初中数学九年级下册《位似图形》概念与画法教案

初中数学九年级下册《位似图形》概念与画法教案

一、教学背景与理念分析：立足核心素养，贯通学科视野

在当前课程改革深化背景下，数学教育已从知识传授转向素养培育，强调学科大概念的理解与跨学科实践能力的养成。位似图形作为初中几何“图形的相似”主题中的核心内容，不仅是相似变换的特例，更是连接数学内部（如相似、比例、坐标）与外部世界（如光学、艺术、工程制图）的关键节点。本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，聚焦学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的发展，并有机融合物理、信息技术、美术等学科视角，构建一个以学生为主体、以探究为主线、以真实问题为锚点的深度学习历程。教学将超越机械记忆画法步骤，引导学生从变换的本质理解位似，掌握其概念体系与创作方法，从而提升空间观念与几何建模能力，体现数学的广泛应用价值与审美意蕴。

二、学情分析：精准定位认知起点与发展路径

九年级学生经过初中阶段的系统学习，已具备以下认知基础与潜在挑战：

已有基础：

1.知识层面：牢固掌握了比例的基本性质、相似多边形的定义与判定（对应角相等、对应边成比例），熟悉了图形平移、旋转、轴对称等全等变换，具备了使用直尺、圆规、量角器等工具的基本作图能力。

2.能力层面：具备初步的观察、比较、归纳能力，能够进行简单的逻辑推理，并在坐标系中描述点的位置。

3.经验层面：在生活中接触过放大镜看物体、地图、建筑设计图等具有位似特征的实例，具备一定的直观感受。

可能存在的认知障碍与发展点：

1.概念辨析：容易混淆“位似”与“相似”，难以理解“位似”是“相似”在特定位置关系（对应点连线交于一点）下的强化，即“位似必相似，相似未必位似”。

2.性质理解：对位似中心的位置（在位似图形之间、之外、之上）影响图形方向与位置的关系理解困难，对位似比（相似比）与图形大小、方向变化的关系需深度建构。

3.画法原理：可能将画法步骤记忆化，而不理解其几何原理（如根据位似中心与位似比确定对应点），尤其在处理反向位似（缩小）或位似中心在图形上的情况时易出错。

4.应用迁移：将几何概念与物理成像（如凸透镜）、计算机图形缩放等实际问题联系的能力有待引导开发。

本设计将针对这些学情，通过阶梯式问题串、动手操作、数字化工具验证等手段，促进概念的内化与迁移。

三、教学目标：三维融合，指向素养提升

基于以上分析，设定如下教学目标：

（一）知识与技能

1.理解位似图形的定义，能准确表述位似图形的本质特征（对应点连线交于一点，且对应边平行或在同一直线上）。

2.掌握位似图形的性质，明确位似比（相似比）的含义，能根据位似比判断图形是放大还是缩小，并推断对应线段的比例关系。

3.熟练运用尺规作图法和坐标法绘制已知图形的位似图形，包括放大与缩小，且能处理位似中心在图形不同位置（内部、边上、外部）的情况。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例抽象出位似图形概念的过程，发展数学抽象与概括能力。

2.通过观察、猜想、验证、推理等探究活动，归纳位似图形的性质，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。

3.在动手画图与合作交流中，掌握位似图形的多种画法，提升几何作图技能与空间想象能力。

4.学会利用几何画板等信息技术工具动态验证猜想、探索规律，增强数字化学习能力。

（三）情感态度与价值观

1.感受位似图形在自然界、科学技术和艺术创作中的普遍性与和谐美，激发学习几何的兴趣与求知欲。

2.在探究活动中培养严谨求实的科学态度、合作交流的意识与克服困难的毅力。

3.体会数学作为工具在解决跨学科问题中的力量，树立学以致用的观念。

四、教学重难点

教学重点：

1.位似图形概念的本质理解。

2.位似图形的基本性质。

3.位似图形的尺规作图方法。

教学难点：

1.位似图形与相似图形的区别与联系。

2.位似中心在不同位置时，位似图形方向与位置关系的理解。

3.灵活运用位似原理进行作图与解决实际问题。

五、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件：包含丰富的位似图形生活实例（如显微镜下的细胞、卫星地图、艺术中的透视画）、概念动画演示、动态作图过程、探究问题提示。

