高中数学人教A版选择性必修第二册构造法在导数中的应用

构造法在导数中的应用导数关系构造函数的一些常见结构1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x).2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.3.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x).4.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,g（x）).5.对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x).6.对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x).7.对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x).一、利用f(x)与ex构造可导型函数例1f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)＞f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是()A.f(a)＜eaf(0) B.f(a)＞eaf(0)C.f(a)＜eq\f(f（0）,ea) D.f(a)＞eq\f(f（0）,ea)总结(1)出现f′(x)－f(x)的形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,ex)；(2)出现f′(x)＋f(x)的形式，构造函数F(x)＝f(x)ex.二、利用f(x)与xn构造可导型函数例2已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.总结(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f（x）,xn).三、利用f(x)与sinx，cosx构造可导型函数例3(多选)已知定义在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)＜0成立，则()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))D.eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))总结f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(f（x）,sinx)，F′(x)＝eq\f(f′（x）sinx－f（x）cosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(f（x）,cosx)，F′(x)＝eq\f(f′（x）cosx＋f（x）sinx,cos2x).四、构造具体函数例4若lnx－lny＜eq\f(1,lnx)－eq\f(1,lny)(x＞1，y＞1)，则()A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1总结不等式两边凑配成相同的形式，构造具体的函数利用单调性求解.跟踪训练1、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为()A.(－∞，－2) B.(－2，2)C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)2、已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则()A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)4、函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋eq\f(2,x)f(x)＞0，则不等式eq\f(（x＋2023）f（x＋2023）,3)＜eq\f(3f（3）,x＋2023)的解集为()A．{x|x＞－2020}B．{x|x＜－2020}C．{x|－2023＜x＜0}D．{x|－2023＜x＜－2020}5、已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有()A．e2023f(－2023)<f(0)，f(2023)>e2023f(0)B．e2023f(－2023)<f(0)，f(2023)＜e2023f(0)C．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)>e2023f(0)D．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)＜e2023f(0)6、函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是()A．x>1 B．0<x<1C．x>ln2 D．0<x<ln27、f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子成立的是()A．f(a)<eaf(0) B．f(a)>eaf(0)C．f(a)<eq\f(f0,ea) D．f(a)>eq\f(f0,ea)8、已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋eq\f(fx,x)>0，则对于任意的a，b∈(0，＋∞)，当a>b时，有()A．af(a)<bf(b) B．af(a)>bf(b)C．af(b)>bf(a) D．af(b)<bf(a)9、已知正数α，β满足eα＋eq\f(1,2β＋sinβ)>eβ＋eq\f(1,2α＋sinα)，则()A．2α－β＋1<2 B．lnα＋α<lnβ＋βC．eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)>eq\f(4,α＋β) D．eq\f(1,eα)＋eq\f(1,α)>eq\f(1,eβ)＋eq\f(1,β)10、已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(1,e)，c＝eq\f(ln3,3)，则a、b、c的大小关系为()A.b＜c＜a B.c＜a＜bC.a＜c＜b D.c＜b＜a11、已知a，b∈(0，3)，且4lna＝aln4，4lnb＝bln2，c＝log0.30.06，则()A.c＜b＜a B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.b＜c＜a12、若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_________.13、已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＜0.若a＝eq\f(f（e）,e)，b＝eq\f(f（ln2）,ln2)，c＝eq\f(f（3）,3)，则a，b，c的大小关系是________.14