数学参考答案重庆市重庆第八中学校高2027级高二（下）阶段性检测（一）暨4月月考(4.2-4.3)-15036011b1a1

一、单选题1．A【详解】对于A：原数据平均数为添加数据3后平均数为故A正确；对于B：原数据中位数为，添加数据3后中位数为3，故B错误；对于C：原数据众数为1，添加数据3后众数为1和3，故C错误；对于D：原数据方差为(1_3)2+(1_3)2+(3_3)2+(7_3)2=6，添加数据3后方差为故D错误.2．B【详解】f'=k因为函数f(x)=kx_lnx在区间上单调递增，所以f'=k上恒成立，即k上恒成立.因为y上单调递减，所以当x时，y<2，所以k≥2，则k的取值范围为[2,+∞).3．B【详解】依题意得a．4．D【详解】解：由题意知，函数f(x)的定义域为{x∣x≠±1}，因为ff(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；f，排除B；f，排除C.5．D【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 6．D【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为x1，x2，两个班的总的平均分为x，则s7．B【详解】根据题意可g→g所以g在(_∞,0)上单调递减，则原不等式等价于又g，所以函数g(x)关于点对称，二、多选题9．BC【详解】若B≤A，则P(AB)=P(B)，与题干矛盾，故A错误；因为P(AB)>0，所以随机事件A，B可以同时发生，即A、B不是互斥事件，故B正确；因为P(A)>P(B)，所以1_P(A)<1_P(B)，即P(A)<P(B)，故C正确D错误；10．ACD【详解】数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当n≥2时，对于B，则数列是公差为的等差数列，B错误；则数列{(_1)nan}的前2023项和为2×1011_a2023=2022_2×2023=_2024，D正确.11．ACD【详解】对于A，y=f(x)__eg(x)=ex_elnx．所以y,=ex递增，所以y=f(x)一eg(x)的极值点为1，故A正确；因函数y=ex与y在(0,+∞)上均单调递增，故h,(x)在(0,+∞)上单调递增．所以h(x)在(0,x0)上单调递减．在(x0,+∞)上单调递增.对于C，因为函数f(x)=ex与函数g(x)=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，设点P到y=x的最小距离为d，设函数f(x)=ex上斜率为1的切线为y=x+b，f,(x)=ex，由ex=1得x=0，所以切点坐标为(0,1)，即b=1，所以d所以PQ的最小值为2d=2，故C正确；lnx当0<x<e时，u,(x)>0，则函数u(x)在(0,e)上单调递增，当x>e时，u,(x)<0，则函数u(x)在三、填空题当0<x<1时，f,(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f,(x)>0，f(x)单调递增，所以x是f(x)的极小值点13．165.4【详解】高二年级男生与女生人数比为490:510=49:51，当样本容量为100时，抽取男生人数为x100=49（人抽取女生人数为x100=51（人高二年级全体学生的平均身高估计为x160.8=165.406≈165.414．【详解】由原式f(x)=axex+1_lnx_x≥0恒成立，等价于a恒成立，令g则a的最小值为g(x)的最大值.则g,令g,(x)=0，得方程lnx+x=2，解得x=x0（x0为唯一解即lnx0+x0=2，因此，x=x0是g(x)的极大值点，即最大值点，所以g(x)的最大值g由lnx0=2_x0，即x0=e2_x，所以g所以a≥g四、解答题15．(1)证明见解析【详解】（1）证明：由正方体的性质可知AC//A1C1，因为正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，所以D1O丄AC,且D1O所以LD1OD为平面ABCD与平面ACD1所成角的平面角，因为DD1丄底面ABCD，所以DD1丄DB，所以sinLD1OD即平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值为分（3）以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设平面ACD1的一个法向量为=(x,y,z)，则则d即点B1到平面ACD1的距离为分（2）由已知可估计平均数为即分别在两区间内的场数之比为2:3，根据分层抽样可知，抽取的5场比赛中得分在[55,65)内的有2场，设为a，b，得分在[65,75]内的有3场，设为c，d，e，(d,e)，共有10种情况；其中满足两场都不低于65分的情况有(c,d)，(c,e)，(d,e)，共3种情况，则所求概率为3.17．(1)x+y-1=0；(2)答案见解析；(3)a=2x函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-(x-1)，x+y-1=0．3分（2）因为fax2-lnx，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f,=ax当a≤0时，f,(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当x时，f,(x)<0，函数f上单调递减，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数f上单调递减，在a,+∞)上单调递增.………8分（3）当a≤0时，f,(x)<0，函数f(x)在[1,e]上单调递减，所以fmin=fae2_1=1，所以a不合题意舍去；当a>0时，若a≤1即a≥1，函数f(x)在[1,e]上单调递增，所以fmin=fa_0=1，所以a=2，符合题意；若≥e即0<a≤,函数f(x)在[1,e]上单调递减，所以fmin=fae2_1=1，所以a不符合题意；若1<<e即<a<1，函数f(x)在上单调递减，在a,e]上单调递增，所以fmin=fln不符合题意；综上，函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1，则a=215分【详解】（1）当l与x轴垂直时，yA=yB=2，4p（2）(ⅰ)由l与抛物线交于A，B两点知直线斜率不为04pxx1x代入知：cosLAOB解得：m=±1，即l(ⅱ)由对称性，不妨取l：x=y+2，由于A故OA：y=x，因为PE丄OA，设P(a,0)，所以PE：y联立解得：E，同理有：F所以kEF由（2）得：y1+y2=4，y1y2=_8，代入可知：kEF故EF：y由于y_4y1_8=0，故4y1=y_8，则即EF：y因为kPG=_1，所以PG：y=_(x_a)，联立解得：G因为E，F，G三点共线，所以G在直线EF19．(1)（i）_1；(ⅱ)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1i）当a=0时，f(x)=xlnx_x，其定义域为(0,+∞)，又f,=lnx+xlnx，所以当0<x<1时，f,(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，当x>1时，f,(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，即f(x)min=f(1)=1×ln1_1=_1；4分(ⅱ)由（i）知，当x>0时，f(x)=xlnx_x≥_1，即x_xlnx≤1，令x，则lnlnn≤1，所以2lnn≤n2_1，则，（2）函数f(x)=(x_a)lnx_x的定义域为(0,+∞)，又f,=lnxlnx，x2是f(x)的两个极值点，所以lnx1_=