2020年高中京师数学建模考试押题卷及参考答案

2020年高中京师数学建模考试押题卷及参考答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)1.在SIR模型中，若基本再生数R0=3，则当有效再生数降至1时，人群易感比例约为A.0.90B.0.75C.0.67D.0.332.用线性回归拟合y=kx+b，若残差平方和SSE=0，则决定系数R²为A.0B.0.5C.1D.无法确定3.在交通流LWR模型中，流量q与密度k呈三角形基本图，则临界密度kc对应A.最大速度B.最大流量C.零流量D.零速度4.对同一组数据分别用3阶和7阶多项式插值，后者出现剧烈振荡，此现象称为A.过拟合B.欠拟合C.外推误差D.舍入误差5.蒙特卡洛估计π时，若投点总数扩大100倍，则估计标准差约A.不变B.缩小10倍C.缩小100倍D.扩大10倍6.在层次分析法AHP中，若一致性比率CR>0.1，应优先A.接受判断矩阵B.修正判断矩阵C.提高阶数D.降低阶数7.线性规划标准型中，松弛变量的目标系数为A.0B.1C.-1D.任意正数8.用指数平滑预测时，平滑系数α越大，则序列对新数据A.越敏感B.越迟钝C.无影响D.反向变化9.在图论最短路径问题中，Dijkstra算法要求边权A.非负B.整数C.相等D.对称10.若马尔可夫链转移矩阵P为双随机矩阵，则其平稳分布必为A.均匀分布B.正态分布C.泊松分布D.无法确定二、填空题，(总共10题，每题2分)11.若Logistic模型dP/dt=0.02P(1-P/1000)，则环境容纳量K=________。12.用欧拉法步长h=0.1解dy/dt=-5y，若初值y0=1，则第一步近似值y1=________。13.在线性回归中，若自变量x与残差e的相关系数为0，则称模型满足________假设。14.对周期为T的函数采样，根据香农定理，采样频率应大于________。15.若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(|X-μ|≤2σ)≈________(保留两位小数)。16.在指派问题中，若系数矩阵某行减去同一常数，则最优值________。17.当排队系统M/M/1的利用率ρ=0.8时，平均等待队长Lq=________。18.若时间序列{xt}的ACF在滞后k>1时接近0，则可用________模型拟合。19.在0-1规划分支定界中，上层松弛解若________，则必须继续分支。20.若线性规划可行域非空有界，则目标函数必在________点取得最优。三、判断题，(总共10题，每题2分)21.对同一数据，高阶多项式插值总比低阶插值误差小。22.若线性规划存在最优解，则其对偶问题也必存在最优解且目标值相等。23.在SIS模型中，当R0<1时疾病终将灭绝。24.若马尔可夫链不可约且非周期，则必存在唯一平稳分布。25.用中心差分近似二阶导数时，截断误差阶为O(h)。26.在AHP中，判断矩阵的最大特征根越接近阶数n，一致性越好。27.若时间序列的ADF检验p值<0.05，则可认为序列平稳。28.对任意图，Prim算法与Kruskal算法所得最小生成树总权值必相等。29.若排队系统到达为泊松过程，则间隔时间服从指数分布。30.蒙特卡洛方法的误差与样本量平方根成反比，与维数无关。四、简答题，(总共4题，每题5分)31.简述建立Logistic人口模型的基本假设，并指出其相对于指数模型的改进之处。32.说明在多元线性回归中多重共线性的危害，并给出两种常用诊断指标。33.概述用蒙特卡洛方法估算定积分∫₀¹f(x)dx的步骤，并指出减小方差的一条途径。34.描述在传染病SEIR模型中引入“潜伏期”对基本再生数R0计算的影响。五、讨论题，(总共4题，每题5分)35.某市共享单车站点借还数据量巨大，讨论如何构建网络模型刻画站点间车流，并说明如何运用PageRank思想识别“关键站点”。36.针对高考选科走班制，讨论如何建立0-1整数规划模型使得教学资源利用率最高，并指出目标函数与主要约束。37.在“双减”背景下，某校欲用时间序列模型预测课后服务需求，讨论数据预处理、模型选择及误差控制策略。38.面对突发公共卫生事件，讨论如何结合SIR模型与实时手机信令数据动态调整防控强度，并评估政策效果。参考答案一、1.C2.C3.B4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.A二、11.100012.0.513.零均值14.2/T15.0.9516.不变17.3.218.MA(1)19.含非整数分量20.顶点三、21.F22.T23.T24.T25.F26.T27.T28.T29.T30.F四、31.假设人口增长率随人口数量线性下降，环境容纳量恒定；改进：引入饱和项，避免无限增长，呈现S型曲线，能描述资源限制。32.危害：参数估计方差膨胀，t检验失效，符号反转；指标：方差膨胀因子VIF>10，条件数CN>30。33.步骤：在[0,1]均匀取随机样本xi，计算样本均值f(xi)，积分估计值为该均值；减方差：采用重要性采样，使采样密度与f(x)形状接近。34.引入潜伏类E后，感染链延长，R0计算需考虑潜伏期感染率ε与移出率γ，公式变为R0=β/(γ+ε)，通常比SIR模型R0降低，反映潜伏期隔离效果。五、35.以站点为节点，借出→归还的有向边为弧，边权为时段转移概率，构建有向加权网络；对邻接矩阵按列归一化得转移矩阵，求主特征向量，得分高者为关键站点，因其吸引或发散车流能力强。36.决策变量xijk=1表示学生i选科组合j被分配到班型k；目标函数：最小化班级总数与教室空闲率；约束：每生必选一组合，班级人数不超上限，教师课时不超上限，同科时段不冲突。37.预处理：缺失值用插值补齐，节假日虚拟变量，对序列做STL分解去季节项；模型：SARIMA与Prophet比较，用滚动窗口交叉验证，选AIC最小者；误差控制：引入外生变量如天气、考试周，