2025版初等数论期末复习备考题库及历年真题答案

2025版初等数论期末复习备考题库及历年真题答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若整数a满足a≡5(mod7)且0≤a<21，则a的取值个数为A.1B.2C.3D.42.下列整数中，与36互素的是A.27B.35C.45D.543.设p为素数，则模p的最小正原根一定A.小于p/2B.等于2C.存在且唯一D.不存在4.若ord₁₃(5)=d，则d等于A.3B.4C.6D.125.同余方程x²≡1(mod24)的解的个数为A.2B.4C.6D.86.设n>1，则φ(n)=n−1当且仅当n为A.偶数B.奇合数C.素数D.17.若勒让德符号(6|11)的值为A.0B.1C.−1D.28.设a,b为正整数，则gcd(2ᵃ−1,2ᵇ−1)=A.2^{gcd(a,b)}−1B.2^{lcm(a,b)}−1C.1D.29.若p为奇素数，则(−1)^{(p−1)/2}等于A.(−1|p)B.(2|p)C.0D.p10.设m=105，则与m互素且不超过m的正整数个数为A.48B.56C.64D.72二、填空题（每题2分，共20分）11.整数a满足100≡a(mod13)且−6≤a≤6，则a=____。12.若p为素数且p≡3(mod4)，则(−1|p)=____。13.设n=2⁴·3²·5，则φ(n)=____。14.同余方程7x≡3(mod15)的最小正整数解为____。15.设ord₁₇(3)=k，则k=____。16.若a≡b(modm)且d|m，则a≡b(mod____)成立。17.满足x²≡2(mod7)的最小正整数x为____。18.设p=13，则模p的所有二次剩余之和为____。19.若gcd(a,m)=1且a^{φ(m)}≡1(modm)，该结论称为____定理。20.设n=945，则n的所有正约数个数为____。三、判断题（每题2分，共20分）21.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm²)。22.对任意奇素数p，2都是模p的原根。23.若m>2，则φ(m)必为偶数。24.同余方程x²≡−1(modp)有解当且仅当p≡1(mod4)。25.若d|n，则φ(d)|φ(n)。26.设p为素数，则(p−1)!≡−1(modp)。27.若a与m互素，则a^{m−1}≡1(modm)。28.若gcd(a,b)=1，则gcd(2a+b,a+2b)=1或3。29.对任意正整数n，σ(n)≥n+1。30.若n为完全数，则n必为偶数。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述并证明欧拉定理。32.给出模素数p下二次剩余与二次非剩余各一条基本性质，并简要说明理由。33.说明如何利用中国剩余定理求解同余方程组，并写出关键步骤。34.解释原根的定义，并给出判断g是否为模p原根的两条实用准则。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：若n为无平方因子奇数，且n>1，试分析φ(n)与n的奇偶性关系，并给出结论证明。36.讨论：设p≡1(mod4)为素数，证明x²≡−1(modp)恰有两解，并说明解的对称性。37.讨论：若整数a>1且a^{n}−1为素数，试证n必为素数，并举例说明逆命题不成立。38.讨论：利用二次互反律计算(3|p)的值，按p模12分类给出结论并简要论证。答案与解析一、1.C2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.A9.A10.A二、11.−412.−113.12814.915.1616.d17.318.019.欧拉20.16三、21.×22.×23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.√30.√四、31.欧拉定理：若gcd(a,m)=1，则a^{φ(m)}≡1(modm)。证明：取模m的既约剩余系{r₁,…,r_{φ(m)}}，则{ar₁,…,ar_{φ(m)}}亦构成既约剩余系，故∏(ar_i)≡∏r_i(modm)，消去∏r_i即得。32.性质1：模p下恰有(p−1)/2个二次剩余。性质2：若a为二次剩余，则a^{(p−1)/2}≡1(modp)。理由：由欧拉判别法及乘法群结构可知。33.关键步骤：1.验证模数两两互素；2.分别求各模逆；3.构造特解M_i·y_i·a_i；4.叠加得通解x≡∑M_iy_ia_i(mod∏m_i)。34.定义：g为模m原根指ord_m(g)=φ(m)。准则：1.gcd(g,m)=1；2.对φ(m)的每个素因子q，g^{φ(m)/q}≢1(modm)。五、35.结论：φ(n)为偶数。证明：n无平方因子且奇，故n=∏p_i，p_i≥3，φ(n)=∏(p_i−1)，各括号皆偶，乘积仍偶。36.证明：由p≡1(mod4)知(−1|p)=1，故x²≡−1有解；解成对出现±x，且不同余，故恰两解；对称性源于x→−x的自同构。37.证明：若n=km，则a^{n}−1=(a^{k}−1)(…)，仅当k=1或m=1时可能素，故n必素；逆命题