河北省保定市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，，则（

）A． B． C． D．3．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（

）A． B． C． D．4．已知为等差数列的前项和，，，则（

）A．190 B．180 C．130 D．1105．已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是“∥”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（

）A． B． C． D．8．已知，，若，恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．最小正周期为B．当时，的值域为C．的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象10．圆与圆的公切线的交点坐标可以是（

）A． B． C． D．11．某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（

）A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9C．甲设备检测该芯片为良品的概率为D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为三、填空题12．若，则______．13．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．14．在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______．四、解答题15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．(1)求的单调递增区间；(2)若，且，求的取值范围．16．某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表．体质达标体质不达标合计高频锻炼组m1560低频锻炼组25vu合计st120附：，其中．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828(1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值；(2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联；(3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率．17．已知函数．(1)当时，求这个函数图象在处的切线方程；(2)证明：当时，，使得成立．18．在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）；(2)当，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点．（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．19．某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示．(1)求圆台的体积（用r表示）；(2)设小球半径，圆台的轴截面为等腰梯形，B为底面圆周上一点，且，平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围；(3)在第（2）问条件下的圆台内放置若干个小球，要求每个小球均和该圆台上、下底面相切，则最多能放几个小球，并说明理由．参考答案1．C2．D3．A4．B5．A6．D7．B8．B9．AC10．ABC11．ACD12．3213．14．51315．（1）由，化简得，令，∵，则，因为，的单调递减区间是，由，解得，∴函数单调递增区间为；（2）∵，∴，又∵，∴，即，由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形，∴，则，∴，∴，∴的取值范围为．16．（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，．（2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联．根据列联表数据，计算由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立，因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联．（3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人．从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种，设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况．则．所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为．17．（1）当时，∵，∴，即切线方程为.（2）方法1：当，时，令，，令，则，令，即在单调递增，令，即在单调递减；∵，∴，使，即∴在单调递减，在单调递增，，∴当时，，使得成立．方法2：当，时，令，，令，则，令，即在单调递增，令，即在单调递减；∵，，∴，使，即∴在单调递减，在单调递增，，∴当时，，使得成立．18（1）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则，即，即，所以“曼哈顿椭圆”的方程为.将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称．只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为；当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示．其面积为．（2）（ⅰ）∵，，∴椭圆的左右顶点分别为，.设椭圆的方程为，过点则，即，所以椭圆的方程为．（ⅱ）直线与圆相切，理由如下：设过点与圆相切的直线方程为．则，，，解得或．设点，．则，．直线的斜率为．故直线的方程为，又，化简得直线方程为．因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切．19．（1）设圆台上下底面圆的半径分别为，，在圆锥的轴截面中（如图所示），∵，，∴，，，即，，设上下底面圆的面积为，，则，，圆台的高，∴（2）延长，交于点H，∵平面，平面，∴，BH即l，∵，，∴，，，，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，设平面的法向量为，则令，则，，即，同理可求平面的法向量为，则令，对称轴为，∴，，即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．（3）最多能放3个小球．理由如下：因为小球与上下底面均相切，∴小球半径为．圆台上、下底面直径分别为3和5，则至少能放入一个半径为的小球．为能放入更多小球我们先让放入的第一个小球与圆台侧面也相切，作出圆台轴截面如图1，小球与底面切于点，，由题意可计算出，可得，，所以，如图右侧还能再放一个这样的小球，所以至少能放下2个这样的小球．现