福建宁德市2025-2026学年第一学期期末高二质量检测数学试题

宁德市度第一学期期末高二质量检测数学试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为.故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题.2.已知是等比数列，各项都是实数，，则（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列性质求解.【详解】因为，所以，解得，又，所以，所以，故选：B.3.直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得.【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为，当截距都不为零，设直线方程为，则，所以直线方程为，即.综上直线方程：或.故选：C4.宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（）A.36种 B.48种 C.72种 D.120种【答案】C【解析】【分析】先用全排列排好道菜品，再用插空法将种加工制品插入菜品形成的空隙中，最后将两步结果相乘得到总方案数.【详解】道菜的全排列数为种；排列好后，它们之间会形成个空隙(包括两端)；从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：种；总方案数为：种.故选：C5.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是（）A.与对立 B.与互斥 C.与相互独立 D.与相互独立【答案】D【解析】【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断.【详解】，对于A：因为，所以不对立，A错误；对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误；对于C：因为事件“向上的点数是2”，，，，所以与不相互独立；对于D：因为事件“向上的点数为”，，又，所以，所以与相互独立.故选：D.6.已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，则，正负相消求和.【详解】当时，，当时，，又，所以，所以，设数列的前项和为，则，故选：A.7.已知为中不同数字的个数，如，则事件发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出总事件数为：，表示三个数中恰好有两个不同的数字，结合排列组合的应用计算即可求解.【详解】总事件数为：，表示三个数中恰好有两个不同的数字，其中一个数字出现2次，另一个出现1次从4个数字中选2个不同的数字：，再从这2个数字中选1个作为重复出现的数字，从3个位置中选2个位置放置重复的数字：所以事件A的情况数为：所以.故选：C.8.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点.若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】求出的坐标，代入曲线方程，齐次化后求解即可.【详解】如图：由题意知，，则，，将代入得，化简整理得，，解得.故选：B，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，则下列说法正确的有（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对A，由数列的函数特征，是否为关于的一次函数，从而判断是否等差数列；对B，由等比数列的定义判断是否为常数，从而判断是否为等比数列；对C，由结合等差数列前项和公式和等差数列性质可得，由判断；对D，由等差数列前项和公式的性质可得.【详解】对于A：等差数列的前项和公式为，因为，这是一个关于的一次函数，所以是等差数列，A正确；对于B：设等差数列的公差为，则，这是一个与无关的常数，所以数列是等比数列，B正确；对于C：因为，，所以，所以公差，C错误；对于D：因为，所以，D正确.10.已知圆，直线过定点，则下列说法正确是（）A.圆心坐标为B.当的斜率为时，则圆关于对称C.以为圆心且与圆有公共点的最大圆的方程为：D.直线被圆所截的弦的中点的轨迹为圆在圆内部的弧【答案】ACD【解析】【分析】把圆C的方程化为标准形式可以验证A正确；求出直线方程为，因为圆心不在直线上，所以圆C不关于l对称，验证B错误；因为，两圆内切，以为圆心且与圆有公共点的圆最大，验证C正确；设弦的中点为，根据，得到，验证D正确.【详解】把圆C的方程化为标准形式得到，所以圆心为，半径，故A正确，当的斜率为时，直线方程为，即.因为，所以圆心不在直线上，即圆C不关于l对称，故B错误因为，所以以M为圆心且与圆C有公共点的最大圆，其半径，方程为，故C正确，设弦的中点为，根据垂径定理，即.因为，所以，即.又因为中点P在圆C内部，所以轨迹是该圆在圆C内部的弧，故D正确.故选：ACD.11.如图，“鱼线”由抛物线和曲线（与关于直线对称）组成，“鱼身”为其围成的阴影区域，下列说法正确的是（）A.曲线的方程为B.直线与“鱼线”有3个交点，则的取值范围为C.点在“鱼线”上，，则D.“鱼身”的面积大于4【答案】ABD【解析】【分析】对A：由与关于直线对称计算即可得；对B：联立直线与、，结合根的判别式计算即可得；对C：借助两点间距离公式，举出反例即可得；D：借助割补法计算即可得.