中学生标准学术能力TDA诊断性测试2026届高三数学上学期12月测试含解析

一、单选题

yx22

1．已知相关变量x和的散点图如图所示，若用ykxb与ybac拟合时，决定系数分别为R1和R2，

22

则比较R1和R2的大小结果为（）

222222

A．R1R2B．R1R2C．R1R2D．不确定

5

2．已知集合AxNxk2k3，集合BxZ2，则“xA”是“xB”的（）

x1

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

x2

3．已知双曲线C:y21的一条渐近线方程为y2x，则m（）

m

A．4B．2C．1D．1

42

4．已知数列an的前n项和为Sn，数列an满足anan23n1，S92026，则a11（）

A．1988B．1962C．32D．29

2

5．如图所示在ABC中，AB2，BC1，ABC，D，E，F为边AC的四等分点，则BDBF

3

（）

5255

A．B．C．7D．

16164

1cos2A1sinB

6．已知ABC的内角A，B，C满足，则下列说法错误的是（）

sin2AcosB

A．sinABcosAB．ABC是直角三角形

C．a2c2b2D．ABC是钝角三角形

7．函数fxAsinxA0,0,π的图象如图所示，下列说法错误的是（）

2π

A．fxsin4x

3

π

B．fx向左平移个单位后是奇函数

12

5πkπ

C．fx的对称轴为x，kZ

244

5πkπ11πkπ

D．fx的减区间为,，kZ

242242

8．已知定义在R上的函数fx满足fx2fx2，f2x2fx，且当0x1时，

2

f(x)=-(x-1)+1，则下列说法正确的是（）

A．函数fx是具有周期性的奇函数

B．若关于x的方程fxkx在R上有且仅有一个根，则k2

+骣+

f(x1)f(x2)x1x2

C．x1，x21,0，满足£f琪

2桫2

1

D．若fx的图像与直线yxm在x2,4上恰有3个交点，则m

4

二、多选题

9．若z为复数，则下列说法正确的有（）

A．若zz，则z为实数

2

B．zz2

C．若zi32，则z的最大值为102

D．若z3i20256i2026，则z在复平面内对应的点在第二象限

10．已知苗圃中树苗的高度Xcm服从正态分布N,2，现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统

计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，将样本频率当作概率，则下列结论正确的是（）

A．a0.020，114

B．树苗高度的下四分位数的估计值为105

C．若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为x，y，则xy10

4

的概率为

9

D．已知落在80,90的平均高度是88，方差是8，落在90,100的平均高度为96，方差是4，则两组树

苗合并后的方差为17

11．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M和点N分别是棱BC，A1D1上的动点，则下列说

法正确的是（）

A．过点M，N的正方体截面可以是直角三角形

B．BB1MN为定值4

32

C．直线BB1与直线MN所成角余弦值的取值范围为,

32

D．直线MN与面AADD夹角的最小值为

114

三、填空题

5

12．在32x的展开式中，含x3项的系数为.

13．三棱锥PABC的四个顶点均在半径为3的球O表面上，线段PO恰经过ABC的外心D且PD2DO，

则棱PA的长为.

14．若关于x的不等式ax2axlnaexlnx0对x0,1恒成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题

15．已知函数fxlnxax1，gxfxexbx1.

(1)若存在x使得fx0成立，求a的取值范围；

(2)当a1时，gx0在定义域内恒成立，求b的取值范围.

16．如图所示，已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2c2b2ac，面积为42

的平行四边形ABDE所在平面与平面ABC垂直，且平面DBC平面ABC，点C到平面ABDE的距离为

33.

2

(1)求BC的长；

(2)若AC的长为13，求BD的长.

17．牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设r是

函数yfx的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，在点A0x0,fx0处作曲线yfx的切线l1，

设l1与x轴交于点B1x1,0；在点A1x1,fx1处作曲线yfx的切线l2，设l2与x轴交于点B2x2,0重

复以上过程，得r的近似值序列：x1,x2,,xn,...，并称数列xn为函数fx的牛顿数列.已知函数

2

fxx2，函数gx满足xn1gxn.

(1)求函数gx的解析式；

xn21

(2)若数列yn满足yn且xn2,y1（e为自然对数），求数列yn的前n项积Tn.

xn2e

18．养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法：先从鱼塘中

捞出m条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出n条鱼，并统计身上有标

mn

记的鱼的数目k，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N.已知养鱼户第一次捕捞了1000条鱼，做好标记放

k

回一段时间后，再次捕捞了2000条鱼，具体情况如下表：

种类鳜鱼鲢鱼草鱼

第一次捕捞鱼（条）100600300

第二次捕捞鱼（条）1971211592

第二次捕捞标记鱼（条）53015

(1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数；

(2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为40元/条，鲢鱼和草鱼都是12元/条，以第一次捕捞鱼的情况

作为样本估计总体，用频率估计概率，假设一网捕捞40条鱼，鱼的总市场价为随机变量X.

