2026年6数第2单元试题及答案

2026年6数第2单元试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若复数z满足z·(1+i)=2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知函数f(x)=ln(x²+1)，则f′(0)的值为A.0B.1C.2D.不存在3.设向量a=(2,1,-1)，b=(1,k,3)，若a⊥b，则k=A.-1B.0C.1D.24.若等差数列{an}满足a₃+a₇=10，则a₂+a₈=A.8B.9C.10D.125.设随机变量X~N(0,σ²)，若P(|X|≤2)=0.9544，则σ≈A.0.5B.1C.1.5D.26.已知函数g(x)=x³-3x²+4，则g(x)在区间[0,3]上的最小值为A.0B.2C.4D.-47.若复数w满足w²+4w+13=0，则|w+2|=A.3B.√13C.√5D.28.设集合A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2ˣ>8}，则A∩B=A.(3,+∞)B.[2,3)C.(2,3]D.[2,+∞)9.已知函数h(x)=eˣ+ae⁻˙为偶函数，则a=A.-1B.0C.1D.e10.若双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√5，则其渐近线斜率的绝对值为A.1/2B.1C.2D.√5二、填空题（每题2分，共20分）11.若复数z=3-4i，则|z|+z·z̄=________。12.已知函数f(x)=sin2x，则f⁽⁴⁾(0)=________。13.若向量u=(1,2,3)，v=(4,5,6)，则u×v的模长为________。14.设等比数列{bn}满足b₁=2，b₃=18，则公比q=________。15.若随机变量Y服从参数λ=3的泊松分布，则P(Y=2)=________。（保留三位小数）16.曲线y=lnx在点(e,1)处的切线方程为________。17.若函数p(x)=x⁴-4x³+6x²-4x+1，则p(x)的最小值为________。18.已知复数z满足|z-2i|=|z+1|，则z在复平面内的轨迹为________。19.若椭圆x²/9+y²/4=1的弦AB过右焦点且垂直于长轴，则AB长为________。20.设函数q(x)=∫₀ˣ(t²-2t+1)dt，则q(x)的极小值点为x=________。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.若复数z满足z²∈R，则z必为实数。________22.函数f(x)=|x|在x=0处可导。________23.若向量a,b,c满足a+b+c=0，则a×b=b×c。________24.等差数列{an}中，若a₅=0，则S₉=0。________25.对于标准正态分布，P(Z>1.96)=0.025。________26.函数g(x)=x³在R上既单调递增又凸。________27.双曲线的渐近线与其共轭双曲线的渐近线相同。________28.若随机变量X,Y独立，则D(X-Y)=D(X)+D(Y)。________29.若函数h(x)在[a,b]上连续，则h(x)在[a,b]上必有原函数。________30.椭圆的光学性质为：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点。________四、简答题（每题5分，共20分）31.求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的极值点与极值，并指出单调区间。32.已知复数z满足|z-3+4i|=5，求|z|的最大值与最小值。33.设随机变量X服从参数n=10,p=0.3的二项分布，求E(X)与D(X)。34.已知双曲线x²/16-y²/9=1，求其焦点坐标、离心率及渐近线方程。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论函数f(x)=e˙-ax(a>0)的零点个数随a变化的情况，并给出结论。36.利用向量法证明：空间四边形ABCD中，若AB·CD+AD·BC=AC·BD，则四边形ABCD为平面四边形。37.设数列{an}满足a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+3(n≥1)，求通项公式并讨论其单调性与有界性。38.某工厂产品重量X~N(500,10²)，现采用新设备后抽取n=25的样本，得x̄=497，在显著性水平α=0.05下检验均值是否显著降低。（给出检验步骤与结论）答案与解析一、1.B2.A3.A4.C5.B6.A7.A8.C9.C10.C二、11.3112.013.3√614.315.0.22416.y=1/e·x17.018.直线2x+4y+3=019.8/320.1三、21×22×23√24√25√26×27√28√29√30√四、31.令f′(x)=3x²-12x+9=0得x=1,3。f″(1)=-6<0，极大值f(1)=5；f″(3)=6>0，极小值f(3)=1。单调增区间(-∞,1)∪(3,+∞)，减区间(1,3)。32.几何意义：z在以(3,-4)为圆心、半径5的圆上。|z|表示到原点距离，最大|OC|+R=5+5=10，最小|OC|-R=5-5=0。33.E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=2.1。34.a²=16,b²=9,c=5，焦点(±5,0)，e=c/a=5/4，渐近线y=±3/4x。五、35.令g(x)=e˙-ax，g′(x)=e˙-a。若0<a≤1，g′(x)>0，g(x)单调增，g(-∞)=-∞，g(+∞)=+∞，唯一零点；若a>1，g(x)在x=lna取极小值a(1-lna)。当a=e，极小值0，唯一零点；当a>e，极小值<0，两零点；当1<a<e，极小值>0，无零点。36.设空间任意点O，记向量OA=a,OB=b,OC=c,OD=d。已知条件化为(b-a)·(d-c)+(d-a)·(c-b)=(c-a)·(d-b)，展开得0=0，恒成立，故四点共面。37.特征方程x=2x+3得x=-3，令bₙ=aₙ+3，则bₙ₊₁=2bₙ，b₁=5，得bₙ=5·2ⁿ⁻¹，故aₙ=5·2