

解得y＝20．

所以100﹣y＝100﹣20＝80．

答：拆分成的这两个数分别是20和80；

故答案为：20，80；

z

（3）设相等的数为z，则其余数分别为z﹣5，z+5，，5z，

5

z

由题意得：z﹣5+z+55z＝100，

5

125

解得：z，

9

80170z25625

则z﹣5，z+5，，5z．

99599

8017025625

故拆分成的这四个数分别是，，，．

9999

【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．

(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）

(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？

【答案】(1)见解析

(2)方框里中间数是33

【解析】(1)解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两个数的和是2的倍

数，④每列相邻的两个数相差10．

(2)解：设方框里中间数为x，则另外8个数为x2，x2，x10，x10，x12，x12，x8，x8，

由题意得，x2x2x10x10x12x12x8x8x297

9x297，

x33，

则方框里中间数是33．

【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵，是由一些连续奇数组成的．

(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；

(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；

(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？

【答案】(1)x+2，x+8，x+10；(2)45，47，53，55

(3)不存在，理由见解析

【解析】(1)解：设第一行第一个数为x，则其余3个数依次为x+2，x+8，x+10；

(2)解：根据题意得：x+x+2+x+8+x+10＝200，解得：x＝45．

则这四个数依次为45，47，53，55．

答：这四个数依次为45，47，53，55；

(3)解：不存在．理由如下：

由题意得x+x+2+x+8+x+10＝296

∴4x+20＝296，解得：x＝69．

∵当x＝69时，这个数在第六行最后一个数的位置，不符合题意

故不存在这样的四个数，它们的和为296．

【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．

(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表

示十字形框内五个数之和为______；

(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证

明；

(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．

【答案】(1)5倍，5x；(2)有；(3)不存在5个数之和为2400

【解析】(1)(4+14+24+12+16)÷14=5，x+(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)=5x

(2)符合规律，

设中间数字为x，则上面数字的为x-10，下面数字为x+10，左边数字为x-2，右边数字为x+2，

即[x+(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)]÷x=5，

x+(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)=5x∴仍符合规律；

(3)若五个数之和等于2400，则5x2400，解得：x480，

∴十字据中中间的数为480，

由数表可知，数字480位于数表的最边上一列，不可能处于十字框中间，所以不存在5个数之和为2400．

2.配套问题

例．列方程解应用题

某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生

产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已

有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．

(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌

装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？

(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？

【答案】(1)灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；

(2)灌装生产线设计13条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．

【解析】(1)解：当日到10:00时，灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，

根据题意，得5200+350×2x=450×2（21-x）+5500，

解这个方程，得：x=12

答：灌装生产线共装（350×2x）瓶啤酒，灌装生产线有12条；

(2)解：设灌装生产线设计y条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱，

根据题意，得5200＋350×8y=450×8（21-y），

解这个方程，得：y=11．

答：灌装生产线设计11条时，该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱．

【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，

每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板

纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白

板纸．

(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）

(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？

【答案】(1)50x；(2)40个

【解析】(1)解：按A种方法剪裁的有x张白板纸，

则按B种方法剪裁的有50x张白板纸，

故答案为：50x；

(2)解：由四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．

24x250x=4450x，

整理得：20x600，解得：x＝30，

(30×4+20×2)÷4＝40，

∴最多可以制作40个纸箱.

