第二十章 勾股定理 提优测评卷（含答案）2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理提优测评卷用时:120分钟总分:120分得分:一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.(2025·广东惠州惠阳区期末)若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a-13A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形2.(2025·山东聊城东昌府区期末)如图,小亮在数轴上作Rt△OAB,使得∠OAB=90°,OA=2,AB=3,再在正半轴上取点C，使得OC=OB，则点C表示的数是().A.3.5 B.3.7 C.13 D.153.勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隔五”.观察下列勾股数：3，4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点如下:勾为奇数,弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是()(结果用含m的式子表示).A.m2-C.m2+14.(2025·北京期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,若点A的坐标为(1,3),则OA的长为().A.1 B.2 C.3 D.25.如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,P为CD上的一点,且∠DAP=10°,∠CBP=80°,PA=3,PB=4,则AB的长为().A.5 B.6 C.7 D.86.(2025·山东潍坊期中)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A在x轴上,顶点B在y轴上,∠C=90°,AC⊥x轴,点C的坐标为(3,6),作△ABC关于直线AB的对称图形,其中点C的对称点为M,且AM交y轴于点N，则点N的坐标为().A.(0,94) B.(0,32) C.(0,2)7.(2025·河南洛阳期中)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离，A'D为1.5m,则小巷的宽为().A.2.4m B.2m C.2.5m D.2.7m8.(2025·河南新乡长垣期末)如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是().A.5≤h≤7 B.4≤h≤6 C.3≤h≤5 D.2≤h≤49.(2025·北京平谷区二模)如图，直角三角形三边长分别为a，b，c，分别以直角三角形的三边为边(或直径)向外作①正方形，②等边三角形，③宽均为m的长方形，④半圆，其中面积关系满足S1+A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④10.(2025·湖北黄石期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下面结论:①∠B+∠C=90°;②∠B-∠C=∠A;③a²=c²-b²;④14=15+其中能判定△ABC是直角三角形的是().A.①③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.在平面直角坐标系中，点M(-3，4)到原点的距离是.12.(2025·宁夏中考)如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图.其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(24，-10).将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是cm.(结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计)13.已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为.14.如图(1)，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，此图案的示意图如图(2)，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为15.(2025·扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,根据上述规律,写出第⑤组勾股数为.16.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)，笔直铁路经过A，B两地.(1)A,B间的距离为km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C,D间的距离为km.17.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90∘,AB=2,P是边BC上任意一点，连接AP,将△ABP沿AP翻折,点B的对应点为B',当18.(2025·湖南中考)已知a,b,c是△ABC的三条边长,记t=ack(1)若三角形为等边三角形，则t=.(2)下列结论正确的是(写出所有正确的结论)①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形;②若k=1,a③若k=1,t≤53,a,b,c三、解答题(本大题共8小题，共66分)19.(6分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=15°,AB=2,求线段AC的长.20.(6分)(1)如图，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距200米，C，D为两个菜园(看作两个点)，AD⟂AB,BC⟂AB,垂足分别为A，B，AD=80米，BC=70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D(2)借助上面的思考过程，请直接写出当0<x<15时，代数式x2+9+21.(8分)一个30×40的长方形，在左上角剪去一个20×10的长方形，如图所示.试将剩余图形分成若干部分，拼成一个正方形.22.(8分)(2025·河南信阳光山期末)如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.23.(8分)(2025·江苏宿迁宿城区期末)折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法.