2.几何画板软件：预先制作可交互的位似图形模型，能动态拖动位似中心、改变位似比，实时展示图形变化。

3.教具：大号三角板、直尺、圆规、可移动的磁性点（代表位似中心）和多边形卡片。

4.学习任务单：设计分层探究活动、作图练习和拓展思考题。

5.跨学科资源链接：准备凸透镜成像原理图、建筑设计平面图与效果图对比、计算机图像缩放算法简介等资料。

学生准备：

1.复习相似多边形的定义与性质。

2.携带直尺、圆规、量角器、铅笔、橡皮等常规作图工具。

3.预习课本相关内容，并收集一例生活中可能涉及图形“放大缩小且形状不变”的现象。

六、教学过程（重点实施环节）

本教学过程计划用时两个标准课时（共90分钟），设计为“创设情境，感知位似—操作探究，建构概念—深度辨析，归纳性质—掌握画法，应用迁移—总结反思，拓展升华”五个螺旋上升的环节。

第一课时：位似图形的概念与性质探究

环节一：情境导入，聚焦问题（预计时间：8分钟）

活动1：观图激趣，引发思考

教师利用多媒体同步呈现三组图片：

1.组一：同一座建筑物的实景照片与它的微型建筑模型照片。

2.组二：用手机将一朵花特写放大拍摄前后对比图。

3.组三：一张本市地图的全局图与其中一个区域的详细放大图（标注同一地标）。

教师提问：

“请同学们仔细观察每一组中的两个图形。它们形状有什么关系？（学生答：形状相同，即相似。）它们的大小和位置呢？（学生答：大小不同，位置…似乎有某种关联。）”

“那么，这种‘形状相同、大小不同、位置特定’的相似，与我们已经学过的普通相似有什么区别？这种特殊的位置关系能否用数学语言精确描述？”

设计意图：从学生熟悉的跨领域实例（建筑、摄影、地理）出发，创设真实问题情境，在复习“相似”旧知的同时，自然引出新知“位似”的特殊性——位置关联，激发探究欲望。

活动2：动手操作，初步感知

教师分发任务单，布置操作任务：在纸上任意画一个△ABC，再任意定一个点O。请尝试画出一个新的三角形，使得它与△ABC形状相同，但大小不同，并且新三角形的每个顶点与△ABC对应顶点的连线都经过点O。

学生独立尝试画图（可能画出多种情况），教师巡视，选取有代表性的作品（包括正确、错误、有创意）准备展示。

设计意图：将抽象问题具体化，通过动手操作让学生亲身经历“创造”这种特殊图形的过程，为概念抽象积累感性经验。

环节二：合作探究，建构概念（预计时间：20分钟）

活动1：展示交流，归纳特征

教师利用实物投影展示学生的几种典型作图结果：

1.类型A：新三角形顶点与O及原三角形对应顶点的连线确实共点，且新三角形与原三角形对应边平行。

2.类型B：连线共点，但对应边不平行。

3.类型C：对应边平行，但连线未全部共点于O。

小组讨论（4人一组）：

1.哪种画法符合我们之前观察到的那些生活实例中图形的内在关系？

2.如何用准确的语言描述这种关系？需要满足几个条件？

经过讨论，引导学生达成共识：符合生活实例本质的是类型A，它同时满足两个条件：（1）对应点连线交于同一点O；（2）对应边平行。

活动2：信息技术验证，抽象定义

教师打开几何画板，预先设定一个△ABC和一个点O。动态演示：当拖动点A‘（预设为A的对应点），强制满足OA’/OA=k（k为定值）且A‘在OA所在直线上时，相应的B‘、C’自动生成，形成△A‘B’C‘。观察发现，无论k如何变化（正负），△A‘B’C‘与△ABC始终相似，且对应边平行。特别演示当k为负值时，两个三角形在位似中心O的两侧，对应边依然平行（或共线）。

教师引导学生抽象概括：

像这样，如果两个相似多边形每组对应顶点的连线都相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。此时，相似比k称为位似比。当k>0时，两个图形在位似中心同侧，称为同向位似；当k<0时，两个图形在位似中心异侧，称为反向位似。