（i）求X的均值；

（ii）是否有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元（即一网鱼总价超过500元的概率不小于0.9）？

参考数据：lg30.478.

19．已知抛物线M:y216x，l是准线，平面内一动点P到点F1,0的距离是到直线l的距离的一半，记P

的轨迹为曲线Γ.

(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线；

(2)已知A2,0，B2,0，过A点的直线交Γ于C点，过B点的直线交Γ于D点，直线CD过点F，直线AC，

DB交于点Q，直线AD，BC交于点R，求线段QR的最小值.

参考答案

1．C

【详解】由散点图知，用ybaxc拟合的效果比用ykxb拟合的效果要好，

22

所以R1R2.

故选：C.

2．B

22

2113113

【详解】因为xkk3k，且k0，所以x3.25，

2424

又因为xN，因此x的可能取值为0,1,2,3，即A0,1,2,3，

552x1

解不等式2，整理得0，

x1x1

72x

所以0，所以72xx10，

x1

7

解得1x，又因为xZ，所以B2,3，

2

因为B2,3A0,1,2,3，所以由“xB”能推出“xA”,

故“xA”是“xB”的必要条件；

因为A不包含于B（A中有0,1不属于B），所以“xA”不能推出“xB”，

故“xA”是“xB”的非充分条件，

因此，“xA”是“xB”的必要非充分条件.

故选B.

3．C

x21

【详解】由双曲线C:y21m0可得一条渐近线方程为yx，

mm

11

所以由题意可知：2m，

m4

故选：C.

4．B

【详解】因为数列an满足anan23n1，

aa311

13

所以a2a4321

aa351

57

a6a8361

a9a11391

所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9a112514172664，

又因为S92026，则2026a1164，所以a111962.

故选：B.

5．A

1131

【详解】由题意得，BDBA+ADBA+ACBA+BCBABABC，

4444

1113

BFBC+CFBCACBCBCBABABC，

4444

311332325

所以BDBFBABC·BABCBABCBAB·C，

444416168

2

因为AB2，BC1，ABC，

3

22221

所以BABA4，BCBC1，BA·BCBABCcosABC211，

2

3355

所以BDBF411.

1616816

故选：A.

6．B

1cos2A2sin2AsinA1sinB

【详解】由题意有：，

sin2A2sinAcosAcosAcosB

所以sinAcosBcosA1sinB，

所以cosAsinAcosBcosAsinBsinAB，即sinABcosA，故A正确；

πππππ

由sinABcosAsinA，所以ABA或ABπA，而B，即2AB，

22222

ππππ

由2AB00B，又ABA00A，

2222

πππ

又因为ABCπ，所以CA，即CA，所以ABC是钝角三角形，故D正确，B错误；

222

πa2c2b2

又0B，所以cosB0a2c2b2，故C正确；

22ac

故选：B.

7．A

【详解】结合函数fxAsinxA0,0,π的图象，设其最小正周期为T，

πππT2ππ

则，所以T=，因ω0，所以4，

31242ω2

又因为，所以，

fxmax1A1

5π5π5π

因1235，由图知，图象过点,1，则sin4=sin=1，

24246

224

5ππππ

所以2kπ,kZ，即2kπ,kZ，由π，可得，

6233

π

所以fxsin4x，故A错误；

3

ππ

把fx向左平移个单位可得ysin4x=sin4x是奇函数，故B正确；

12123

ππ5πkπ

由4xkπ，可得fx的对称轴为x，kZ，故C正确；

32244

ππ3π5k11k

由2kπ4x2kπ，kZ可得x,kZ，

232242242

5k11k

即fx的减区间为,，kZ，故D正确.

242242

故选：A.

8．D

【详解】对于选项A，由f2x2fx，用x2替换x得fx2fx2，

又fx2fx2，所以fxfx，且fx的定义域为R，所以fx为奇函数.