【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣

和一条裤子为一套．

(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？

(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几

件上衣或裤子？（本问直接写出结果）

【答案】(1)做上衣用布料180m，则做裤子用布料120m，可以生成120套衣服

(2)最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子

【解析】(1)设做上衣用布料xm，则做裤子用布料300xm，

2x3300x

由题意得，，解得：x180，则300x120

33

2180

可以生产120套衣服；

3

答：用180m布做上衣，120m布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服；

3

(2)∵做一件上衣用m布，做一条裤子用1m布，

2

∴一套服装用2.5m布，

∵227÷2.5=90...2，

∴227m布可以做90套衣服余2m，

∵本着不浪费的原则，∴余下的2m布可以做2条裤子，

答：布料227m，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子．

【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个

G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型

装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置

数量正好全部配套组成GH型产品．

(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？

(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，

且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？

【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品；

(2)至少应招聘40名新工人．

【解析】(1)解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，

8x4(80x)8x832

根据题意得：，解得：x=32，∴64．

4344

答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．

(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置

仍设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置，

8x4a4(80x)3203a

根据题意，，整理可得，x，

4310

4(80x)12003203a

另外，注意到≥，即x≤20，于是≤20，解得：a≥40，

31510

答：至少应招聘40名新工人．

3.销售利润问题

例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%

的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、

乙两件服装的成本各为多少元？

【解答】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，依题意有

0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得x＝300，

500﹣x＝200．

答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．

【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个

水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100

元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．

(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；

(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，

每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100

元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售

卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求

m的值．

【答案】(1)每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．(2)m的值为10．

【解析】(1)设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+100）元，

依题意得：2（x-150）=x+100-200，

解得：x=200，

∴x+100=300．

答：每个水果篮的售价为300元，每盒坚果礼盒的售价为200元．

(2)∵300×0.9=270（元），

∴每个水果篮的活动价为（270-2m）元．

∵每盒坚果礼盒的售价为200元，

∴每盒坚果礼盒的活动价为（200-2m）元．

依题意得：（1250-50）（270-2m）+1200（200-2m）-1250×200-1200×150=（1250×200+1200×150）×20%，

解得：m=10．

答：m的值为10．

【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产

品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产

品售价和为300元．

(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价

不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价

2

将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．

3

【答案】(1)A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元；(2)50

【解析】(1)解：设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(x100)元，．

依题意得：x100x300，解得：x=100，∴x+100=200．．

答：A产品的销售单价为200元，B产品的销售单价为100元

(2)解：设去年每个车间生产产品的数量为t件，

2

依题意得：200(1+a%)t+100(1+2a%)(1-a%)t=300(1+a%)t

3

设a%m，则原方程可化简为2m2-m=0，

1

解得：m，m0（不合题意，舍去），∴a=50．

122

答：a的值为50．

【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？

（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯

的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？

【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，

由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400

购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）

答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．

（2）设乙型节能灯需打a折，

0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．

【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品

每件售价1200元，可盈利50%．

（1）每件甲种服装利润率为，乙种服装每件进价为元；

（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，

共盈利多少？

（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只

需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买

了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后

推出的活动是先打多少折之后再参加活动？

【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价500元，售价800元，

∴每件甲种服装利润率为60%．

800−500

×100%=

∵乙种服装商品每件售价125000元，可盈利50%．

∴乙种服装每件进价为800（元），故答案为：60%，800；

1200

=

（2）设甲种服装进了x1件+5，0%则乙种服装进了（40﹣x）件，

由题意得，500x+800（40﹣x）＝27500，解得：x＝15．

商场销售完这批服装，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．

答：商场销售完这批服装，共盈利14500元．

（3）设打了y折之后再参加活动．

3200﹣3×500+20．解得：y＝8.5．

�

①3200×−2×500=

10，解得y＝8（不合题意，舍去）．

�

②3200×−500=3200−3×500+20

320010，解得y＝5.9（不合题意，舍去）．

�

答③：先打×八10五=折3再20参0加−活3×动5．00+20

4.工程问题

例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、

北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135

