2026年8省联考数学试题答案

2026年8省联考数学试题答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.已知集合A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2^x>4}，则A∩B=（）A.[2,3]B.(2,3]C.[3,∞)D.(2,∞)2.函数f(x)=ln(x²-1)的单调递增区间是（）A.(-∞,-1)B.(1,∞)C.(-∞,0)D.(0,∞)3.等差数列{aₙ}中，a₃=5，a₇=13，则前10项和S₁₀=（）A.80B.90C.100D.1104.若sinθ+cosθ=1/2，则sin2θ=（）A.3/4B.-3/4C.1/4D.-1/45.抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（）A.2B.4C.8D.166.已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥b，则m=（）A.-2B.2C.-1/2D.1/27.函数f(x)=x³-3x+1的极大值为（）A.1B.3C.-1D.28.从5名男生和3名女生中选3人参加活动，至少1名女生的选法有（）A.55种B.60种C.65种D.70种9.已知直线l过点(1,2)且与圆x²+y²=5相切，则直线l的方程为（）A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x-2y+3=0D.2x-y=010.若log₂a+log₂b=3，则a+b的最小值为（）A.4√2B.8C.4D.2√2二、填空题（总共10题，每题2分）11.复数(1+i)/(1-i)的共轭复数是______。12.不等式|2x-1|≤3的解集是______。13.等比数列{aₙ}中，a₁=2，公比q=3，则a₄=______。14.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是______。15.双曲线x²/4-y²/5=1的离心率e=______。16.已知tanα=2，则sin2α=______。17.三棱锥的体积公式为______（用底面积S和高h表示）。18.若随机变量X~N(2,σ²)，且P(X<0)=0.1，则P(0<X<4)=______。19.直线3x+4y-12=0在y轴上的截距是______。20.已知f(x)是奇函数，且f(1)=2，则f(-1)=______。三、判断题（总共10题，每题2分）21.空集是任何集合的真子集。（）22.函数y=cosx在[0,π]上单调递减。（）23.若a>b，则a²>b²。（）24.数列1,1,1,…既是等差数列又是等比数列。（）25.空间中，垂直于同一直线的两条直线平行。（）26.事件A与B独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）27.二次函数f(x)=ax²+bx+c的图像必过点(0,c)。（）28.对数函数y=logₐx（a>0且a≠1）的定义域是(0,∞)。（）29.导数f’(x₀)=0是f(x)在x₀处取得极值的充要条件。（）30.向量a与b共线当且仅当存在实数λ，使得a=λb。（）四、简答题（总共4题，每题5分）31.求函数f(x)=2sinxcosx+cos2x的最小正周期和最大值。32.已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=2n²+n，求数列的通项公式aₙ。33.求过点(2,-1)且与直线2x-y+3=0平行的直线方程。34.计算定积分∫₀¹(x²+1)dx。五、讨论题（总共4题，每题5分）35.讨论函数f(x)=x³-3x的单调性、极值和图像大致形状。36.已知椭圆x²/9+y²/4=1，讨论其焦点位置、长轴长度及离心率。37.某班级有30名学生，其中10名男生数学成绩优秀，8名女生数学成绩优秀，讨论从中随机选1名学生是女生或数学成绩优秀的概率。38.讨论直线y=kx+1与圆x²+y²=4的位置关系（相交、相切、相离）对应的k的取值范围。答案与解析一、单项选择题1.B解析：A=[2,3]，B=(2,∞)，交集为(2,3]。2.B解析：定义域x²-1>0即x>1或x<-1，f’(x)=2x/(x²-1)，递增区间需f’(x)>0，故x>1。3.C解析：公差d=(13-5)/4=2，a₁=5-2×2=1，S₁₀=10×(1+1+9×2)/2=100。4.B解析：(sinθ+cosθ)²=1+sin2θ=1/4，故sin2θ=-3/4。5.B解析：抛物线y²=2px中p=4，焦点到准线距离为p=4。6.B解析：a·b=1×m+2×(-1)=0，解得m=2。7.B解析：f’(x)=3x²-3=0，x=±1。x=-1时f(-1)=3（极大值），x=1时f(1)=-1（极小值）。8.A解析：总选法C₈³=56，全男生选法C₅³=10，故至少1女生为56-10=46？（注：原题可能有误，正确应为C₈³-C₅³=56-10=46，但选项无此答案，可能题目数据调整为5男3女选3人，正确计算应为C₈³=56，全男C₅³=10，故56-10=46，可能题目选项错误，暂按选项A55可能数据不同，需核对）9.A解析：设直线方程y-2=k(x-1)，圆心到直线距离等于半径√5，解得k=-1/2，方程为x+2y-5=0。10.B解析：log₂(ab)=3，ab=8，a+b≥2√ab=8（当a=b=2√2时取等）。二、填空题11.-i12.[-1,2]13.5414.π15.3/216.4/517.V=1/3Sh18.0.819.320.-2三、判断题21.×（空集是任何非空集合的真子集）22.√23.×（如a=1,b=-2）24.√（公差0，公比1）25.×（可能异面）26.×（独立则P(AB)=P(A)P(B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)）27.√28.√29.×（必要非充分）30.×（需b≠0）四、简答题31.解：f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=π，最大值√2。32.解：n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2n²+n-[2(n-1)²+(n-1)]=4n-1；n=1时，a₁=S₁=3，符合4×1-1=3，故aₙ=4n-1。33.解：平行直线斜率相同为2，方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0。34.解：∫₀¹(x²+1)dx=(x³/3+x)|₀¹=(1/3+1)-0=4/3。五、讨论题35.解：f’(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。当x<-1或x>1时，f’(x)>0，函数递增；当-1<x<1时，f’(x)<0，函数递减。x=-1时极大值f(-1)=2，x=1时极小值f(1)=-2。图像过原点，先增后减再增，对称中心为原点。36.解：椭圆标准式x²/9+y²/4=1，a²=9，b²=4，c²=a²-b²=5，焦点在x轴上，坐标(±√5,0)。长轴长度2a=6，离心率e=c/a=√5/3。37.解：设A为“女生”，B为“数学优秀”，则P(A)=20/30=2/3，P(B)=18/30=3/5，P(A∩B)=8/30=4/15。所求概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=2/3+3/5-4/15=13/15。38.解：圆心(0,0)到直线距离d=|0-0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)。当d<2（相交）时，1/√(k²+1)<2，即k²+1>1/4恒成立，故k∈R；当d=2（相切）时，1/√(k²+1)=2，k=±√(1/4-1)无解；当d>2（相离）时，无解。实际应为d=|0-0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)，与半径2比较：相交时d<2→k∈R；相切时d=2→k=±√(1/4-1)不存在