板书关键定义，并让学生用自己的语言复述。

活动3：概念辨析，深化理解

辨析题1：判断下列说法的正误，并说明理由。

①所有的相似图形都是位似图形。（）

②所有的位似图形都是相似图形。（）

③位似中心一定在图形之外。（）

④两个全等图形一定是位似图形。（）

学生独立思考后回答，教师点评。通过辨析，明确：位似是特殊的相似（附加了位置条件）；位似中心可以在图形任何位置（内部、边上、外部）；全等是位似比为1的特殊位似。

设计意图：通过从具体操作到抽象概括，再到技术验证与精准定义，完成概念的数学化建构。辨析环节旨在厘清概念内涵与外延，突破“位似”与“相似”的混淆点。

环节三：探究性质，构建体系（预计时间：12分钟）

活动：猜想-验证-归纳位似性质

教师提出探究主线：“我们已经定义了位似图形，那么它除了具备相似图形的所有性质（对应角相等，对应边成比例）外，还有什么独特的性质？”

猜想1：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比吗？

学生在几何画板模型上自主拖动点，测量OA‘/OA,OB’/OB,OC‘/OC的值，发现它们恒等于设定的位似比k。进而，通过取边上的点进行验证，推广猜想。

猜想2：位似图形的周长比、面积比与位似比有何关系？

引导学生根据相似性质推理：周长比等于相似比（即位似比|k|）。面积比等于相似比的平方（即k²）。

猜想3：位似图形对应线段（不只是对应边）的位置关系？

通过观察和几何画板演示，归纳：在位似变换下，任意一对对应线段（包括非边）要么平行，要么在同一直线上。

教师组织学生将探究结果系统整理，形成位似图形的性质定理：

1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（同向取正，反向取负）。

2.位似图形的周长比等于位似比的绝对值，面积比等于位似比的平方。

3.位似图形的对应边平行或在同一直线上。

设计意图：将性质的发现权交给学生，通过信息技术辅助的探究，经历完整的数学发现过程，深化对位似变换本质的理解，构建知识网络。

第二课时：位似图形的画法与应用迁移

环节四：掌握画法，技能内化（预计时间：25分钟）

导语：“理解了位似是什么，我们如何创造它？这需要掌握科学的画法。”

活动1：尺规作图法探究

任务一（基础）：已知△ABC和位似中心O，位似比2:1（放大），求作△A‘B’C‘。

教师不直接演示步骤，而是抛出问题链引导学生自主探索：

“关键是要确定A‘、B’、C‘的位置。根据位似性质，点A’应该满足什么条件？”（OA‘:OA=2:1，且A’在OA所在直线上。）

“如何利用尺规实现OA‘=2OA？”（学生可能想到延长OA至A‘，使OA’=2OA，或利用平行线分线段成比例定理。）

教师规范并演示两种主流尺规作法：

作法一（放缩尺原理）：连接OA、OB、OC并延长；分别以O、A为圆心，适当长为半径画弧，利用构造平行线的方法，在OA延长线上截取OA‘=2OA；同理作出B’、C‘；连接A‘B’、B‘C’、C‘A’。

作法二（更通用的射线法）：连接OA、OB、OC并作射线；在OA上（或延长线上）取A‘，使OA’:OA=2:1（可通过作平行线实现比例）；过A‘作AB的平行线交OB（或延长线）于B’；同理或连接A‘C平行线得C‘。

学生分组，分别用两种方法实践，并讨论其原理与适用性。

任务二（变式）：已知△ABC和位似中心O（点O在BC边上），位似比1:2（缩小），求作△A‘B’C‘。

学生尝试，教师巡视指导。重点解决位似中心在图形上时，对应点的确定（如B‘、C’可能与B、C重合或在边上）。

任务三（挑战）：已知四边形ABCD和位似中心O在图形内部，位似比-1:2（反向缩小），求作四边形A‘B’C‘D’。

引入反向位似（k<0）的画法，强调此时对应点在位似中心的反向延长线上。

活动2：坐标法作图

任务四：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC（已知A(2,3),B(4,1),C(1,0)）放大为原来的2倍。

引导学生推导坐标规律：以原点为位似中心，位似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点为(kx,ky)。学生计算并描点作图。进而讨论位似中心为任意点P(h,m)时的坐标变换公式（(x’,y’)=(h+k(x-h),m+k(y-m))）。