[动手操作]如图为一张三角形纸片ABC，∠C=90°，现将纸片按如图(1)折叠，翻折后点A的对应点为A',折痕为MN(点M,N分别在边AB,AC上且M,N不与端点重合).(1)当△AMN是以∠A为顶角的等腰三角形时，翻折后点A'恰好落在BC边上，且MA'⟂BC,用无刻度的直尺和圆规在图(2)在(1)的条件下,若A'C=4,AC=8,求MC的长.24.(8分)(2025·四川成都锦江区嘉祥外国语学校期末)已知：如图，在△ABC中，AB=13,(1)证明:△ABC是直角三角形(2)过点C作CD⟂AB于点D，E为AB边上的一点，且CE=BE,过点E作EF⟂AB交①证明：∠DCF②求线段EF的长.25.(10分)先阅读下面的一段文字，再解答问题.已知在平面直角坐标系中，任意两点Mx1y1,Nx2y2(1)已知点A(0,5),B(-3,6),试求A,B两点之间的距离;(2)已知点A，B在垂直于x轴的直线上，点A的坐标为-5-1(3)已知点A(0,6),B(4,0),C(-9,0),请判断△ABC的形状，并说明理由26.(12分)如图,在△ABC中，AB=30cm,BC=35cm,∠B=60∘,有一动点E自点A向点B以2cm/s的速度运动，动点F自点B向点C(1)试问出发几秒时，△BEF为等边三角形(2)试问出发几秒时，△BEF为直角三角形1.B[解析]∵a∴a=13=0,b-12=0,c=5=0,∴∴这个三角形是直角三角形.故选B.2.C3.C4.B5.A[解析]如图,过点P作PQ//AD,交AB于点Q,则∠APQ=∠DAP=10°.∵AD∥BC,PQ∥AD,∴PQ∥BC,∴∠BPQ=∠CBP=80°,∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°,∴在Rt△APB中,AB=PA26.A[解析]∵∠C=90°,AC⊥x轴,点C的坐标为(3,6),∴OB=AC=6,OA=BC=3.由轴对称的性质,得∠BAM=∠BAC.由题意,知OB∥AC,∴∠OBA=∠BAC,∴∠OBA=∠BAM,∴BN=AN.在Rt△AON中,由勾股定理,得6-ON2=327.D[解析]在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB∴A'B=AB=2.5m.在Rt△A'BD中,由勾股定理,得BD=A'B2-A8.C9.C[解析]①由勾股定理,得a2+b2=c2②∵三个三角形都是等边三角形，∴∵a2+③S1+④∵S∴S110.C[解析]①∵∠B+∠C=90°,∴∠A=180°-(∠B+∠C)=90°,∴△ABC是直角三角形;②∵∠B-∠C=∠A,∴∠B=∠C+∠A.∵∠B+∠C+∠A=180°,∴2∠B=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;③∵∴△ABC是直角三角形;④∵∴△ABC不是直角三角形.能判定△ABC是直角三角形的是①②③.故选C.11.512.213.3154[解析]如图,AB=2,BC=3,AC=4,过点B作BD⊥AC于点D.设∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴22-∴∴14.1015.11,60,61[解析]通过观察得第①组勾股数分别为2×1+1=3,2×12第②组勾股数分别为，故④满足.故选2×2+1=5,2×22第③组勾股数分别为22×3+1=7,2×32第④组勾股数为：2×4+1=9,2×4所以第⑤组勾股数为2×5+1=11,2×5216.(1)20(2)13[解析](1)由A,B两点的纵坐标相同可知,AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20(km).(2)如图,过点C作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,连接AD,∴AD=CD.由(1)可知,CE=1-(-17)=18(km),AE=12km,设CD=xkm,∴AD=CD=xkm,∴DE=(18-x)km.在Rt△ADE中,由勾股定理,得x2=17.2-2或1或2[解析]当AB'⊥BC时,如图(1),在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=2∴BC=A∵将△ABP沿AP翻折,.∴∴B'Q=2-1=PQ,，即当AP⊥BC时,如图(2),此时,BP=12BC=1;当此时,点A,B,B'在同一直线上,BP=BC=2.综上，当△APB'有一边与BC垂直时，BP的长为2-2或1或18.(1)2(2)①②[解析]①若k=2,t=1,则1=ac2∴△ABC为直角三角形，故①正确，符合题意；②若k则t当a>b时,a-b<c,即12b当a<b时,b-a<c,即b-1∴2<b<6.当b=2时,t当b=6时,t∴5<t<11,故②正确,符合题意;③∵∴又a不妨设a=n,则b=n+1,c=n+2,∴n+2<2∴n可取2,3,4,5,6,7,对应的t值分别为54,75,32,117,19.如图,过点C作CE⊥BA,交BA的延长线于点E.∵∠B=30°,∠ACB=15°,∴∠CAE=45°.∵CE⊥BE,∴AE=CE.∵∠B=30°,∴BC=2CE.设AE=CE=x,则BE=2+x,BC=2x,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得CE2+BE2=BC2,即20.(1)如图(1),作点C关于AB的对称点F,连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求.作DE⊥BC交BC的延长线于点E.在Rt△DEF中,∵DE=AB=200米,EF=BE+BF=AD+BC=80+70=150(米),∴DF=D∴PD+PC的最小值为250米.(2)17[解析]如图(2),令AB=15,AD=5,BC=3,先作出点C关于AB的对称点F,连接DF交AB于点P,作DE⊥BC交BC的延长线于点E.设BP=x,则AP=15-x,DF的长就是x2+9∵∴代数式的最小值为17.21.如图所示.(答案不唯一)一题多解如图所示.22.在Rt△ABC中,∠B=90°,设BC=am,AC=bm,AD=xm,则10+a=x+b=15,∴a=5,b=15-x.∵在Rt△ABC中,由勾股定理,得10+∴10+x2+∴AB=AD+DB=2+10=12(m).故树高AB为12m.23.(1)作∠BAC的平分线交BC于点A',再作线段AA'的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，如图.则△AMN与△A'MN关于MN对称,且△AMN是等腰三角形,MA'⊥BC.故MN为所求作折痕.(2)由作图可得,A'M=MA=AN=NA',设A'M=MA=AN=NA'=x,则CN=8-x,∵∴A2∴A'M=5,∴∴MC的长为4124.(1)∵AB=13,AC=5,△ABC的周长为30,∴BC=30-13-5=12.∵∴AC(2)①∵AC²+BC²=AB²,∴∠ACB=90°.∵CD⊥A