北师大版小学数学五年级下册第三单元第四节：分数乘法（二）-求一个数的几分之几是多少（教学设计）

北师大版小学数学五年级下册第三单元第四节：分数乘法（二）——求一个数的几分之几是多少（教学设计）

  一、课标依据与单元整体解读

  本节教学内容严格遵循中华人民共和国教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域第三学段（5-6年级）的目标要求。课程标准明确指出，学生应“探索并理解分数乘法的意义，能进行简单的分数乘法运算，能解决分数乘法实际问题”。本节课的核心定位在于，在学生初步理解分数乘整数（即“分数乘法（一）”中“几个相同分数相加”的意义）的基础上，实现意义理解的第一次关键飞跃：从“求几个几分之几的和”转向“求一个数的几分之几是多少”。这一飞跃是构建分数乘法完整意义模型、打通分数乘法与整数乘法、小数乘法内在一致性（即“求一个数的几倍或几分之几”）的枢纽。从单元整体视角审视，本单元的结构呈螺旋上升之势：“分数乘法（一）”解决的是乘数为整数的情形，意义基础是“同分母分数加法”；“分数乘法（二）”则直面乘数为真分数（或单位分数）的情形，其意义本质是“求一个数的几分之几”，这是分数乘法作为“运算”在解决实际问题中最核心、最广泛的应用；“分数乘法（三）”将进一步拓展到“分数乘分数”，揭示“几分之几的几分之几”的几何意义。因此，本节内容承上启下，是学生从分数加法的机械联结迈向分数乘法意义自主建构的关键节点，其教学成败直接影响学生对分数乘法的深度理解与灵活应用能力。

  二、教材深度分析与二次开发

  北师大版教材在本节以“试一试”的形式呈现，其编排意图在于鼓励学生在“分数乘法（一）”的认知基础上，进行自主迁移和尝试探究。教材通常提供一个简洁的生活情境（如，奇思的体重是爸爸的几分之几，或一块蛋糕被取走几分之几），引导学生通过画图（如矩形图、线段图）等直观手段，将“求一个数的几分之几”的问题，与已经掌握的“分数乘整数”的运算方法建立联系，从而发现算法上的共性：都是用总量（单位“1”对应的数）乘以分数。然而，教材的简约性也为深度教学留下了广阔空间。单纯的算法归纳容易导致学生停留在“看到一个数乘以分数，就用这个数乘分子、分母不变”的程序性记忆层面，而对“为什么可以这样算”缺乏深刻理解。因此，本教学设计将对教材进行深度二次开发：其一，引入更为丰富、结构化的问题情境群，包括连续量（如长度、质量）和离散量（如物品个数、人数），特别是引入具有现实意义的“碳足迹计算”、“营养配比”等跨学科情境，以增强数学的现实感和使命感。其二，强化“数形结合”的思维深度，不仅停留在用图验证结果，更要引导学生分析图形如何表征“整体”、“部分”与“分数”之间的关系，如何从图形的操作（如分、取、涂）中抽象出数学算式，实现从直观动作思维到抽象符号思维的完整跨越。其三，设计认知冲突环节，例如，对比“6的1/2”和“1/2的6倍”，让学生在辨析中深化对乘法意义统一性的认识。

  三、学情前测分析与认知起点诊断

  五年级下学期的学生，其思维发展正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们已经牢固掌握了整数、小数的乘法运算及其“求几个几是多少”或“求一个数的几倍是多少”的意义。在分数知识方面，他们理解了分数的意义（部分与整体的关系、分数单位），能够进行同分母分数的加减运算，并刚刚在上一节课学习了“分数乘整数”（求几个相同分数相加的和）。通过前测（可采用访谈或小问卷），我们发现学生的典型认知状态可分为三层：约60%的学生能将“求一个数的几分之几”与除法建立模糊联系（如“就是平均分成几份，取其中的几份”），但无法顺畅地与乘法运算勾连；约30%的学生能通过画图等直观方式解决问题，但难以脱离具体情境抽象出普遍算法；仅有约10%的学优生能朦胧地感觉到“好像也是用乘法算”，但说不出所以然。学生普遍存在的认知障碍在于：受整数乘法“倍数”模型的负迁移影响，难以接受“乘一个比1小的数（真分数）结果反而变小”这一现象，从心理上对“乘法使结果变大”的固有观念产生冲突。此外，将“一个数”视为一个整体（单位“1”），并将其“等分”和“取部分”的过程，与一个抽象的乘法算式相对应，需要高度的抽象概括能力，这对部分学生构成挑战。因此，教学必须从学生的直观经验和已有认知冲突出发，搭建坚实的脚手架。