米．

(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？

(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天

能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？

【答案】(1)甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．

(2)能够比原来提前6天完成道路改造任务．

【解析】(1)解：设乙施工小队平均每天施工x米，则甲施工小队平均每天施工x3米．

根据题意得：5x5(x3)135．

解得：x12．

所以x315．

答：甲施工小队平均每天施工15米，乙施工小队平均每天施工12米．

(2)解：改进施工技术后，甲施工小队平均每天施工15116米；乙施工小队平均每天施工12+2=14米．

则改进施工技术后，剩余的工程还需：(1755135)(1614)54天；

按原施工进度，剩余的工程还需：(1755135)(1512)60天．

所以少用的天数为：60546天．

答：能够比原来提前6天完成道路改造任务．

【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷

8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2

墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．

(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）

(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣

多少工钱？

【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为39m2

(2)一级技工每人每天挣564元，二级技工每人每天挣451元．

【解析】(1)设每个房间需要粉刷的墙面面积为xm2，

8x3010x20

由题意得：12，解得：x39，

35

∴每个房间需要粉刷的墙面面积为39m2；

(2)∵每个房间需要粉刷的墙面面积为39m2，

8x3083930

∴一名一级技工一天粉刷的面积为94m2，

33

10x20103920

一名二级技工一天粉刷的面积为82m2，

55

∴946564（元），825.5451（元），

∴一级技工每人每天挣564（元），二级技工每人每天挣451（元）．

【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿

4

元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物

5

价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长

率达到路面投资增长率的2倍，

(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？

(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可

将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分

率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？

【答案】(1)土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元

(2)该工程的实际总投资是25.2亿元

4

【解析】(1)解：设土建为x亿元，则路面为x亿元，设施为（1﹣40%）x亿元，

5

44

∴x+x+（1﹣40%）x＝24，∴x＝10，∴x8，（1﹣40%）x＝6．

55

答：土建、路面、设施三个项目的预算投资分别是10亿元，8亿元，6亿元

(2)解：设土建投资增长率为x，则路面投资的增长率是2.5x，设施投资的增长率是2×2.5x＝5x，

预算国拨总投资减少的百分率为x．

国拨总投资：24×（1﹣x），

该工程的实际各项投资之和是10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），

∵70%×40×100×6＝16800（万元）＝1.68亿元，

∴24×（1﹣x）+1.68＝10×（1+x）+8×（1+2.5x）+6×（1+5x），

解得：x＝0.02＝2%

24×（1﹣x）+1.68＝25.2（亿元）

答：该工程的实际总投资是25.2亿元．

5.行程问题

例．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、

乙两人间的距离为s(km)）与甲行驶的时间为t(h)之间的关系如图所示．

(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．

①甲到达终点_________．

②甲乙两人相遇_________．

③乙到达终点_________．

(2)AB两地之间的路程为_________千米；

(3)求甲、乙各自的速度；

(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距

100千米．

【答案】(1)①P；②M；③N；(2)240；(3)甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时

717

(4)或3.5或

66

【解析】(1)解：由图象可得，出发2小时，甲乙在途中相遇；出发3小时乙到达A地；6小时甲到达B地；

故答案为：①P；②M；③N；

(2)解：由图象可得，AB两地之间路程为240千米；故答案为：240；

(3)解：甲的速度为：240÷6=40千米/小时，乙的速度为：240÷2-40=80千米/小时，

答：甲的速度40千米/小时，乙的速度80千米/小时；

(4)解：令甲出发t小时，甲乙相距100千米，由题意，得

7

相遇前：80t+40t+100=240，解得t=，相遇后：40t-100=80t-240或80(t-2)+40(t-2)=100，

6

17717

解得t=3.5或t=，故答案为：或3.5或．

666

【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A

市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原

速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两

车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变

量的取值范围）；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

【答案】(1)10060；(2)y100x1200；(3)3，6.3，9.1

【解析】(1)解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，

∴甲的速度为：500÷5=100km/h；乙车5h的路程为300km，∴乙的速度为：300÷5=60km/h；

故答案为：100；60；

(2)设ykxbk0，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，

9kb300k100

代入得，解得，∴y与x的函数解析式为y100x1200；

12kb0b1200

(3)解：设乙出发的时间为t时，相距120km，

根据图象可得，当0<t<5时，100t-60t=120，解得：t=3；

当5<t<5.5时，根据图象可得不满足条件；

当5.5<t<8时，500-100（t-5.5）-300=120，解得：t=6.3；

当8<t<9时，100（t-8）=120，解得：t=9.2，不符合题意，舍去；

当9<t<12时，100×（9-8）+100（t-9）+100（t-9）=120，解得：t=9.1；

综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.1h时，两车之间的距离为120km．

【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出

租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．

出租车滴滴快车

起步价：14元起步价：12元

里程费：超过3公里的部分里程费：2.5元/公里

2.4元/公里时长费：0.4元/分钟

（不足1公里按1公里计）（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）

(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？

(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．

【答案】(1)出租车的费用为28.8元．

(2)甲地到乙地的路程为14公里．

【解析】(1)解：14+2.4´(9-3)=28.8（元），答：出租车的费用为28.8元．

(2)解：设甲地到乙地的路程为x公里，当x3时，

x170

12+2.5x+创600.4=14+15,解得：x=>3,所以不符合题意舍去，

4031

x

当x3时，则14+2.4(x-3)+15=12+2.5x+创600.4,

40

解得：x14,

答：甲地到乙地的路程为14公里．

【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速

行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；

（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为

2.2h，求C地距离A地路程．

【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得

100t+80t＝480。解得t，答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时

88

=

（2）设两车相距120km3时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以3分相遇前和相遇后两种情况．

