高职物理 基础模块 课件 第五章 近代物理基础

近代物理基础第五章目录5.1狭义相对论简介5.2量子力学简介5.1狭义相对论简介第五章近代物理基础

课标要求——狭义相对论简介通过对伽利略变换和经典牛顿时空观的回顾，了解狭义相对论基本原理和洛伦兹变换，认识狭义相对论的时空观。理解相对论的质量与速度的关系，了解相对论的质量与能量关系及其应用。光的波动理论争议——黑体辐射从经典物理学出发推导出的维恩定律在低频区域与实验数据不相符，而在高频区域，从经典物理学的能量均分定理推导出瑞利—金斯定律又与实验数据不相符——在辐射频率趋向无穷大时，能量也会变得无穷大，这种结果被称作为“紫外灾变”。1900年《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》光速不随运动参考系而变——迈克尔孙莫雷实验迈克尔孙—莫雷实验是利用光学相干性原理精确地寻找以太存在的实验，这个实验的最终结果是零，即没有找到以太存在的证据，说明要么以太并不存在，要么伽利略变换并不成立，要么两者兼而有之。1900年《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》假想实验一小球以速率水平向右运动，在与竖直墙壁发生弹性碰撞，碰撞的接触时间为，在时刻小球开始以速率水平向左运动。在观察小球的运动时，人眼实际看到的是来自小球表面的反射光，也就是说，小球可以看作反射光的光源。静止不动的光源发出的光信号的传播速度是。在人眼看来，碰撞前，反射光的传播速度是，碰撞后，光的传播速度是。所以，人眼观测到的碰撞开始的时刻是人眼观测到的碰撞结束的时刻是由此可得，人眼观测到的碰撞时间间隔为可见，只要人眼到墙壁的距离d足够大，就会出现的情况，也就是说，人眼看到小球的反弹发生在与墙壁碰撞之前，这显然是与事实不符的荒谬结论！5.1.1伽利略变换与电磁学规律的不相容牛顿时空观伽利略变换及其局限性牛顿时空观——空间是永恒不变的，绝对静止的。时间的变化也和物体的运动无关，时间是均匀的流逝的，永恒的和绝对的。力学相对性原理——不同的惯性参考系中的观测者得到的物理规律是一样的。牛顿时空观伽利略变换及其局限性伽利略变换关系——表示两个不同惯性系中运动物体：两个惯性系S（）和（），相对S做匀速直线运动，设两坐标系的坐标轴互相平行，且在时重合，并设相对于S沿x轴方向以速度运动。假定在某一时刻（）对运动质点P的物体进行观测，S系的观测者观测该物体的时空坐标为，的观测者观测该物体的时空坐标为。牛顿时空观伽利略变换及其局限性由牛顿力学的知识可知，这两个惯性参考系中时间和位置坐标满足如下关系：(5.1)上式就是伽利略坐标变换。牛顿时空观伽利略变换及其局限性牛顿力学中，时间测量和坐标系无关，将伽利略坐标变换公式两边对时间求导数，得到伽利略速度变换公式。把式（5.2）对时间求导数，得伽利略加速度变换公式：(5.2)(5.3)牛顿时空观伽利略变换及其局限性在不同两个惯性系S和中，物体运动的加速度是相同的，也就是说加速度是个不变量。由于牛顿力学认为物体（质点）的质量是与物体运动状态无关的常量，因此，从伽利略加速度变换公式可知，在两个相互做匀速直线运动的惯性系S和中，牛顿运动定律的形式是相同的，即由此可以推断，对所有的惯性系，牛顿运动定律具有相同的形式。这就是牛顿力学的相对性原理。这一原理只在宏观、低速的范围内才与实验结果一致。(5.4)电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性英国物理学家麦克斯韦系统地总结了各种电磁现象的规律，建立了统一的电磁理论—麦克斯韦方程组。他预言光是一种电磁波，其在真空中的传播速度为。光的传播是否需要介质？光的介质——以太真的存在吗？电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性迈克尔逊——莫雷实验电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性简化模型——渡河问题河水以速度相对于河岸流动，河宽为l。现在一个人从图中A点出发，以速度u（相对于河水）游到下游的C点（到A的距离为l），再折返以同样的相对速度u游回A点。游泳者往返所用的时间为(5.5)电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性虽然游泳者横渡河流和向下游游动的距离一样，但两种情况所用的时间不同，其时间差为再让另外一个人以同样的相对速度u从A点出发游向对岸的B点，到达后再以同一相对速度游回出发点A点。游泳者垂直横渡河的速度为。游泳者往返所需要的时间为(5.6)(5.7)电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性说明光走两条路径的光程差为河水相对于河岸的流动游泳者向河下游的运动游泳者垂直横渡河流的运动