  四、核心素养导向的学习目标

  基于课程标准、教材分析与学情诊断，确立以下指向数学核心素养发展的三维学习目标：

  1.知识与技能目标：结合具体情境，理解“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算的道理；掌握其计算方法，并能正确计算；能解决相关的简单实际问题。

  2.过程与方法目标：经历“提出问题-画图操作-观察比较-归纳概括”的完整探究过程，发展几何直观和合情推理能力；通过多样化的实际问题解决，增强模型意识和应用意识。

  3.情感态度与价值观目标：在解决与环保、健康、经济等相关的现实问题中，体会数学的社会价值，激发学习兴趣和责任感；在小组合作探究中，培养敢于质疑、乐于交流的科学态度。

  五、教学重难点及突破策略

  教学重点：理解“求一个数的几分之几是多少”这一分数乘法应用问题的数量关系，并掌握其计算方法。

  教学难点：从意义上理解“求一个数的几分之几”与分数乘法算式的内在联系，破除“乘法使积变大”的思维定势。

  突破策略：采用“三重表征”协同推进的策略化解难点。第一重：情境与语言表征。创设强代入感的情境，引导学生用规范的数学语言描述问题，如“求28千克的3/4是多少千克”。第二重：图形表征。强制要求学生在探究初期使用矩形图、线段图等可视化工具，将抽象的“几分之几”转化为可见的“部分面积”或“线段长度”，直观呈现“整体”被等分和选取的过程。第三重：符号表征。引导学生从图形表征中自然导出乘法算式，并组织讨论：“算式的两个数分别对应图中的什么？”“为什么求‘部分量’可以用‘整体量’乘‘分数’？”通过三重表征的相互转换与印证，让意义理解“看得见”，让算法生成“有根基”。

  六、教学准备与资源整合

  1.教师准备：交互式电子白板课件（内含动态分涂动画、情境图片、分层练习）；实物投影仪；供学生使用的探究学习单（含结构化图表）；用于小组合作的磁性小白板及彩笔。

  2.学生准备：数学书、练习本、彩笔、直尺。

  3.环境准备：教室桌椅按“异质分组”原则排列成六个合作学习岛。

  4.跨学科资源链接：准备简明的“个人日碳排放计算”背景资料、“食物营养成分表”片段等，将数学与科学、健康教育有机融合。

  七、教学过程实施详案

  （一）第一阶段：锚定现实，激疑引思——情境导入与问题提出（预计用时：8分钟）

  教师活动：

  1.播放一段约90秒的微视频，主题为“我们的碳足迹”。视频以动画形式展示一名小学生一天活动中产生的二氧化碳当量（如出行、用电、饮食），最后画面定格并呈现一组数据：“如果一个人平均每天因生活消耗产生约28千克二氧化碳当量。植树造林是重要的吸收方式，一棵树平均每天约能吸收人体日排放量的1/4。”

  2.关闭视频后，面向全体学生，用清晰而富有感染力的语言提问：“同学们，从这段视频中，你捕捉到了哪些数学信息？根据这些信息，你能提出什么数学问题？”

  3.倾听学生的回答，预计学生会提取出关键数据“28千克”和“1/4”，并可能提出诸如“一棵树一天能吸收多少千克二氧化碳？”等问题。教师将学生提出的核心问题板书于黑板上：“一棵树一天能吸收多少千克二氧化碳？也就是求28千克的1/4是多少。”

  4.进一步追问：“面对‘求28千克的1/4是多少’这个问题，你的第一感觉用什么运算解决？猜一猜。”鼓励学生大胆猜想，可能出现的答案有除法、乘法或两者皆可。将“除法”和“乘法”两种观点暂时并列板书，制造认知悬念。