【详解】对A：由与关于直线对称，则有，故曲线的方程为，故A正确；对B：，消去可得，，，消去可得，，若，由、关于对称，此时直线与、共2个交点，令，解得，此时直线与有两个交点，又，，故直线与有一个交点，即直线与“鱼线”有3个交点；令，解得，此时直线与有两个交点，又，，故直线与有一个交点，即直线与“鱼线”有3个交点；故当直线与“鱼线”有3个交点时，的取值范围为，故B正确；对C：若点在上，则，若点在上，则，取，则，故，故C错误；对D：取点在曲线上，联立，解得或，则、有公共点、，则线段的方程为，线段的方程为，当时，有，当时，有，故“鱼身”的面积，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答）【答案】20【解析】【分析】根据两点确定一条直线，从8个顶点中任取两个的取法，再去掉边的条数即可.【详解】正八边形8个顶点中的任意两个的连线的条数，排除边数即为对角线条数，故正八边形的对角线的条数是条.故答案为：2013.已知直线是双曲线的一条渐近线，则______.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，比较已知直线方程求出.【详解】因为双曲线方程为，所以，得，所以渐近线方程为，又直线是双曲线的一条渐近线，所以，故答案为：.14.已知数列满足，且，其中表示不超过的最大整数，如，若，则___________.【答案】11【解析】【分析】先由，得到，利用累加法得，进而列方程即可求解.【详解】当n为偶数时，设，则；，当n为奇数时，设，则，所以无论n是奇数还是偶数，都有，所以，即，累加得到，所以，因为，所以，解得或（舍去）所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，其中．（1）若，求的值；（2）若，且依次成等差数列，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用赋值法求二项式系数和；（2）利用二项式系数写出对应的表达式，再利用等差数列的性质列方程求解．【小问1详解】当时，，令，则，令，则，．【小问2详解】的展开式的通项为，系数，由依次成等差数列，得，即，代入组合数公式化简，得，整理得，解得或又，，．16.已知直线与圆相交于两点.（1）若，求的值；（2）为坐标原点，求.【答案】（1）或；（2）2【解析】【分析】（1）将直线与圆的方程联立，化简得：，由并利用韦达定理和弦长公式求解即可.（2）由（1）知，利用韦达定理接求解即可.【小问1详解】解法一：（1）将将与圆的方程联立，化简得：由解得或设直线与圆两交点分别为，由韦达定理，，，解得或；解法二：（1）圆的标准方程为，则圆心为，半径且直线即，则圆心到直线的距离根据垂径定理可得：，即所以或；小问2详解】解法一：由（1）知，其中，即，代入韦达定理结果：，所以的值为2；解法二：设点为的中点，由向量的坐标运算可得，所以.17.甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率；（2）若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式，即对立事件发生的概率公式即可求解；（2）先将事件分解，再利用相互独立事件同时发生的概率公式即可求解【小问1详解】设一轮比赛中，“甲投中”，“乙投中”，“闪电队”投中篮球至少有1次，由于两人投篮的结果互不影响，所以相互独立，由已知可得，，“至少投中1次”的对立事件是“甲、乙都没投中”，.因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1次的概率是.【小问2详解】设分别表示甲两轮投篮投中1次，2次的事件，分别表示乙两轮投篮投中1次，2次的事件，根据事件独立性，得，，设表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3次，且两两互斥，与，与，与分别相互独立，，因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是.18.已知数列满足，记.（1）证明：数列等差数列；（2）求数列的前项和；（3）不等式对都成立，求实数的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等差数列的定义得证.（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.（3）分离参数，构造，探讨数列单调性求出最小值即可得解.【小问1详解】由，得，即，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）得，，且，所以，则①，，①②得，所以；【小问3详解】要证，即对任意正整数都成立，令，则，则，因为单调递减，当时，，所以，当时，，当时，单调递减，所以，即所以实数的最小值为.19.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）在平面直角坐标系中，为坐标原点，按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，过椭圆的左顶点作直线与定直线相交于点，线段的中点为.①直线的斜率记为，证明：为定值；②求的外接圆圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）（2）①证明见解析；②；【解析】【分析】（1）根据题意列关于方程求解即可，（2）①设直线的方程为，，联立椭圆方程利用韦达定理求解出，，则的坐标为，化简得到，则从而证明得到；②联立中垂线方程求解出外接圆圆心的横坐标，再利用函数单调性求解范围即可.【小问1详解】由离心率得，即