2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合M=xx2−3xA．−3,−1,1,4 2．某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（

）A．50 B．100 C．200 D．2503．已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P2,3，则CA．14 B．34 C．124．从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为偶数，则这两个数为一奇一偶的概率为（

）A．12 B．35 C．345．过点A−2,0作圆x2+y2−4xA．23 B．4 C．26 6．已知定义在R上的奇函数fx=aA．b=1 B．ac>0 7．定义声强级公式L=10lgII0，两个声源的声强级L1,LA．0,100 B．10lg2，+8．记不超过x的最大整数为x（如2.1=2，−0.1=−1），若函数fx=sinA．1440 B．1441 C．1445 D．1446二、多选题9．在△ABC中，记AB=A．e1与eB．向量3e1+C．若A为直角，则eD．若点E满足BE=10．已知数列an的前n项和为Sn，且an+1A．a2=5C．k=12n11．对于棱长为1的正方体ABCD−AA．三棱锥A−PB．该正方体内能同时放入半径为12和1C．该正方体内能整体放入一个体积为3πD．该正方体任意两个顶点与点P所成截面周长的最大值为2三、填空题12．已知复数z的实部与虚部互为相反数，且z=2，则z13．过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在14．已知定义在−π2,π2上的曲线y四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求A；(2)若a=7，b=16．如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，F，G分别为ED(1)证明：FG//平面(2)若点F到平面AEB的距离为3217．已知点A1(−2,(1)求点P的轨迹方程；(2)若存在直线l与点P的轨迹交于A,B两点，点Q为线段AB的中点，且直线l①证明：O,②若直线l与直线y=±12x分别交于E18．已知函数fx(1)求fx在x=0(2)当a∈0,(3)若a=e，证明：当n≥2且19．在平面直角坐标系xOy中，定义集合Ωn=OAii,(1)当n=5时，从集合Ω5中随机选取3个不同的向量OAi，记两两之间夹角为θ(2)对i=2,3,4,⋯,n，记△OAi−1Ai(3)设数列bn，对∀n≥①直接判断命题“OA②证明：bn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ABCDBBCCACDBCD题号11答案AD1．A【详解】x2−3x−∴M=−2．B【详解】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为200×3．C【详解】设椭圆方程为x2a2+y点P2,3在椭圆上，代入得4得4a即4即a即a得a2=1由于a>故a2=16离心率e=4．D【详解】事件A表示至少有一个为偶数，事件B表示这两个数为一奇一偶，则PA根据条件概率得PB5．B【详解】由x2+y2−4x记切线AC,AB与圆x2又AF=4，所以∠从而可得△BAC所以F2,0为△所以外接圆的半径为AF6．B【分析】先由f(−x)=−f(x)，对比展开式系数，得a+b=【详解】定义域为R的奇函数满足f(−x所以f(则a+b=0，对于A选项：由a+b=0得b=对于B选项：化简得f(x)=a若f(x)有2个极值点，则f′(对于C选项：已得d=0，若d=a，则a=对于D选项：由前分析知a+7．C【分析】设x=L110,y=L2【详解】设x=L110,由10L110+10令a=10−x,b=由a=10−而L1故L1L2当且仅当−lga=由于ab≤a故此时25×故L1L28．C【分析】先确定fx、g【详解】解：∵f∴fx的周期为当0<x<1时，当1≤x<2时，当2≤x<3时，当3≤x<4时，当x=4时，x=又gx=2则0<所以，在gx一个周期内fx=∵722又0<x≤5时，fx∴解得1445≤a<1446，则9．ACD【详解】对于A，在△ABC中，AB与AC所以e1与e对于B，设3e则3=λ1=−对于C，若A为直角，则AB所以e1对于D，由于BE==110．BCD【分析】由累加法求数列an通项，对A，计算a2并与5比较判断；对B，利用分组求和法求前n项和，代入n=9计算判断；对C，并项求和计算判断；对D，将【详解】已知an+1−aan又当n=1时，a1对于选项A：a2对于选项B：前n项和Sn当n=9时，对于选项C：k=因为a2m−所以k=对于选项D：anan+1=2因此anan11．AD【分析】利用VA−PB1D1=V【详解】对于A，VA−PB1D1三棱锥A−PB1D此时VA对于B，半径为12的球放入正方体ABC且与正方体的各个表面均相切，此时能放入的另一个最大的球，应与同一个顶点处的三个面相切，同时与半径为12设该球的半径为r，则3r+r所以该正方体内不能同时放入半径为12和1对于C，正方体内能放入体积最大的圆锥即为能放入正六棱锥B1此时圆锥的底面圆为正六边形MN又正六边形MNEFGH可求得正六棱锥B1−M所以此时圆锥的体积为13故该正方体内不能整体放入一个体积为3π对于D，当正方体的两个顶点为同一棱上的两个顶点或同一面上对角线的顶点时，且截面为四边形，此时截面为对角面所截的截面周长最大（如截面ACC1当正方体的两个顶点为面对角线的两个端点D1可得截面为CB1D所以该正方体任意两个顶点与点P所成截面周长的最大值为2+12．