  学生活动：

  1.专注观看视频，从中提取数学信息。

  2.积极思考，举手提出自己发现的数学问题。

  3.针对教师的核心提问，进行独立思考并做出初步猜想（除法或乘法），并与同桌进行简短交流。

  设计意图与素养指向：

  以“碳足迹”这一具有时代性和教育意义的现实问题导入，瞬间将数学学习置于广阔的社会背景之下，有效激发学生的探究兴趣和社会责任感（情感态度价值观）。提出问题的过程，锻炼了学生的信息提取能力和数学建模的初步意识（应用意识、模型意识）。制造“算法猜想”的冲突，旨在暴露学生的前概念，引发认知不平衡，为后续的深度探究提供强大的内在动机。整个环节摒弃了浮于表面的情境创设，力求实现德育渗透与数学思考的无痕融合。

  （二）第二阶段：探本溯源，建模式——合作探究与意义建构（预计用时：22分钟）

  本阶段是教学的核心环节，采用“问题驱动、合作学习、可视化探究”的策略，分三个层次展开。

  层次一：直观操作，初建模型

  教师活动：

  1.发布探究任务一（学习单任务一）：“请用画图的方式，表示出‘28千克的1/4’，并尝试根据你的图列出算式，计算出结果。想一想，你的图是怎么画的，算式又是怎么得来的？”

  2.巡视指导，关注不同层次的表征方式。对使用线段图的学生给予肯定，鼓励用矩形面积图的学生解释其含义。重点观察学生是否清晰地将“28千克”视为整体进行平均分。

  3.邀请具有不同代表性的小组（如：画线段图且列式为28÷4；画矩形图且列式为28×1/4）利用实物投影或磁性白板展示他们的探究过程和结果。

  学生活动：

  1.独立思考，在學習單上動手畫圖。常見畫法：畫一條線段表示28千克，平均分成4份，取其中的1份；或畫一個長方形表示28千克，將其分為4等份，塗色其中1份。

  2.根據圖形，嘗試列出算式。部分學生可能列出28÷4=7（千克），並解釋為“平均分成4份，求一份是多少”；部分學生可能列出28×1/4，但可能計算遇到困難（如何計算28×1/4？）。

  3.小組內交流各自的畫法和算式，比較異同，試圖說服對方或融合觀點。

  層次二：聚焦聯系，深化理解

  教師活動：

  1.組織全班對兩種典型方法進行辯論式研討。首先，提問列除法算式的學生：“你的圖形中，哪一步對應著‘÷4’？”引導學生明確，“÷4”對應的是“將整體平均分成4份”這個操作。

  2.接著，轉向列乘法算式的學生（或引導全班思考）：“在圖上，‘1/4’這個分數具體指的是什麼？”通過追問，引導學生達成共識：圖中的1/4，表示的是“整體中的一份”，是“部分與整體的關系”。

  3.提出關鍵追問：“‘求這一份是多少千克’，除了用‘總量÷份數’，能否用‘總量×這一份所占的份數關系（即分數）’來表示呢？”此時，將學生的圖形（如線段圖）與算式進行動態鏈接（利用白板工具）：將28千克的線段高亮，標注“單位‘1’”；展示“×1/4”這個運算，可以理解為“取出這‘1份’（即1/4）”。動畫演示：總量28×(1/4)=7，這個過程與“28÷4×1”在結果和內在邏輯上完全一致。

  4.引導學生觀察並總結：“28÷4”與“28×1/4”計算結果相同。那麼，“28×1/4”這個算式，是如何一步到位地既表示了“平均分（÷4）”，又表示了“取一份（×1）”的呢？歸納：因為“1/4”這個分數本身就蘊含了“將1平均分成4份，取其中1份”的雙重含義。所以，求一個數的幾分之幾，直接用這個數乘這個分數即可。

  學生活動：

  1.積極參與全班研討，傾聽不同觀點。

  2.跟隨教師的引導，在圖形與算式之間建立聯系，努力理解“分數本身包含除法和取部分兩層意思”。

  3.經歷“除法算式”與“乘法算式”的對比、溝通與統一過程，初步感悟到“求一個數的幾分之幾是多少”本質上是一種特殊的乘法運算。

  層次三：抽象概括，形成結論

  教師活動：

  1.趁熱打鐵，將問題從“1/4”推廣到其他分數。出示探究任務二：“如果一棵樹每天能吸收人體日排放量的3/4呢？請畫圖並列式計算‘求28千克的3/4是多少’。”

  2.學生迅速完成後，對比兩個問題（求1/4和求3/4）的算式與圖形。引導總結：“無論是求幾分之一還是幾分之幾，方法是否一致？”引出核心結論：求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。數量關系式為：單位“1”的量×對應的分率=對應的量。