u

由于，光线经迈克尔孙干涉仪两臂往返的时间差为以太相对于地球的漂移光线到M1的运动光线到M2的运动

c(5.8)电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性若光波的波长为，根据光学理论中的“干涉原理”，光程差每相差一个波长，干涉条纹将移动一条。因此，由上式将引起干涉条纹移动的数目为把迈克尔孙干涉仪在水平方向转，让MsM2沿以太漂移运动方向，

MsM1垂直于以太漂移运动方向，这时光线经过MsM2的时间比经过MsM1的长。转动前后光程差的改变为(5.9)(5.10)电磁（光）运动规律与伽利略变换的不协调性理论计算出应该能够观察到条纹移动条，但在实验中却始终没有观察到条纹的移动。根据麦克斯韦理论，真空中的光速是由真空介电常量和磁导率决定的一个恒定常数，与参考系无关，也就是说光速在任何惯性参考系中应该是不变的值，现有的实验支持了这一理论结果。5.1.2狭义相对论简介狭义相对论的基本假设“以太”是不存在的，人们开始重新认识新的相对论时空观。牛顿力学——伽利略变换电磁学及光学——伽利略变换满足与实验不符？狭义相对论的基本假设1905年，爱因斯坦发表了富有创造性的著名论文《论动体的电动力学》。他在肯定相对性原理的重要地位的基础上，摒弃了以太假说和绝对参考系假设，指出了与伽利略变换相联系的旧时空观的局限性，提出两个重要的假设，最终建立了新的时空观，在此基础上，建立了相对论力学和相对论电动力学。狭义相对论的基本假设爱因斯坦提出的两个重要假设：（1）相对性原理。在所有的惯性参考系中物理规律都具有相同的表达形式，即所有的惯性系都是等效、平权的。——绝对运动和绝对静止的概念从整个物理学中排除掉。（2）光速不变原理。所有的惯性系中，真空中的光速，数值大小相同（都是c），与光源或者观察者是否运动无关。狭义相对论的基本假设设有两个惯性坐标系S和，它们的坐标轴互相平行，其中系沿x轴以速度相对于S系运动。以两惯性系的原点相重合的瞬时作为两者计时的起点。若有一个事件发生在P点，在惯性系S测量该事件的时空坐标是；从惯性系测量该事件的时空坐标是。狭义相对论的基本假设狭义相对论变换推理要遵循几个原则：（1）变换为线性关系；（2）惯性系的对称性；（3）在低速近似下应回归伽利略变换，和经典的情况一致。请思考，并讨论为什么要遵循这几个原则。需要注意的是，在伽利略变换中，两事件的时间间隔和惯性系的选取无关，这是一条直接来自日常生活经验的定则，在狭义相对论中，未必如此。狭义相对论时空的洛伦兹变换可推导出两个惯性系S和中的时空坐标变换式为其中、。洛伦兹变换式(5.11)如何由系中时空坐标推得S系中时空坐标呢？我们只要考虑相对运动的对称关系，将式（5.11）中的改为，不带撇的量改为带撇量，即可得到式（5.11）的逆变换(5.12)狭义相对论时空的洛伦兹变换，，且都与两个惯性系的相对运动速度有关，这说明时间坐标和空间坐标不再像经典时空观那样是彼此孤立的，而是通过某种方式紧密地联系在一起——时空不可分。当时（低速），，，此时，洛伦兹变换还原为伽利略变换。这说明伽利略变换是洛伦兹变换的低速近似情况，洛伦兹变换更具有普遍性。狭义相对论时空的洛伦兹变换我们把称作经典极限条件，或者称为非相对论条件，所以，牛顿力学的规律是高速运动规律的一种极限情况。假定在接近光速时，或者超过光速时，或为虚数，因为参考系速度实质是物体速度，这表明，物体速度不能超光速，或光速是自然界速度上限。描述了高速物体运动的真实规律，在不同的惯性参考系中对同一物体进行长度测量，结果是不一样的。两事件的时间间隔与惯性系的选取有关，在相对论中物体的动量和能量与速度的关系也与牛顿力学中的结论有差异。狭义相对论时空的洛伦兹变换狭义相对论的时空观（1）同时性的相对性日常生活中，时间感觉是绝对的。但我们想象一个理想实验：狭义相对论的时空观假想实验：在车厢正中间有一个光信号源P，同时向左右发出一个光信号，在车厢的两端分别有反射镜A、B接受光信号。事件1：反射镜A接受到光信号事件2：反射镜B接受到光信号试利用洛伦兹变换分析，两事件在车厢参考系和地面参考系是否都是同时发生的。两个事件在一个惯性系是同时的，一般来说在另外的一个惯性系是不同时的。这就是同时性的相对性。它是相对性原理和光速不变性所导出的一个必然结论。狭义相对论的时空观（2）长度的收缩日常生活中，长度或空间的测量是不依赖于惯性系的选取。惯性坐标系S和中，假定一个细棒静止于系中并沿着轴放置。系中的观测者对细棒的长度进行测量，两个端点的坐标为和，则细棒长为。我们把观测者和细棒相对静止时测量的细棒的长度称为其固有长度。狭义相对论的时空观而对S系的观测者来说，细棒则是运动的，测量其长度时必须同时记录其两端的坐标和，则在S系中测量到细棒的长度为。由洛伦兹变换式，可得同时测量，，上两式相减得即(5.13)狭义相对论的时空观由

