甘肃省武威市古浪县第三中学等多校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

甘肃省古浪县第三中学等多校2025-2026学年高二下学期第一次月考考试数学试卷一、单选题1．与向量同向的单位向量的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A．0 B．2 C．1 D．3．向量，若，则（

）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知函数，则（

）A． B．2 C．3 D．66．函数在上的值域为（

）A． B．C． D．7．如图，在长方体中，（

）A． B． C． D．8．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（

）

A． B．C． D．10．以下能够判定空间中四点共面的条件是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则（

）A．当时，函数的减区间为B．当时，函数的图象是中心对称图形C．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为三、填空题12．曲线在点处的切线方程为___________.13．在空间直角坐标系中，，，若，则实数______．14．在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到直线的距离是_______．四、解答题15．已知函数，(1)求a的值;(2)求函数的极小值.16．如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与直线的夹角的余弦值．17．已知函数(1)若，求函数的单调区间;(2)证明：函数至多有一个零点.18．如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求的取值范围；(3)证明：.参考答案1．A2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．B9．BD10．ABD11．AB12．13．614．/15．（1）由题意可得，故，（2）由（1）得，所以，令，解得，因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值．16．（1）∵是直三棱柱，∴，又点E，F分别为棱的中点，∴，∴四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，故平面．（2）如图，直三棱柱中，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则，则直线与直线的夹角的余弦值为．17．（1）当时，，.令，解得或，当时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减.（2），由于，所以等价于设，则，当且仅当或时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，从而至多有一个零点.18．（1）由题意，则，因为，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，所以，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为．19．（1）由，有.当时，，所以在上单调递减；当时，有，故当时，当时.所以在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）先证明一个结论：对任意实数都有，且不等号两边取等当且仅当.证明：设，则，从而当时有，当时有.从而在上递减，在上递增，故，即，且等号只在时成立，这就证明了结论.回到原题.代入的表达式，将题目中的不等式等价变形为.整理得到，故我们要求的取值范围使得对恒成立.一方面，若该不等式恒成立，则特别地对于成立，即，从而；另一方面，若，则对，利用之前