一次函数的图像和性质2025-2026学年人教版八年级数学下册

一次函数的图像和性质

正比例函数的图像是怎样的？我们是怎样简单地画正比例函数的图像的？探究：画出下列正比例函数的图象（1）y＝2x，列表，描点，连线．画出图象（2）y＝－1．5x，y＝－4x．总结归纳：

4条图象都是经过原点的直线；函数y＝2x和y＝1/3x的图象经过第一、三象限，从左向右上升；函数y＝－1.5x和y＝－4x的图象经过第二、四象限，从左向右下降．

一般地，正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx．正比例函数有哪些性质？当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．

既然正比例函数是特殊的一次函数，那么一次函数的图像又是什么形状呢？他跟正比例函数图像又有什么联系呢？一次函数的性质呢？就让我们一起来探究一下一次函数的图像和性质．1.画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象．x-2-1012y=-6xy=-6x+51260-6-1217115-1-7列表描点连线y=-6x+5y=-6x画图2．比较两个函数的图像的相同点与不同点，思考并填写你的观察结果：（1）这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_______，它们的位置________（互相平行）.直线相同互相平行（2）函数y＝－6x的图象经过______，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y＝－6x向___平移____个单位长度而得到．（0，5）上5原点3．比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？

它们的k值相同，都是－6．若k值相同，即直线的倾斜程度相同，所以两条直线平行．4．联系上面的结果，思考一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y＝kx（k≠0）有什么关系？

（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b．（2）直线y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝kx（k≠0）互相平行．

（3）直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）．5．画出函数y=2x－1与y=－0.5x＋1的图象．一次函数的图象是直线，故选择其上合适两点即可．x01y＝2x－1y＝－0.5x+1-1110.5O1xy1-1-1y＝2x－1y＝－0.5x＋1一般选择，（0，b）．6．思考：根据直线y＝kx＋b（k≠0）可以看作由直线y＝kx（k≠0）平移

个单位长度而得到，你还能怎样的方式得到上述函数图像？可以先画直线y＝2x与y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1．7．总结画一次函数的图像．一次函数的图像跟正比例函数一样也是直线，可用两点（0，b）和（

，0）来连成，并且，如果它们的k值相等，即倾斜程度相同，这两条直线平行，所以也可用直线y＝kx通过上下平移︱b︱个单位得到直线y＝kx＋b．8．画出函数y=x+1，

y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象．x01y=x+1y=-x+1y=2x+1y=-2x+11210131-1O1xy1-1-1y=x+1y=-x+1y=2x+1y=-2x+19．观察以上函数图像，思考下面的问题．（1）一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图像有什么影响？对函数的变化规律有什么影响？当k＞0时，直线y＝kx＋b由左至右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b由左至右下降，y随x的增大而减小．（2）看一看你画的所有的一次函数的图像，总结b的值对图像有什么影响．（0，b）是直线与y轴的交点坐标，b＞0时，交点在x轴上方，b＜0时，交点在x轴下方．k，b的符号共同决定直线经过的象限：当k＞0，b＞0，直线经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0，直线经过一、四、三象限；当k＜0，b＞0，直线经过二、一、四象限；当k＜0，b＜0，直线经过二、三、四象限．

y＝kx＋bk＞0k＜0b＞0b＜0b＞0b＜0图像从左到右经过的象限y随x的变化上升y随x的增大而增大下降一、二、三y随x的增大而减小一、三、四一、二、四二、三、四10．总结一次函数的图像与性质一次函数y＝kx＋b的系数k，b的符号决定了它的图像和性质：比例系数k的大小决定着直线的倾斜度．当系数是正数时，它越大，直线就越陡，当系数是负数时，它越小，直线就越陡．思考：

现在我们能根据具体的一次函数解析式画出它们的图象，如：y＝3x－1，y＝－2x＋3．先取适合解析式的两点并描出，再连成直线．

那反过来，如果已知某个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？接下俩我们就一起来探究一下．例1．已知某个一次函数图象过点（3，5）和（-4，-9），求这个一次函数的解析式？分析：求一次函数解析式，关键是求出

k，b的值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k，b的二元一次方程组，解之可得．解：设这个一次函数的解析式为

y＝kx＋b．因为y＝kx＋b的图象过点（3，5）与（－4，－9），解之，得所以这个一次函数的解析式为

y＝2x－1．所以像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．2．求一次函数解析式的步骤：（1）设：设函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）；（2）代：将已知的x，y的对应值（至少两对对应值）

代入所设解析式中，得到关于系数k，b的方程；（3）解：解方程组求得系数k，b的值；

（4）写：将k，b的值代入所设解析式中，写出解析式．3．函数解析式和函数图象的相互转化．满足条件的两定点（

，）与（，）

函数解析式

y=kx+b一次函数的图象直线l选取解出画出选取4.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）在x＝1时，y＝5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，由题意知该函数图像过点（1，5）与（6，0），解之，得∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋6．所以5．柴油机在工作时油箱中的余油量Q（千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克．（1）写出余油量Q与时间t的函数关系式；（2）画出这个函数的图象．解：（1）设Ｑ＝kt＋b．把t＝0，Q＝40；t＝3.5，Q＝22.5分别代入上式，得解之，得解析式为：Q＝－5t＋40，（0≤t≤8）．

（2）取点Ａ（0，40），B（8，0），然后连成线段AB，即是所求的图形，如图：注意：画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围，比如此题中，因为自变量0≤t≤8，所以图像是一条线段．图象是包括两端点的线段O40tQ8BA6．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y＝4x－3的交点在x轴上．（1）求这个一次函数的解析式．（2）此函数的图象经过哪几个象限？（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积．解：（1）对于一次函数y＝4x－3，当y＝0时，x＝．

∴该一次函数与x轴的交点为（

，0）．∴直线y＝kx＋b经过点（3，－3）和点（

，0）．∴一次函数的解析式