【 数学 】简单的轴对称图形课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第五章

生活中的轴对称

2简单的轴对称图形第1课时

等腰三角形

课堂引入探究与应用 课堂小结与检测课堂引入

请同学们观察下面几幅生活中的图片,你能从图中找出所熟悉的三角形吗?它的形状有什么特别之处呢?等腰三角形，有两条边相等

【探究1】

认识等腰三角形探究与应用【情境问题】等腰三角形(如图)是比较常见的图形.你有哪些办法可以得到一个等腰三角形?与同伴进行交流.

【探究1】

认识等腰三角形探究与应用【思考·交流】(1)等腰三角形是轴对称图形吗?如果是,沿它的对称轴折叠,你能发现哪些相等的线段和相等的角?

等腰三角形是轴对称图形，两腰相等，两底角相等，(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线?你是如何描述的?(3)你认为等腰三角形有哪些特征?与同伴进行交流.

【探究1】

认识等腰三角形探究与应用【概括新知】

等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.

【探究1】

认识等腰三角形探究与应用【尝试·思考】如图,△ABC是一个等腰三角形,直线l是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角,你能发现哪些相等的线段、相等的角,以及形状、大小完全相同的图形?设l与BC的交点为O,则相等的线段有：AB=AC,BO=CO,相等的角有：∠B=∠C,∠BAO=∠CAO,∠BOA=∠COA△ABO与△ACO形状大小完全相同O探究与应用【应用】例已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍,求它的各个内角的度数.解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°,则底角的度数为2x°。根据“三角形三个内角的和等于180°”,得x+2x+2x=180。解得x=36。2×36=72。所以，这个三角形的三个内角分别是36°,72°,72°。探究与应用变式

已知:△ABC是等腰三角形,其中一个角为80°,求另外两个角的度数.解：当等腰三角形的顶角是80°时，另两个底角的度数都为（180°-80°）÷2=100°÷2=50°。当等腰三角形的底角是80°时，另一个底角的度数是80°，则顶角的度数为180°-80°-80°=180°-160°=20°。所以这个等腰三角形的另外两个角是50°、50°或80°、20°。

【探究2】

等边三角形的特征探究与应用【思考·交流】(1)等边三角形有几条对称轴?(2)你能发现它的哪些特征?与同伴进行交流.三条

【探究2】

等边三角形的特征探究与应用【概括新知】1.等边三角形是轴对称图形.2.等边三角形的各边相等、各内角相等,各边都具有“三线合一”的性质.

【探究2】

等边三角形的特征探究与应用例如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,求∠EDC的度数.

【探究2】

等边三角形的特征探究与应用变式已知:如图,△ABC是等边三角形,D是BC延长线上的点,BE,CE分别平分∠ABC和∠ACD,求∠BEC的度数.解：∵△ABC是等边三角形，且有BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，∴AC⊥BE，∴∠ECD=（180°-60°）÷2=120°÷2=60°，∴∠ACE=60°，又∵AC⊥BE，∴∠BEC=180°-90°-60°=30°．探究与应用【拓展提升】1.如图,P,Q是△ABC边上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的度数为

.

探究与应用【拓展提升】2.已知等腰三角形的周长为16,其中一边长为5,求腰和底边的长.

达标测评课堂小结与检测1.等腰三角形的顶角是50°,则这个三角形的底角的大小是(

)A.50°

B.65°或50°

C.65°

D.80°2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,若∠CAD=20°,则∠B的度数为(

)A.60° B.65° C.70°D.75°3.如图所示,在等边三角形ABC中,O是△ABC角平分线的交点,则∠1+∠2的度数为(

)A.60° B.150° C.30° D.120°CCB达标测评课堂小结与检测4.(1)等腰三角形的周长为21cm.若已知一边长为5cm,求其他两边长;(2)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两个角的度数.

达标测评课堂小结与检测5.如图,AB=AC=AD,且AD∥BC,∠BAC=20°,求∠D的度数.解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABD+∠DBC=∠C，∵AB=AD，∴∠ABD=∠D，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠D，∴∠C=2∠D，∵∠BAC=20°，∴∠ABC=∠C=80°，∴∠D=40°．第五章

生活中的轴对称

2简单的轴对称图形第2课时

线段的垂直平分线课堂引入探究与应用 课堂小结与检测课堂引入

如图所示,某乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等?让我们带着问题进入本课时的学习！

【探究1】

线段的轴对称性探究与应用【情境问题】线段(如图)是轴对称图形吗?如果是,请描述它的对称轴的特点.【概括新知】

线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.

【探究2】

线段垂直平分线的性质探究与应用【尝试·思考】

如图,直线

l

是线段AB的垂直平分线，点C是l

上的任意一点。在线段AB上画出以直线I为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'。(1)你认为线段和之间有什么关系?说说你的理由。(2)特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置?此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?【概括新知】

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等CD=CD'

【探究2】

线段垂直平分线的性质探究与应用【应用】例如图,已知D是AB的垂直平分线与AC的交点,如果AC=2cm,BC=1.3cm,那么△BDC的周长是多少?解:因为点D在AB的垂直平分线上,所以DA=DB,所以△BDC的周长=CD+DB+BC=CD+DA+BC=AC+BC=2+1.3=3.3(cm).