  3.通過反例辨析，鞏固理解。提問：“如果我們計算28×4，得到的結果比28大，表示什麼意思？（求28的4倍是多少）。那麼28×1/4，結果比28小，這說明了什麼？”引導學生理解：乘數大於1，求的是比原數大的數（倍數）；乘數是分數（小於1），求的是原數的一部分（分率）。兩者統一於“求一個數的幾倍或幾分之幾”，都用乘法。

  學生活動：

  1.獨立完成求“3/4”的任務，驗證剛剛發現的規律。

  2.參與歸納總結，嘗試用自己的語言表述“求一個數的幾分之幾用乘法”的規則和數量關系。

  3.思考反例問題，在對比中深刻體會乘法意義的擴展，打破“越乘越大”的思維定勢。

  設計意圖與素養指向：

  此階段是意義建構的“主戰場”。通過“畫圖”這一不可逾越的直觀橋梁，將抽象的數量關系可視化（幾何直觀）。通過對兩種算法（除法與乘法）的辯證分析，引導學生穿透表象，發現分數本身即是一個“運算指令”（包含“除”與“乘”），從而自然、深刻地理解算法背后的算理（推理意識）。從特殊（1/4）到一般（幾分之幾）的歸納，以及與整數乘法的對比，幫助學生建立起統整的乘法認知結構（模型意識、運算能力）。整個探究過程強調學生的主動建構和社會性互動，是核心素養發展的真實載體。

  （三）第三階段：遷移內化，拓域提能——分層練習與應用拓展（預計時間：15分鐘）

  練習設計遵循“基礎鞏固-變式深化-綜合應用-開放拓展”的邏輯，形成能力進階鏈。

  1.基礎鞏固層（全體必做）：

   (1)看圖列式計算。提供兩幅圖：一幅是長方形表示60公頃，3/5塗色；另一幅是線段圖表示一段長75米的繩子，截去2/3。要求根據圖意列出乘法算式並計算。

   (2)直接列式不計算。口答：“一個班有40人，男生占5/8，男生有多少人？”“一根鐵絲長12米，用去了1/4米，還剩多少米？”（此題設計意在辨析“分率”與“具體數量”，防範常見錯誤）。

  2.變式深化層（多數完成）：

   (1)數量關系逆用：“一片森林每天吸收的二氧化碳量是它自身‘碳匯’能力的7/10，已知每天吸收量為21噸，這片森林的‘碳匯’能力是多少噸？”（引出：對應的量÷對應分率=單位“1”的量，為後續學習埋下伏筆）。

   (2)連續求一個數的幾分之幾：“一本書有120頁，小明第一天看了全書的1/6，第二天看了第一天的3/4。第二天看了多少頁？”（考察對單位“1”變化的理解）。

  3.綜合應用層（小組合作）：

   呈現“營養午餐”情境：一份標準的學生午餐能量約為2400千焦。其中，蛋白質提供的能量應占總能量的1/5左右，碳水化合物的能量約是蛋白質的2.5倍（此處2.5倍需轉化為分數5/2理解）。請計算這份午餐中蛋白質和碳水化合物應各提供多少千焦能量？（此題整合了分數乘法和倍數關系，貼近生活，涉及健康知識）。

  4.開放拓展層（學有余力選做）：

   “校園綠化帶設計”：學校有一塊長方形花圃，計劃用其中的2/3種植花卉。在花卉區域內，再規劃出1/4的面積種植月季。請你畫出示意圖，並思考：月季面積占整個花圃面積的幾分之幾？你能列出怎樣的乘法算式？（此題直指下一課時“分數乘分數”的幾何意義，激發預學興趣）。

  教師在學生練習期間，進行巡視指導，針對基礎層進行個別輔導，收集變式層和綜合層的典型解法或錯誤，為點評做準備。小組合作題鼓勵分工協作，並要求用圖文結合的方式呈現解決方案。

  （四）第四階段：高階反思，結構化認知——總結回顧與課後延伸（預計用時：5分鐘）

  教師活動：

  1.引導學生進行全景式回顧：“同學們，回顧今天這節課的探索之旅，我們從‘碳吸收’的問題出發，經歷了怎樣的學習過程？（發現問題-畫圖探究-爭辯明理-總結規律-應用解決）你最大的收獲是什麼？還有哪些困惑？”

