河南省湘豫联盟2026届高三下学期四月阶段检测数学试卷（含解析）

河南湘豫联盟2025-2026学年高三下学期四月阶段检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y|y=eA.⌀ B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1}2.已知复数z=3+4i5，则复数ωA.0 B.65 C.85 3.已知椭圆C：x2a2+y2bA.14 B.24 C.14.如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点B的坐标为-1,3，另一个前尖端点C、尾突点A均在格点上，则OB-OC与OA的夹角的余弦值为(

)

A.-35 B.-45 C.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“m=4”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=Asin(ωx+A.π8 B.π4 C.3π7.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/​/CD，AB=2A.30∘ B.45∘ C.8.设f(x)是定义在(0,+∞)上的不恒为0的函数，且满足：①∀x，y∈(0,+∞)，fxyf(A.f(1)=2 B.∀x∈(0,+∞)，f(x)>0

C.f(x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试(单位：秒)，作业时长分别服从正态分布X∼N42,62，A.E2X=42 B.D2Y=6410.记数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2A.a3=15 B.数列{bn-10}为等比数列

C.11.已知圆C1：x2+y2=4，双曲线C2：xy=4，经过原点O的直线与C1交于点P，与C2交于点Q.设点R是直线PQA.曲线C的方程为(x2+y2)3=16x2y2(xy>0)

B.C与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正数a，b，c均不等于1，且logba=2，logcb13.tanα+1tanα-23的展开式中不含14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E1为B1C1的中点，从除E1外的11条棱的中点及正方体的8个顶点共19个点中随机选取2个点与四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某地区教育主管部门为调查当地中小学教师的年龄结构，从当地所有中小学教师中随机抽取100名，整理数据得到下表：

年龄(岁)学段20,3030,4040,5050,60小学122053初中121085高中8872(1)试估计该地区教师年龄的第80百分位数；(2)已知小学、初中、高中教师中骨干教师分别占各学段的25%，20%，16%.若从这100名教师中，任意抽取一位，求这位教师为骨干教师的概率．16.(本小题15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4(1)证明：c-(2)设D为BC的中点，且AD=6，求17.(本小题15分)如图，在圆锥SO中，A，B，C，D为底面圆周上的四个点，且四边形ABCD为正方形，P为母线SC的中点，在线段PD上取一点M，过M和SA作一平面与线段OD交于点N．(1)证明：SA//(2)设SO=2，AB=22，若平面SMNA与平面DMN夹角的余弦值为18.(本小题17分)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，E上的点T到(1)求E的标准方程．(2)设G，H是x轴上在坐标原点O异侧的两点，G1，H1分别为线段OG，OH的中点，过点G，H且与y轴平行的两直线分别与E交于点A，(i)证明：直线AG1，(ii)若直线AG1，BH1交于点P，过点F且垂直于y轴的直线与OA，OB分别交于点M，N，点F在▵19.(本小题17分)已知函数fx(1)若∀x∈0,1(2)若函数Fx=fx(i)求(ii)证明：x15+x25【解析】解：由题得A={y|y>0}，则A2.【答案】A

【详解】因为复数z=3+4i所以复数ω=z+3.【答案】C

【解析】解：焦距为a，则2c=a，解得c=a4.【答案】A

【解析】【详解】由题图，知A0,-2，C3,0，又B-1,3，所以5.【答案】A

【解析】设等差数列{an}的公差为d，其通项公式为an=a1+(n-1)d，前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)2d;

1.计算S3：

由前n项和公式得S3=3a1+3×22d=3a1+3d，

2.根据等式S3=2a1+am推导am：

将S3=3a1+3d代入等式，得3a1+3d=2a1+am，移项可得am=a1+3d;

3.结合通项公式求m：

由通项公式am=a6.【答案】B

【解析】解：由T=π，得ω=2ππ=2，π8-(-3π8)=π2=12T，

则[-3π8,π8]恰好是f(x)在一个周期内的单调递减区间，

所以x=π8时，f(x)取得最小值．

当A>0时，由题意，得2×7.【答案】C

【详解】如图，将直四棱柱ABCD-A1连接BE1，C1则∠C1BE1设CD=1，则C又∠C则C1解得C1又BEBC则▵C1B则直线A1D与BC8.【答案】D

【解析】解：令x=1，y=1，得f(1)f(1)=2f(1×1)，则f(1)=0或f(1)=2．

若f(1)=0，则对∀x∈(0,+∞)，f(x)=12f(x1)f(1)=12f(x)f(1)=0，这与“f(x)是定义在(0,+∞)上的不恒为0的函数”矛盾，所以f(1)=2，A正确．

对∀x∈(0,+∞)，f(x)=12f(xx)f9.【答案】BCD

【解析】【详解】已知甲机器人作业时长X∼N42,62乙机器人作业时长Y∼N44,42E2X=2DY=16，则D2设m=P36≤PX∴PY≤40PX∴P(X10.【答案】ABD