假设函数fx是周期函数，周期为TT0，则fxTfx，

由fx2fx2，得fxT2fxT2fx2，

所以fxT2fx2对任意xR都成立，取x2，得fTf0，

因为函数fx为奇函数，所以f00，所以T0，与T0矛盾.故fx不是周期函数，故选项A错误；

2

对于选项B，当0x1时，fxx11，又fx为奇函数，

所以当1≤x≤0时，0x1，

所以22，

fxfxx11x11

当x0时，f00，此时k取任意实数，方程fxkx都有实根x0，故选项B错误；

2

对于选项C，因为当x1,0时，fxx11x22x，

fxfx22

Î-12x12x1x22x2

任取x1,x2[1,0]，，

22

2

xxxxxxx22xxx2xx

f12122121122212，

22242

2222

fx1fx2xxx2xx2xx2xxxxx

f1211221122212

22242

2

x22xxx2xx

1122120，

44

fx1fx2xx

所以f12，C选项错误；

22

2

对于D选项，当0x1时，fxx11，

2

当1≤x≤0时，fxx11，

由fx2fx2得

2

当2x3时，0x21，fxfx22x33，

当3x4时，1x22，fxfx22，因为f2x2fx，

以x2代x，得f4x2fx2，所以fx22f4x，

所以fx2f4x24f4x，

因为，所以22，

04x1fx44x11x33

22

当2x1时，0x21，fxfx22x2112x11，

22

当1x2时，1x20，fxfx22x2112x11.

在同一坐标系内作出函数yfx，x2,4的图象，和直线yxm的图象，如图

观察图象可知，当直线yxm与fx在0,1和1,0上的图象相切时，fx的图象与直线yxm在

x2,4上恰有3个交点.

yxm

21

由2，消去y得xxm0，由0，得14m0，所以m；

yx114

yxm

21

由2，消去y得xxm0，由0，得14m0，所以m.

yx114

1

所以fx的图象与直线yxm在x2,4上恰有3个交点时m，故选项D正确.

4

故选：D

9．ACD

【详解】对于A：设zabi,a,bR，若zz，则abiabi，即b0，则za为实数，A选项正确；

2

22

对于B：若z1i，则1i12122,1i=1+i2+2i=2i，B选项错误；

2

对于C：因为zi32，则zzi33izi33i2312210，则z的最

大值为102，C选项正确；

对于D：若z3i20256i2026=3i6，则z在复平面内对应的点6,3在第二象限，D选项正确；

故选：ACD.

10．ACD

【详解】由频率和为1可得：100.0050.015a0.025a0.0100.0051，

解得：a0.020；

利用中点值来估计平均数：

850.05950.151050.21150.251250.21350.11450.05114，故A正确；

树苗高度的下四分位数，即25%分位数，设下四分位数为t，

则0.050.15t1000.020.25，解得：t102.5，

即树苗高度的下四分位数的估计值为102.5，故B错误；

根据频率可计算高度位于第一组和第七组的样本树苗各有0.051005棵，

从这10棵树苗中随机抽取2棵，记他们的高度分别为x，y，

2C24

5

则xy10的概率为p2，故C正确；

C109

已知落在80,90的平均高度是88，方差是8，落在90,100的平均高度为96，方差是4，

由频率分布直方图可知：两组树苗落在80,90和90,100的频率分别为0.05,0.15，

0.050.15

可得这两组树苗合并后的平均数为：x8896227294，

0.050.150.050.15

m2n2

根据分层计算的方差公式222，

ss1xx1s2xx2

mnmn

0.0520.152

可得：s2894884949617，故D正确；

0.050.150.050.15

故选：ACD

11．BC

【详解】正方体截面要是三角形，则该截面必须与同一顶点出发的三条棱相交，

因为该截面要过点M,N，所以M,N只能都在最左侧（或者最右侧）截面才是三角形,

根据正方体性质得到该三角形为等腰三角形，如图以ECD1为例，|CD1|22，

设|EC||ED1|a，其中2a22，

2

22

2

则由余弦定理得到aa222a84，所以CED为锐角，

cosCED101

12a22a2a2

△

所以CED1必定为锐角三角形；

所以过点M，N的正方体截面若为三角形只能是锐角三角形，选项A错误；

以点B1为原点，B1A1,B1C1,B1B所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则B10,0,0,B0,0,2,M0,m,2,0m2,N2,n,0,0n2,

则BB10,0,2，MN2,nm,2，

则BB1MN020nm224，选项B正确；

直线BB1与直线MN所成角为

BB1MN42

则cos，

2222

BB1MN22nm28nm

232

因为0nm4，所以cos,，选项C正确；

32

π

面AADD的法向量为m1,0,0，设直线MN与面AADD夹角为α0,，

11112

MNm232

则sin,因为22MN23，所以sin，

MNmMN32

因此直线MN与面AADD夹角的最大值为，选项D错误.

114

故选：BC

12．720

32322333

【详解】由题意得：T4C532xC532x720x，

故答案为：720.