  2.鼓勵學生從知識、方法、思想等多維度總結。預設學生可能總結出：知識上，學會了“求一個數的幾分之幾用乘法”；方法上，學會了用畫圖來幫助理解復雜問題；思想上，體會到數學與生活的緊密聯系，以及乘法的意義比原來想的更豐富。

  3.教師進行結構化升華：“今天，我們為分數乘法這座大廈添上了一塊重要的基石——‘求一個數的幾分之幾’的模型。它與我們之前學的整數乘法（求幾個幾、求幾倍）一脈相承，都是‘部分與整體’關系的體現。它不僅是解決分數問題的鑰匙，也為我們理解百分數、比等後續知識打下了基礎。”

  4.布置具有選擇性、實踐性的課後任務：

   必做任務（鞏固類）：完成教材對應練習題，並選一題用圖文並茂的方式記錄解題思路。

   選做任務（實踐類）：

    A.調查家裏一個月用電量，計算如果節約1/10，可以節省多少度電？並估算減排多少二氧化碳。

    B.閱讀一份食品包裝袋上的“營養成分表”，計算其中某項營養素（如蛋白質）的含量是否達到每日建議攝入量的某個分數。

    C.（創作類）自編一道關於“求一個數的幾分之幾”的應用題，要求情境真實有趣，並附上解答和圖解。

  學生活動：

  1.積極參與課堂總結，分享自己的收獲、感悟或疑問。

  2.認真記錄課後任務，根據自身興趣和能力選擇完成。

  設計意圖與素養指向：

  通過系統的回顧與反思，幫助學生將零散的知識點串聯成結構化的認知網絡，實現學習方法的元認知提升（學會學習）。教師的結構化升華，將本課內容置於更宏大的數學知識體系中，賦予其承前啟後的地位，促進學生形成系統觀。分層、開放、實踐性的課後任務，尊重了學生差異，將數學學習從課堂延伸到生活，強化了應用意識和實踐能力，真正體現了“學以致用”的教育宗旨。

  八、板書設計（結構化、過程性）

  板書分為三個區域，隨教學進程動態生成：

  左側：問題與猜想區

   問題：一棵樹一天吸收多少千克CO₂？（求28千克的1/4是多少？）

   猜想：除法？乘法？

  中部：探究與建構區（核心區域）

   圖示區：（隨學生匯報繪制）

    線段圖：[一條線段標28kg，等分4份，取1份標？kg]

    或矩形圖：[一個長方形標28kg，均分4格，塗1格標？kg]

   算式與聯系：

    28÷4=7（kg）→對應“平均分4份”

    28×1/4=7（kg）→對應“取這樣的1份”

   發現：1/4意味著“÷4且×1”→所以用乘法一步完成。

   推廣：求28kg的3/4？28×3/4=21（kg）

   核心結論：（用色框凸顯）

    求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。

    數量關系：單位“1”的量×分率=對應的量

  右側：對比與反思區

   整數乘法：28×4→求4個28（倍數>1）→結果變大

   分數乘法：28×1/4→求28的1/4（分數<1）→結果變小

   本質統一：都是求一個數的幾倍或幾分之幾。

  九、作業設計詳案（分層、可測）

  （一）基礎過關（全體完成，鞏固雙基）

   1.計算下列各題。

    15的2/5是多少？36米的5/6是多少米？120元的3/4是多少元？

   2.根據算式塗一塗，填一填。

    （提供一個分為10格的長方形，算式為：×3/5，要求塗色表示結果並計算總量為40時的對應量）。

   3.解決問題。

    五年級有學生200人，參加學校“编程社团”的占全校人数的3/10，编程社团有多少人？

  （二）能力提升（多數完成，深化理解）

   4.看圖列式計算。

    （一幅較復雜的復合圖，如一個大長方形表示總面積，先分出它的2/3表示花園，再在花園部分中分出1/4表示水池，求水池面積占總面積的幾分之幾？）

   5.選擇正確答案。（涉及“分率”與“具體量”的辨析選擇題）

   6.小華有48枚郵票，小明的郵票數是小華的5/6，小林的郵票數是小明的3/4。小林有多少枚郵票？

  （三）實踐探究（小組或選做，鏈接生活