知，在S系中测量的细棒长度缩短了，这种沿运动方向发生的长度收缩称为洛伦兹收缩，l称为运动长度。物体相对观测者静止时，其测量的长度是最长的。宏观物体所能到达的速度一般不超过为1万米每秒。设，则收缩量和原长度的比值约为。而高铁的运行速度按照每小时360公里计算，得，这些都是非常小的量，故在宏观世界，长度收缩效应不显著，一般可以忽略。例5.1设想一个光子火箭以

的速率相对地球做直线运动，若以火箭为参考系，测得火箭的长度20m。若以地球为参考系，测得的火箭长度是多少？解题意，由长度收缩公式得以地球为参考系在运动方向上火箭长度收缩了。狭义相对论的时空观（3）时间的延缓在狭义相对论中，如同长度的测量不是绝对的那样，时间间隔的测量也不是绝对的。设惯性系

中有一个静止的钟表，在同一地点

先后发生两个事件，此钟记录发生的时刻分别为

和

，在

系中两个事件的时间间隔为

，称为固有时

。而在相对于

系以速度

沿x轴运动的S系中，两事件发生的时刻分别为

和

，则在该系中两事件的时间间隔为

，

称为运动时。z狭义相对论的时空观由于，则。于是有即由洛伦兹变换可得(5.14)z狭义相对论的时空观也就是说，在系所记录的某一地点（同地）发生的两个事件的时间间隔小于在S系中记录的这两个事件发生的时间间隔。话句话说，两事件在某惯性系中同一地发生，在其他惯性系中观测，两事件的时间间隔变大了，也就是说，系中的钟变慢了，这称为时间延缓效应。z狭义相对论的时空观狭义相对论指出时间、空间与运动三者之间是紧密联系的，这深刻反映了时空的性质。正如著名物理学家霍金所言，“1915年之前，空间和时间被认为是事件在其中发生的固定舞台，而它们不受在其中发生的事件的影响。在此之后，空间和时间相互纠缠着成为舞台上的演员。”例5.2设想一个光子火箭以的速率相对地球作直线运动，若火箭上的宇航员的计时器记录了他观测某星云变化所花的时间为10min，则地球上的观测者测得此宇航员用于该记录的时间是多少？解宇航员在飞船同一地点做出了“记录”这件事，因此，由时间延缓公式得运动的钟变慢了。狭义相对论理论应用（1）相对论的时间延缓效应的实验证明证实相对论的正确性高能粒子——μ子的寿命实验高精度的原子钟北斗卫星导航狭义相对论理论应用（1）质能关系和核能利用质能关系是相对论的核心内容之一，它表明了物体的质量和能量之间存在着本质的联系，并为人类打开了一条通向无穷无尽能量利用的通道。具体体现为质能关系能量和质量是同一事物的两个方面，凡是有质量的东西，一定具有能量；凡是有能量的东西，也一定有质量。或者能量和动量关系其中是物体的运动质量，代表静止质量。(5.15)(5.16)狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用对静止的质量为的物体具有能量静止的物体也具有能量，请按质能公式，估算1克水包含的能量全部以热形式释放，又能烧开多少水？并与同学讨论这个能量相当于多少当量的炸药释放出来的能量？(5.16)狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用在核反应中，反应物和生成物由定义的相对论能量守恒，但它们由定义的静止能量不守恒，反应前后静止能量的差异为这就是核能来源的依据。通过原子核的裂变和聚变，核反应前后原子核的静止质量会有明显变化，导致大量的能量释放出来，所释放的能量可以用（5.17）式计算。(5.17)狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用——重核裂变重的原子核分裂成两个较轻的原子核称为裂变。典型的核反应是铀（）在中子轰击下裂变成氙（）和锶（），其核反应式是在这个反应过程中，生成物的总静质量比反应物的总静质量减少。因此，1个在裂变时释放的能量为同样可以以此计算出1g的铀全部裂变所释放的能量为。(5.17)1kw·h=3,600,000J狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用——重核裂变由于在中子轰击时，生成物有多的中子，如果它们被其他的铀核俘获，就会发生一连串的反应，称为链式反应。查阅资料，寻找原子弹的爆炸原理和核电站的工作原理。例5.3核能发电是利用原子核的裂变和聚变反应前后原子核的静止质量变化，导致大量的能量释放，所释放出的热能进行发电，其作为高效、清洁、稳定的能源，在应对气候变化、保障能源安全等方面发挥重要作用。中国核电已实现了走向世界的跨越式发展，成为了与高铁齐名的“国家名片”。（1）目前，全球范围内的核电站普遍采用核裂变的原理来发电，若核反应式为，在这个反应前后总静质量减少（为中子质量），则一个铀核发生裂变反应所产生的能量为多少？例5.3（2）大亚湾核电站是中国第一座大型商用核电站，不仅为中国核电事业发展打下了良好基础，也为粤港两地的经济和社会发展做出了巨大贡献，每年为香港供电超过100亿千瓦时（即），1kg铀235含有个原子核，则需要消耗多少质量的铀？（3）完全燃烧1kg标准煤产生的能量为，则上述能量情况下需要燃烧多少质量的煤？解（1）由质能关系式，1个在裂变时总静质量减少释放的能量（2）由（1）可得1个铀核提供的能量为，则需要的总能量除以1个铀核提供的能量可得出需要的总铀核数量，即已知1kg铀含有的原子核数，所以需要消耗总的铀的质量为（3）已知需要的总能量和完全燃烧1kg标准煤产生的能量，可得需要消耗的煤总量，即吨标准煤。狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用——轻核聚变轻的原子核结合在一起形成较大的原子核，同时释放出大量的能量，这个过程叫核聚变。典型的核聚变是两个氘核聚变成氦核，其反应式为就单位质量而言，轻核聚变可以释放出更多能量。高温高压才能发生核反应。可控核聚变具有很高的难度，暂时还没有能实现长时间可控的核聚变。狭义相对论理论应用（2）质能关系和核能利用——轻核聚变中国科学院等离子体物理研究所建造的“人造太阳”—全超导托卡马克EAST装置国际热核聚变实验堆（ITER）近代物理基础第五章目录5.1狭义相对论简介5.2量子力学简介5.2量子力学简介第五章近代物理基础