【探究2】

线段垂直平分线的性质探究与应用变式如图,在△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,BE=6.求△BCE的周长.解:因为DE是BC的垂直平分线,BE=6,所以CE=BE=6,所以△BCE的周长=BE+CE+BC=6+6+10=22.

【探究3】

利用尺规作线段的垂直平分线探究与应用【思考·交流】如图,已知线段AB,如何作出它的垂直平分线?假设线段AB的垂直平分线已作出,请回答下列问题:(1)这条直线有什么特征?(2)如何确定这条直线上的两个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流.找中点，作垂直到这条线段AB的两个端点的距离相等.需要确定的点到线段两端点A、B的距离相等，并且这两个点是线段对称轴上的点,因而应当从线段两端进行“对称”的操作.

【探究3】

利用尺规作线段的垂直平分线探究与应用【应用】例如图,已知线段AB,请用尺规作线段AB的垂直平分线.

作法:1.分别以点A和点B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D(如图).2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.想一想：(1)为什么以大于AB的长为半径作弧呢?(2)你能说明为什么所作的直线就是已知线段的

垂直平分线吗?(1)只有大于AB的长为半径作弧,所做的弧才可以有交点;(2)利用等腰三角形的三线合一可知作的直线就是已知线段的垂直平分线.探究与应用变式

这是课前导入的问题:如图所示,某乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等?

解:连接AB.作线段AB的垂直平分线,交点即为点P,图略.根据线段垂直平分线的性质得出,点P到A,B的距离相等.

【探究3】

利用尺规作线段的垂直平分线探究与应用【操作·思考】如图,已知直线l和l上的一点P,如何用尺规作l的垂线,使它经过点P?能说明你的作法的道理吗?作法:①如图,以点P为圆心,以适当长为半径画弧,与直线l相交于点A,B;②分别以点A和点B为圆心,以适当长为半径在l上方画弧,两弧相交于点M,作直线MP.直线MP就是直线l的垂线.总结：作线段的垂直平分线的两方面的应用:①经过线上的点作直线的垂线;②确定线段的中点探究与应用【拓展提升】例已知:如图,直线AB与直线BC相交于点B,D是直线BC上一点.求作:点E,使直线DE∥AB,且点E到B,D两点的距离相等.解：如图所示：（1）以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，（2）作出BD中垂线；（3）两直线交点为E，点E即为所求．

达标测评课堂小结与检测1.如图,P为线段AB的垂直平分线上的一点,若PB=3cm,则PA的长为 (

)A.6cm

B.5cm

C.4cm

D.3cm

第1题

第2题

第3题

2.如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AC=16,BD=5,则AD的长为 (

)A.10 B.11 C.12 D.133.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,

则∠B的度数为(

)A.25° B.30° C.35° D.40°DBB达标测评课堂小结与检测4.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,到村庄M,N的距离相等?解：（1）连接MN；（2）作线段MN的垂直平分线l,交直线AB于C点，则C点即为所求．达标测评课堂小结与检测5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,连接AE,D为CE的中点,连接AD,此时∠CAD=18°,∠ACB=72°.试说明:BE=AC.证明：∵∠ACB=72°，∠CAD=18°，∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACB=180°-18°-72°=90°，∴AD⊥EC，∵点D为CE的中点，∴DE=DC，∴AD垂直平分EC，∴AE=AC，∵EF垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE=AC．第五章

生活中的轴对称2.简单的轴对称图形

第3课时

角平分线探究与应用 课堂小结与检测角(如图)是生活中常见的图形.角是轴对称图形吗?如果是,请指出它的对称轴.

【探究1】角的轴对称性探究与应用【概括新知】

角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.强调:角平分线是一条射线,而角的对称轴是角平分线所在的直线.

【探究2】角平分线的性质探究与应用【尝试·思考】如图,OP是∠AOB的平分线,点C是OP上的任意一点.在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'.(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由.(2)特别地,当CD⊥OA时(如图),CD'与OB有怎样的位置关系?为什么?此时,线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?CD=CD'CD=CD'【概括新知】

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

【探究2】角平分线的性质探究与应用【应用】例如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离.解:如图,过点D作DE⊥AB于点E.因为AD平∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,所以CD=DE,所以DE=BC-BD=3,即点D到AB的距离是3.E

【探究2】角平分线的性质探究与应用

H

【探究3】尺规作角的平分线探究与应用【思考·交流】如图,已知∠AOB,如何作出它的平分线?假设∠AOB的平分线已作出,请回答下列问题:(1)这条射线有什么特征?(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流.这条射线上的点到角两边的距离相等

【探究3】尺规作角的平分线探究与应用【应用】例如图,已知∠AOB.请用尺规作∠AOB的平分线.

想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?探究与应用【拓展提升】例如图,AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,试说明:△DEC≌△DFB.解:因为AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,所以DE=D