1−i【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得.【详解】由题可设z=则z=因为z=2，所以a=所以z=1-13．3【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，进而得到直线l的方程，联立抛物线的方程，可求得A，B两点（A在x轴上方）的横坐标，根据抛物线定义求得AF,B【详解】易知抛物线y2=4x的焦点F所以直线l的方程为y-0=代入y2=4x得所以x=13所以A3所以AF14．(【分析】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:393198030015．(1)π(2)3【分析】（1）结合题设，根据诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求解即可；（2）先利用余弦定理求得c=【详解】（1）由B+C=代入条件得：2cos即23则3sin2A因为A∈(0所以2A+π（2）由余弦定理得a2代入a=7,整理得c2−3因此，△ABC16．(1)证明见解析(2)85【分析】（1）利用线面平行判定定理证明结论；（2）利用四棱锥的性质，结合已知条件求出相关长度关系，建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，求出相关平面法向量，再利用向量夹角余弦公式求出二面角的正弦值．【详解】（1）证明：取AE中点H，连接B∵F为ED中点，所以FH//A底面ABCD是正方形，G所以BG//AD故FH//BG且F∴FG//又∵BH⊂平面AEB∴FG//（2）∵点E的投影在AD∴平面AED⊥由于平面AED⊥平面ABC∴AB⊥平面又∵AB⊂∴平面ABE⊥过点F作线段FR⊥AE，交AE于R，又平面AED所以FR⊥面因此，点F到平面AEB的距离即为FR作DM//FR交AE于∴AM=AD∴△EA设点E的投影为H，以点A为坐标原点，取AB方向为x轴正方向，取AD方向为取HE方向为z则A(∵点F是ED∴F(0设平面AGF的法向量为n=令a=12,b又∵平面AGD的法向量为∴cos设二面角F−AG−D17．(1)x(2)①证明见解析；②当直线l的斜率k∈(−∞,−12)【分析】（1）根据两点间斜率公式得到轨迹方程；（2）①由点差法和双曲线上一点的切线斜率公式可证；②先得到Q是EF与A【详解】（1）设点P(x,y)由4kA1整理得：x24−y2（2）①设直线l:y=kx+m将A,B代入轨迹方程，有：x1两式作差得(x即得(y1−下面证明x2a2−y理由如下：设过点x0,y0的切线方程为1a由Δ化简得y0因为k=y−整理得xy同除以a2b2即x2因为x02a所以x2联立x02a从而x0故−1即−1令t=x0xa解得t=1，即故过x24−y2故过点P的切线斜率为xp4yp，由直线l与点即ypxp=14k，故k②联立l:y=kx利用韦达定理可得x1+x故x0y1故y0=y联立l:y=kx设Ex3,y3则y3+y则EF的中点坐标为−4km4在平行四边形HIJK中，H两边平方相加可得HJ2+取对角线交点R，则有HI由于Q是EF因此PA2+故PA因为直线y=±1所以当直线l的斜率k∈(−∞,所以AB2−当直线l的斜率k∈(−12所以AB218．(1)y(2)1个(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）求导分情况讨论，再结合零点存在定理求出零点个数；（3）把证明结论进行转化，利用数列的性质结合导数讨论函数单调性，进而证明结论．【详解】（1）已知函数fx=1①当a∈(0在(−∞,loga在(loga3,+∵loga3此时f(x)=1②当a∈(1,+∞)时，函数y在(−∞，loga∵loga3此时f(x)=1综上，f(x)在x=0（2）当a∈(0,1证明：令ax0=3，得x0故当x≤loga3时，当x>loga3时，①当x≤loga3时，当a∈(0,1)时，当x→−∞当x=loga而loga3<即f(x)②当loga3<x<0时，③当x≥0时，f(令g(则g′(x)=2x+a又∵f′(0)根据零点存在定理可知，必然存在x1∈(在x∈0,x1在x∈x1,+故f(x)∵f(0∴f(x)在0,综上所述，当a∈(0,1（3）当a=e，且x≥2时，f(记数列an=nlnn，数列a记数列bn的前n项和为Bn=我们只需证明an<bn在记ϕ(x)则ϕ′记m(x)显然m′(x∴m(x)则ϕ′(x)≥∴ϕ(x当n=2时，综上，原命题得证．19．(1)分布列见解析；期望为3(2)4或5(3)①真命题；②证明见解析【分析】（1）先确定X的取值，然后计算出对应的概率，列出分布列，按照期望的计算公式计算结果.（2）因为Y满足超几何分布，可以求出闯关成功的概率Pn，然后通过作差法求出参赛者中奖概率最大时正整数n（3）（i）依据向量的三角不等式判断即可.（ii）先表示出n阶和n+1阶向量和的表达式，然后根据集合Ωn的定义求出O【详解】（1）由题意，向量OA1、OA2、为了简化，我们不妨将一对向量定义为向量对，例如将取出的向量OA1相邻向量对有1，22①X=2，3个向量中恰有两对相邻，满足条件的组合：1,2,②X=1，3