课标要求——量子力学简介了解黑体辐射及普朗克能量子假说、光电效应及应用和光的波粒二象性，认识光的物质性、光具有能量，体会假说法在认识光的本质中的重要作用。了解德布罗意波、实物粒子的波粒二象性和不确定关系。了解激光的原理和应用。5.2.1黑体辐射和普朗克能量子假设1900年《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》光的波动理论争议——黑体辐射从经典物理学出发推导出的维恩定律在低频区域与实验数据不相符。在高频区域，从经典物理学的能量均分定理推导出瑞利-金斯定律又与实验数据不相符——在辐射频率趋向无穷大时，能量也会变得无穷大。任何物体在任何温度下都要发射电磁波（分子的热运动），这种辐射与温度有关，故称为热辐射。辐射物的温度越高，发射的电磁能量越高，其频率也越高。物体吸收能力越强，辐射能力也越强。假设一种物体——只吸收、不反射（黑体）。构建一个空腔，在空腔壁上开一个小孔，小孔口的表面就可以看成黑体（射入小孔的电磁辐射，被腔壁多次反射，每反射一次，腔壁就要吸收一部分电磁辐射能，以至于射入小孔的电磁辐射很难从小孔再逃逸出来）。同时，当空腔处于某一温度时，也有电磁波从小孔发射出来，这可以认为是黑体辐射。如何构建一个能表达黑体向外辐射能量能力大小的物理量？这个物理量称单色辐出度，用代表在单位时间内从温度为T的黑体的单位面积上辐射出的波长在附近单位波长区间的电磁能量。能否直接测量？有无理论能推导出它的规律？如果现有理论都不符合实验，怎么办？1896年，维恩从热力学理论出发推理出一个公式用来解释实验结果，这个公式后来被称作维恩公式(5.18)式中和是两个可以用实验确定的经验参数。维恩公式在短波波段与实验结果相符，在长波波段与实验有很大的差别。1900年，瑞利根据经典电动力学和统计物理理论，给出了一个黑体辐射公式，后经金斯修改，得到瑞利-金斯公式(5.19)式中c为光速，k为玻耳兹曼常量。此公式在长波段和实验曲线符合的很好，但在短波段，特别是在紫外区与实验明显不符。普朗克利用数学上的内插法，在黑体辐射的维恩公式和瑞利-金斯公式之间寻求给出一个统一的公式。(5.20)式中c为光速，k为玻耳兹曼常量，h称为普朗克常数，其值取这是普朗克第一次引入“量子”的概念。普朗克认为，黑体空腔吸收和发射电磁辐射能量时，不是经典物理所认为的那样可以连续的吸收和发射能量，而是以能量子（代表电磁波的频率）为基本单元来吸收和发射能量。空腔吸收或发射的能量只能是的整数倍，(5.21)整数n称为量子数。第一个拿来借鉴和推广的是在解释光电效应现象时，爱因斯坦提出光量子假说，他将光看做一份份的粒子——光子量子，每一个光子带有一份份的能量，由金属表面的电子吸收光子跳出金属表面的机制，建立了光电效应的爱因斯坦方程，从而既成功地解决了光电效应留给经典物理的问题，又验证了普朗克的能量子假说的正确性，更揭示了光的本性。