【解析】解：a1=1，a2=9．

当n=2时，3a2=a3+2a1+10，解得a3=15，A正确．

由3an=an+1+2an-1+10，得an+2=3an+1-2an-10．

结合bn=an+1-an，得an+2-an+1-10=2(an+1-an-10)，即bn+1-10=2(bn-11.【答案】AC

【解析】解：设R(x,y)，P(x1,y1)，Q(x2,y2).另设OP=λOR，则(x1,y1)=λ(x,y)，即x1=λx,y1=λy,

代入x12+y12=4，解得λ2=4x2+y2．

设OQ=μOR，则(x2,y2)=μ(x,y)，即x2=μx,y2=μy,代入x2y2=4，解得μ2=4xy．

由O，P，Q，R四点共线且2|OP|3=|OQ|2⋅|OR|，得2|λOR|3=|μOR|212.【答案】6

【解析】【详解】方法一：2×3=logb方法二：由logba=2，logcb=3，得13.【答案】-20【详解】由tanα则展开式中不含α的项为C614.【答案】170；【详解】从除E1外的11条棱的中点及8个顶点中随机选取2个点与E而B1，E1，所以能构成C19其中，除了E1外，其他的点按照离E1的距离远近可分为(由各点均为正方体各棱的中点，由面面平行的判定定理可知α，β，γ互相平行)如图，分别记为平面α，β，γ，δ(δ过AD且与其他平面平行①对于平面α，γ，每个平面上有4个棱的中点，任取2个点都能与E1构成以E1为顶角顶点的等腰三角形，共有②对于平面β，有4个正方体的顶点，任取2个点都能与E1构成以E1为顶角顶点的等腰三角形，有再加上A1D1，BC共构成7个以E1③对于平面δ，A，D与E1构成1个以E综合①②③，共有12+7+1=20个以E1因此，所求概率为P=15.【答案】解：(1)0.8×100=80.因为20,30中的人数为32，30,40中的人数为38，40,50中的人数为20，所以32+38=70<80，32+38+20=90>80，所以教师年龄的第80百分位数应在区间40,50内．区间20,40中的人数的频率为70100区间20,50中的人数的频率为90100所以估计该地区教师年龄的第80百分位数约为40+10×0.8-0.7(2)设事件A=“抽取的教师为骨干教师”，B1=“抽取的教师来自小学”，B2=“抽取的教师来自初中”，而小学、初中、高中教师数分别为40，35，25，所占比例分别为40100=25，所以PB1=25又PAB1=25%，所以P=216.【答案】解：(1)由已知及正弦定理，得sinB(cosC+2)=sinC(2-cosB)，

即sinBcosC+sinCcosB=2sinC-2sinB.

因为sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

所以sinA=2sinC-2sinB.

由正弦定理及a=4，得2c-2b=4，即c-b=2．

(2)17.【答案】解：(1)如图，连接OA，OB，OC.因为四边形ABCD为正方形，O为底面圆的圆心，

所以OA=OB=OC=OD，从而O是对角线AC与BD的交点．

连接PO，则PO是△SAC的中位线，所以PO//SA．

又PO⊂平面POD，SA⊄平面POD，所以SA/​/平面POD．

又SA⊂平面SMNA，平面POD∩平面SMNA=MN，

所以SA//MN．

(2)以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，

则A(2,0,0)，D(0,-2,0)，S(0,0,2)，C(-2,0,0)，P(-1,0,1)．

设N(0,t,0)(t<0)，则SA=(2,0,-2)，AN=(-2,t,0)．

设平面SMNA的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅SA=0,m⋅18.【答案】解：(1)根据抛物线的定义得TF=4设T的纵坐标为aa>0，则a+所以T±3p,4-p2所以E的标准方程为x2(2)(i)证明：设Ax1,y1，则G所以直线AG1的方程为y-由Ax1,y1联立方程y=2y所以Δ=-2x12-设Bx2,y2，同理可得直线BH1的方程为y故直线AG1，BH(ii)因为直线MN的方程为y=1，直线OA的方程为y同理Nx2y所以线段MN的中点的坐标为2x设直线OP与MN交于点Q，由y=2y1x从而y=2y所以直线OP的方程为x=2x1+所以Q为线段MN的中点，故直线OP平分线段MN．19.【答案】解：(1)方法一：已知对∀∈0,1,ln设函数gx=1对g(x)再令函数φx=x所以φx在0,1上单调递减，从而φx≥所以gx在0,1上单调递增，从而g(x故k的取值范围为12方法二：由fx+kx≥12所以“k≥12”是“接下来证明：当k≥12时，不等式ln因为x>0，且k≥12，所以只需证明lnx+1设函数h则h'(所以h(x)在0,1所以h(x)≥0对∀结合之前的放缩lnx+kx≥(2)(i)Fx=当a≤0时，F'x>0，所以所以Fx当a>0时，令F'x=0，得x=55a；令所以Fx在0,55所以x=55a是且F(要使Fx有两个零点，首先，必有F(x此时55a<e-15从而Fx在5又Fa=ln则h'a=1a-从而∀a∈0,又a∈0,1又a<55所以Fx在a,55a综上所述，Fx在0,+∞上有两个零点，故a的取值范围为0,(ii)方法一：由(i由Fxi=0i=1,2令xi5=由(1)，当k=12时，∀由0<t15即-5整理，得t1由0<5at设函数mt=t