相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120，解得t＝2

①

相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120，解得t

10

②=3

答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．

10

（3）设C地距离B地路程3为ykm，由题意可得2.2

��

+=

解得y＝120，即C地距离B地路程为120km，而10A0、B12两0地相距480km，

所以AC＝480﹣120＝360（km），答：A、C两地的路程为360km．

6.方案问题

例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中

甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：

数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上

单价（元/张）60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．

（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？

（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你

如何购买门票才能最省钱？

【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），

则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420（元）；

（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人．

依题意得：50x+60×（102﹣x）＝5500，解得：x＝62．

则乙单位人数为：102﹣x＝40．

答：甲单位有62人，乙单位有40人；

（3）方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400（元）；

方案二：联合购买门票需（50+40）×50＝4500（元）；

方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；

综上所述：因为5400＞4500＞4040．

故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．

【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗

舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活

动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；

方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．

某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x＞30）．

(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）；

若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）．

(2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：

(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．

【答案】(1)20x4200，18x4320；(2)按方案A购买合算；

(3)购买运动棉袜60双时两种方案付款相同．

【解析】(1)解：由题意可知：

按方案A购买，需付款30160x302020x4200元；

按方案B购买，需付款301600.920x0.918x4320元；

故答案为：20x4200，18x4320

(2)解：若x＝40，

则按方案A购买，需付款20404200=5000元；

按方案B购买，需付款18404320=5040元；

∵5000＜5040，

∴按方案A购买合算；

(3)解：令20x4200=18x4320，解得x=60，

∴购买运动棉袜60双时两种方案付款相同．

【变式训练2】某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加

工时间为4a1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b3小时．

(1)当ab1时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？

(2)某一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间

相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？

【答案】(1)A生产线的加工时间为5小时，B生产线的加工时间为5小时

(2)分配到A生产线的吨数为2吨，分配到B生产线的吨数为3吨

【解析】(1)解：当ab1时，

A生产线的加工时间为：4115（小时），

B生产线的加工时间为：2135（小时），

答：A生产线的加工时间为5小时，B生产线的加工时间为5小时；

(2)解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为5x吨，

∵A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时

间为2b3小时，

∴A生产线的加工时间为4x1小时，B生产线的加工时间为25x3132x小时，

根据题意得：4x1132x，解得∶x2，

∴5x3，

答：分配到A生产线的吨数为2吨，分配到B生产线的吨数为3吨．

【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同

型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，

B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．

(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用

含a的式子表示）；

(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？

(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计

一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？

【答案】(1)（70a+2800），（56a+3360）

(2)购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样

(3)第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付款

额为8680元．

【解析】(1)解：根据题意得A超市所需的费用为：20×210+70（a﹣20）=70a+2800

B超市所需的费用为：0.8×（20×210+70a）=56a+3360

故答案为：（70a+2800），（56a+3360）

(2)解：由题意得：70a+2800=56a+3360，解得：a=40，

答：购买40只书架时，无论到哪家超市所付货款都一样．

(3)解：学校购买20张书柜和100只书架，即a=100时；

第一种方案：

到A超市购买，付款为：20×210+70（100﹣20）=9800元；

第二种方案：

到B超市购买，付款为：0.8×（20×210+70×100）=8960元；

第三种方案：

到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，

付款为：20×210+70×（100﹣20）×0.8=8680元．

因为8680＜8960＜9800，

所以第三种方案（到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架）所付款额最少，最少付

款额为8680元．

课后作业

1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．

问题3课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工

人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：

（1）两人合作需要__________天完成．

（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到

报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？

[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余

下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．

【答案】[教材改编]（1）2.4；（2）师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬

为144元．

11

【详解】[教材改编]解：（1）两人合作的天数为：12.4天，

46

答：两人合作需要2.4天完成；

（2）设两人合作x天，根据题意得：

11

x1x1，解得：x2，

64

12111

∴徒弟完成的工作量为，师傅完成的工作量为2，

66242

∴两人的工作量相同，

1

∴师傅和徒弟各分一半，即450225元，

2

答：师傅和徒弟各分225元；

[拓展]解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天，

12

徒弟完成工作量的2.4，

65

13

师傅完成工作量的2.4，

45

24

两人完成工作量相同部分为2，

55

42

徒弟所得报酬为450144元，

532

∴师傅所得报酬为450144306元，

答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元．

2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每处需安装相同长度的排污

治理管道），一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工

人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．

(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；

(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理

点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案

一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天按一天算）．若要使总费用最少，应选择哪种

方案？请通过计算说明．

【答案】(1)每个排污治理点需铺设的管道长度为120米；(2)选择方案二总费用最少，见解析．

【解析】(1)解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，

5x605x40

根据题意得：20，解得：x120．

34

答：每个排污治理点需铺设的管道长度为120米．

512060

(2)解：每名甲队工人一天可铺设管道180（米），

3

每名乙队工人一天可铺设管道18020160（米）．

120505880

选择方案一所需时间为：22（天）

1803

选择方案一所需费用为：22500333000（元）；

1205058809

选择方案二所需时间为：18（天），实际取19天

160416

选择方案二所需费用为：19400430400（元）；

∵3040033000，

∴选择方案二总费用最少．

3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基

地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师

带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车乙型客车

载客量（人/辆）3530

租金（元/辆）400320

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．

(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？

(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？

(3)学校租车总费用最少是多少元？

【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人

(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型

客车5辆，租乙型客车3辆

(3)学校租车总费用最少是2800元．

【解析】(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，

根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，

∴30x+7＝30×8+7＝247，

答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；

(2)师生总数为247+8＝255（人），

∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，

设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

35m30(8m)255

根据题意得：，

400m320(8m)3000

解得3≤m≤5.5，

∵m为整数，

∴m可取3、4、5，

∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型

客车5辆，租乙型客车3辆；

(3)设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

由（2）知：3≤m≤5.5，

设学校租车总费用是w元，

w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），

答：学校租车总费用最少是2800元．

4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：

队名比赛场次胜场负场积分

前进1410424

东方149