爱因斯坦也因此获得1932年诺贝尔物理奖。1911年10月29日在布鲁塞尔召开的第一届索尔维会议上，会议的主题是“辐射与量子”，普朗克、洛伦兹、爱因斯坦等物理学界殿堂级人物悉数赴会。光的波粒二象性、物质波光既有波动性，又有粒子性，本质具有波粒二象性。光子的质量、动量和能量关系：光子在真空中的传播速度为c，按照相对论能量公式光子的静止质量为0，所以，则光子的能量和动量的关系是在不同的实验中，光可能呈现波动性（），又可能呈现粒子性（）。5.2.2量子力学简介光的波粒二象性、物质波其动量可以写成对于频率为的光子，其能量和动量分别为式（5.22）把描述粒子性的物理量（）和描述波动性的物理量（）通过普朗克常数h联系到了一起。(5.22)光的波粒二象性、物质波光子的波粒二象性已经被广泛接受，其他的粒子是否也具有波动性呢？法国物理学家德布罗意在1924年提出一个假说，指出波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子（包括电子和质子、中子等）都具有波动性。实物粒子以动量p运动时所具有的波长为(5.23)这就是德布罗意公式，对应的波称为德布罗意波，或者称物质波。实物粒子波动性的波长和粒子性的动量之间的关系，体现微观粒子波粒二象性的本质。光的波粒二象性、物质波若一个静止质量为

的粒子，在速率时，粒子的动量用经典形式表示，则粒子的德布罗意波长为日常生活中为什么很少发现实物粒子波动的特征呢？(5.24)

h非常小（数量级），实物粒子质量很大（克为单位），速度也是有限（不会超过数量级），则实物粒子的波长就非常短，粒子的波动性很难被测量到。例5.4用计算数据认知下列物体及其运动时的德布罗意波长：（a）地球环绕太阳运动，地球质量，绕太阳运动速度；（b）一块质量为100g的石头，飞行速度为；（c）一个动能为100eV的电子。解（a）将题设数据代入得，地球波的波长（b）把石头的质量和速度数据代入，得到石头的波长（c）依题意电子的动能比较小，电子的运动可由计算，其速度为则电子的德布罗意波长为地球和石子的波长数值都非常小，没有测量仪器能测量；电子的波长数值和X射线的波长相当，是可以用天然光栅——晶体测量出其波长的。光的波粒二象性、物质波英国物理学家汤姆孙的电子束照射穿过薄金属片，观察到预测的衍射图样；戴维森和革末的低速电子入射到镍晶体上，取得了电子的衍射图样。戴维森和汤姆孙共同获得了1937年诺贝尔物理学奖。光的波粒二象性、物质波1961年，约恩孙才制出长为、宽为，缝间距为的多缝。电子束经50KV的电压加速后，分别通过单缝、双缝等，均可得到衍射图样。证明电子波动性的最直观的实验是电子通过狭缝的衍射实验。光的波粒二象性、物质波1929年施特恩团队完成的氢、氦粒子束衍射实验，很好地演示出原子和分子的波动性质。1999年维也纳大学研究团队观察到C60