设计意图：通过分层、变式的作图任务，让学生在实践中掌握位似作图的原理与技巧，从尺规到坐标，形成方法体系。强调理解原理而非记忆步骤，培养几何作图能力与坐标思想。

环节五：巩固应用，跨学科迁移（预计时间：15分钟）

活动1：基础巩固练习

1.判断题：深化概念理解。

2.填空题：根据位似比求未知线段长度、角度或面积。

3.作图题：综合应用尺规法完成一个稍复杂的位似图形设计。

活动2：综合应用与跨学科链接

应用问题1（物理联系）：展示凸透镜成像光路图。已知物体AB通过凸透镜（光心O）成实像A‘B’。引导学生分析：像与物相对于光心O是否构成位似图形？位似比与物距、像距有何关系？（渗透物理中的透镜公式，体会数学模型的普适性）。

应用问题2（艺术与科技）：展示一幅运用透视原理的街景画。提出问题：画中平行街道的两边在现实中平行，但在画中交于一点（消失点）。这运用了哪种几何变换思想？（引导学生认识透视近似于一种位似变换，消失点类似位似中心）。简要介绍计算机图形学中图像缩放的核心算法之一即基于位似变换原理。

应用问题3（地理与测量）：如何利用位似原理，根据一张局部区域的地图和该区域的实地测量数据，估算整张地图所表示的实际面积？（引导学生运用面积比等于位似比平方的性质）。

设计意图：巩固双基的同时，设计有梯度的综合应用问题，特别是打通数学与物理、艺术、信息技术、地理等学科的壁垒，展现位似图形的强大应用价值，培养学生的跨学科思维与解决实际问题的能力。

环节六：总结反思，布置作业（预计时间：10分钟）

活动1：课堂小结——绘制思维导图

教师引导学生以小组为单位，共同梳理本节课的核心知识结构：从定义、性质（特有性质与相似性质）、画法（尺规法、坐标法）、应用四个方面构建关于“位似图形”的思维导图。邀请一组代表展示并讲解。

活动2：分层作业设计

必做题（面向全体）：

1.完成课本相关练习题，巩固位似概念与基本画法。

2.撰写一份学习日志：记录本节课最让你印象深刻的一个知识点或一个瞬间，并说明原因。

选做题（面向学有余力者）：

3.探究题：如果以两个不同的点分别为位似中心，对同一个图形进行位似变换，得到的两个新图形之间有什么关系？请通过画图或几何画板进行探究。

4.实践创作题：利用位似原理，设计一个具有美学图案的“分形”树（树干分出两个缩小比例的树枝，每个树枝再分出更小的树枝，依此类推），并写出设计说明。

5.跨学科调研题：选择一个领域（如摄影、建筑制图、电影特效），调研其中如何运用到位似变换的思想，撰写一份300字左右的简要报告。

设计意图：通过思维导图进行系统化总结，提升元认知能力。分层作业满足不同学生的发展需求，将学习从课堂延伸到课外，鼓励探究、实践与跨学科联系。

七、板书设计

板书采用纲要图示法，力求清晰、美观、体现知识逻辑。

左侧主板书区：

《位似图形》概念与画法

一、定义

两个相似图形，若：

1.对应顶点连线相交于一点O（位似中心）

2.对应边平行（或在同一直线上）

⇒这两个图形叫做位似图形。

二、性质

1.特有性质：

(1)对应点到位似中心距离比=位似比k

(2)对应边平行或共线

2.继承自相似：

(1)对应角相等

(2)对应边成比例（比例系数=|k|）

(3)周长比=|k|，面积比=k²

三、位似比k

k>0：同向位似（同侧）

k<0：反向位似（异侧）

|k|>1：放大；|k|<1：缩小

四、画法

1.尺规作图法：

-射线法（通用）

-关键：定对应点（满足OA':OA=k）

2.坐标法：

中心为原点：(x',y')=(kx,ky)

中心为(h,m)：(x',y')=(h+k(x-h),m+k(y-m))

右侧副板书区：

用于课堂即时生成内容，如学生探究的关键发现、典型作图步骤示意图、应用问题分析要点等。

八、教学反思与评价设计

（一）教学效果预期反思

1.概念建构：通过“实例感知-操作探究-技术验证-抽象定义”的完整过程，预计能有效帮助学生突破概念难点，实现深度理解。

2.能力发展：探究性活动和分层任务旨在促进不同层次学生的思维发展，信息技术整合提升了探究效率与直观性。

3.素养落地：跨学科链接的设计意图明确指向数学应用意识与创新意识