13．23

【详解】连接AD,OA，

因为线段PO恰经过ABC的外心D，

所以PO平面ABC，垂足为D，

又因为AD平面ABC，所以POAD，

因为球O的半径为3，所以OPOA3，

12

又因为PD2DO，所以ODOP1，DPOP2，

33

在Rt△OAD中，AD2OA2OD2918，

在Rt△PAD中，PAAD2DP28423.

故答案为：23.

14．0,e

【详解】由题意有：a0，又ax2axlnaexlnx0，

ex

ln

x

所以xexalnx，

axxlnaelnxaxlnelnxx

aex

a

lnxex

令fx，即ffx，

xa

1lnx

又fx，由fx0lnx10xe，

x2

所以fx在0,e上单调递增，

所以fx在0,1上单调递增，

exexexex

由ffx，所以xa，令gx，即agx，

aaxxmin

x1ex

所以gx，

x2

所以当0x1时，gx0，所以gx在0,1单调递减，

所以gxg1e，所以ae，又a0，

所以0ae，

故答案为：0,e.

15．(1)a1

(2)b1

【详解】（1）方法一：存在x0,使得lnxax10成立，

lnx1

即存在x使得a成立

x

lnx1lnx

设mx，mx，

xx2

令mx0，x1，

当x0,1时，mx0，mx单调递增，

当x1,时，mx0,mx单调递减，

，

mxmaxm11

a1

1

方法二：x0,，fxa，

x

①当a0时，fx0，函数fx在0,上单调递增，因为f1a10，

所以总存在x使得fx0成立

11

②当a0时，令fx0解得0x；令fx0解得x，

aa

11

故此时函数fx在0,上单调递增，在,上单调递减，

aa

1111

fxflna×+1=ln

maxaaaa

因为存在x0,使得fx0成立，

1

fxln0，0a1

maxa

综上所述，a1；

（2）由（1）可知，当a1时，fx0在x0,恒成立，

所以函数exbx10在x0,恒成立，

ex1

方法一：问题转化为b在x0,恒成立，

x

ex1exxex1

设qx，x0,，qx，

xx2

设pxexxex1，当x0,，pxexx0，

px在0,单调递增，

当x0,，pxp00，

故qx0，qx在x0,单调递增，

ex1ex

根据洛必达法则，limqxlimlim1，

x0x0xx01

qx1，

b1；

方法二：设hxexbx10，hxexb，

①当b1时，

hx0在x0,恒成立，hx在x0,单调递增，

，即在恒成立，

hxminh00hx0x0,

②当b1时，

由hx0，解得xlnb，hx在xlnb,单调递增，

由hx0，解得xlnb，hx在x0,lnb单调递减，

，

hxminhlnbh00

即hx0在x0,不能恒成立，舍去；

综上所述，b1.

16．(1)3

(2)2

a2c2b21

【详解】（1）ABC中，由a2c2b2ac得cosB

2ac2

π

B0,π，B

3

如图所示，过C作CHAB于H，

又平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，CH平面ABC，

CH平面ABDE

33

CH即为点C到平面ABDE的距离，CH

2

33

CH

在ABC中，BC23

sinABC3

2

（2）ABC中，由题意a2c2b2ac可知：9c2133c，

c4c10,c4或1（舍），即AB4，

如图所示，过A作AFBC于F，AF与CH交于点O，

由（1）可知CH平面ABDE，

BD平面ABDE，

BDCH，同理可证BDAF，

又CHAFO，CH，AF平面ABC，

BD平面ABC

AB平面ABC，

BDAB

S矩形42

BDABDE2

AB4

12

17．(1)gxxx0

2x

2n1

(2)1

Tn

e

2

【详解】（1）由题意得fx2x，设切点为xn,xn2，由切线几何意义得切线斜率为2xn，

2

故切线方程为y2xnxxnxn2，

x22

则令y0，得xn，

2xn

2

xn2

由给定定义知xn1,0在该切线上，所以xn1gxn，

2xn

x2212

所以gxxx0；

2x2x

x22

n2

22

x2x22xx22x2xn2

（2）由题yn0，且n1nnn2，

nyn1222yn

x2x2xn2x22x2

nn12nnxn2

2xn

2

所以lnyn1lnyn2lnyn，

所以数列lnyn是一个首项为lny11，公比为2的等比数列，

2n1

所以n1，所以2n11，

lnyn2yne

e

n1n112n

124212422n1

1111112

所以11.

Tn

eeeeeee

18．(1)40000条

(2)（i）592；（ii）有90%的把握认为一网鱼的市场总价超过500元

【详解】（1）根据题意得m1000，n2000，k5301550，

mn10002000

所以N40000（条）.

k50

（2）（i）由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体，

1

一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为，

10