富勒烯的衍射。2003年，一种近场塔尔博特-劳厄干涉仪演示出C60F48的干涉条纹。波函数经典粒子可以通过位矢、速度、加速度、动量、能量等物理量，完整描述物体的运动学和动力学规律。经典波动可以用波函数和波动方程来描写波动规律。具有“波粒二象性”的微观粒子如何描述呢？薛定谔认为，对于具有波粒二象性的微观粒子（如电子、中子、质子等），可以像声波或光波那样用波函数来描述它们的波动性，且微观粒子的波函数中的频率和能量的关系、波长和动量的关系应遵从德布罗意所提出的物质波关系式:波函数玻恩于1926年提出波函数的统计意义解释。在开始时，几个电子通过双缝，到达屏上的位置是随机的，随着电子数目的增多，电子到达的位置逐渐显示出规律来，最后呈现出以概率分布的明晰的衍射图像。微观粒子的波动性反映出的是概率分布性。所以，德布罗意波称概率波，记波函数为，为了使后续的概率波满足实际的物理条件，比如几率及几率流密度守恒等，波函数取复数形式。波函数粒子在某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率由下式所表述式中是的复共轭（这里是指复指数取负号，和相乘指数部分刚好相消，等于）。为粒子出现在某点附近单位体积元的概率，称为概率密度。若在空间某处的值越大，则粒子出现在该处的概率也越大；

的值越小，则粒子出现在该处的概率就越小。波函数由于微观粒子（如原子核外的一个电子）是局限在空间的某一个范围内，粒子要么出现在空间的这个区域，要么出现在其他区域，因此任何时刻在整个空间内发现粒子的概率为1，即(5.25)上式叫做归一化条件，归一化后的波函数叫归一化波函数。波函数什么样的波函数能符合粒子实际客观要求呢？(5.26)若微观粒子不受外力场的作用，或者认为是外场的作用可以忽略，其能量和动量是不变的，则粒子为自由粒子。波函数可取形式。对于德布罗意波波长为，频率为的微观粒子，因动量和能量为式（5.26）变为(5.27)薛定谔方程若粒子不是自由状态，则波函数需要通过波动方程求解才能获得。那么，波动方程是什么形式呢？1925年薛定谔在仔细研究德布罗意博士论文的基础上，建立了微观粒子的波动方程—薛定谔方程。若质量为m的一维粒子在势场V中运动，其波函数满足的薛定谔方程为(5.28)其中，称约化普朗克常量。薛定谔方程当式（5.28）中的时，方程即为一维自由粒子的薛定谔方程，其波函数形式即为式（5.27）。在实际的体系中，能够严格求解薛定谔的情况并不多，目前也就仅氢原子问题能够严格求解。薛定谔薛定谔方程一些情况下，微观粒子的势能V仅是坐标的函数，而与时间无关。在这种情况下薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。也就是把式所表示的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即通过运算可以得到坐标函数满足的方程式(5.30)(5.29)式（5.30）为在势场中的一维运动粒子的定态薛定谔方程。一维无限深势阱一维无限深势阱是求解量子力学的一个最简单的模型。如图所示，假设粒子所处势场在空间中某一区域为0（粒子不受力），在其余区域为无穷大时（粒子受力无穷大），粒子的运动会被束缚在该区域内无法逃逸。实际的模型来自金属薄板中的自由电子边界束缚状态。(5.31)一维无限深势阱因粒子无法运动到势阱以外，势阱以外的波函数。在势阱内，因，定态薛定谔方程式（5.30）为或者(5.32)(5.33)（假设，没有意义）式（5.33）是一个最简单的二阶微分方程，其解可写成(5.34)一维无限深势阱考虑到波函数的物理意义，则有的边界条件：应该连续。即有