初中数学八年级（下）第四章《因式分解》单元复习教学设计

初中数学八年级（下）第四章《因式分解》单元复习教学设计

一、指导思想与理论依据

本节课教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，全面落实“立德树人”根本任务。课程设计深度融入“发展学生核心素养”的核心理念，强调以学生发展为本，以数学基本思想（特别是转化思想、整体思想、模型思想）的形成为主线，以提升学生“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）与“四能”（发现和提出问题、分析和解决问题的能力）为目标。在复习课的设计上，摒弃传统的“题型罗列+机械重复”的模式，转而采用“大单元教学”理念，将因式分解置于整式乘法与分式、一元二次方程乃至函数学习的整个知识链条中进行审视，构建结构化、系统化的知识网络。课堂设计遵循“学为中心”的教学观，通过创设开放性的问题情境和变式训练，激发学生的深度思维，引导学生在自主梳理、合作探究、反思质疑中，实现对知识的深度理解与方法的灵活迁移，最终达成数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的进阶。

二、教学背景分析

（一）课标分析

课程标准在“数与代数”领域对因式分解的要求是：理解因式分解的意义，能运用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。课标强调对法则的理解而非单纯的记忆，强调在具体问题中感受因式分解与整式乘法的互逆关系，体会其作为数学运算与变形工具的价值。【重要】这要求复习课不仅要巩固技能，更要深化对概念本质的理解，即因式分解是“将一个多项式化成几个整式的积的形式”的恒等变形，是解决许多数学问题（如简便计算、代数式化简求值、解方程等）的基础工具。

（二）教材分析

本章是北师大版八年级下册第四章，是整式乘法的逆用与深化。它上承整式的加减乘除运算，下启分式的约分与通分、一元二次方程的解法（特别是因式分解法）以及二次函数的图像与性质。本章内容在全书中起到“枢纽”作用。教材编排了“因式分解”、“提公因式法”、“公式法”三节内容，结构清晰。复习课需要将这三部分内容有机整合，重点梳理提公因式法（公因式的确定、提尽公因式）和公式法（平方差公式、完全平方公式的结构特征）的核心步骤，并适当渗透十字相乘法（作为选学或拓展内容，以衔接后续一元二次方程的学习）以及分组分解法的初步思想。【非常重要】【高频考点】

（三）学情分析

1.知识储备：学生已经学习了整式的乘法运算，对单项式乘多项式、多项式乘多项式（特别是公式法的正向运用）有较好掌握。这为理解因式分解的互逆关系奠定了基础。

2.认知特点：八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们能够进行简单的推理，但对于需要整体观察、灵活变形的问题，容易产生思维障碍。例如，对公因式提取不彻底，对公式的结构判断不准（特别是系数不是1、指数不是2的情况），对分解是否彻底缺乏检验意识等。【难点】

3.学习障碍：最易出现的错误主要集中在：（1）对“公因式”理解不全面，只提系数不提字母，或提不尽；（2）平方差公式与完全平方公式混淆，分不清适用条件；（3）分解因式后，忽略括号内是否还能继续分解；（4）对最终结果的书写格式不规范（如中括号未去掉、相同因式未写成幂的形式）。【基础】【高频错点】

三、教学目标

基于以上分析，制定如下教学目标：

1.知识与技能：理解因式分解的意义，熟练掌握提公因式法和公式法（平方差、完全平方）分解因式的基本技能；能准确判断多项式特征，选择合适的方法进行分解，直至结果彻底。【重要】

2.过程与方法：经历因式分解知识的梳理与建构过程，进一步体会类比、转化、数形结合及整体思想；通过一题多解、变式训练，提升观察、分析、综合运用知识解决问题的能力。【核心素养】

3.情感态度与价值观：在小组合作与互评中，培养严谨的治学态度和批判性思维；感受因式分解在数学内部（如简便计算）的简洁美和实用价值，增强学好数学的信心。

四、教学重难点

1.教学重点：灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解，并确保分解彻底。【高频考点】

2.教学难点：准确识别多项式的结构特征（特别是需要先变形或整体代换的情形），合理选择分解策略；对分解结果进行检验。

五、教学方法与准备

1.教学方法：采用“问题驱动—自主梳理—合作探究—变式提升—归纳建模”的教学模式。通过核心问题链引导学生深度思考，借助小组合作突破难点，利用多媒体辅助展示思维过程。

2.教学准备：制作多媒体课件（PPT），涵盖知识框图、典型例题、变式训练及拓展提升内容；准备小组合作学习任务单；预设学生可能出现的典型错例。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）开门见山，目标引领（约3分钟）

教师直接板书课题：第四章《因式分解》单元复习。随后，通过简洁的语言引导学生明确本节课的三大任务：第一，梳理知识，编织网络；第二，辨析易错，提升技能；第三，综合运用，感悟思想。明确学习目标，使学生带着任务进入复习状态，变被动接受为主动探究。

（二）自主梳理，建构网络（约8分钟）

【基础回顾】教师引导学生快速回顾：

1.什么叫做因式分解？它的对象是谁？结果有何要求？（对象是多项式，结果是整式的积的形式，且必须分解彻底）它与整式乘法是何关系？（互逆变形）

2.我们学习了哪些分解因式的方法？

学生回答后，教师利用PPT动态呈现如下知识框图（用文字描述）：

核心：因式分解的定义（整式乘法→多项式=因式×因式）

方法一：提公因式法

确定公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）

提取公因式后，括号内项数不变，注意符号变化。

方法二：公式法

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)【特征：两项、平方、异号】

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²【特征：三项、两平方项同号、中间项是首尾积的2倍】

终极原则：分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【设计意图】通过快速回顾与框图构建，将零散的知识点系统化、结构化，帮助学生形成清晰的认知地图，为后续的灵活运用奠定基础。【重要】

（三）诊断练习，查漏补缺（约7分钟）

【基础夯实】教师出示一组判断题和简单分解题，旨在检测学生对基本概念和基本方法的掌握情况，特别是易错点。

1.判断下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

(1)(a+3)(a-3)=a²-9

(2)a²+2a-3=a(a+2)-3

(3)4a²-1=(2a+1)(2a-1)

(4)x²+4x+4=(x+2)²

学生快速口答，并说明理由。重点辨析(2)不是因式分解，因为结果不是积的形式。

2.直接分解因式：

(1)5x²y-10xy²【学生板演，强调公因式是5xy，而非5x或5xy²】

(2)4a²-9b²【强调写成(2a)²-(3b)²再套用公式】

(3)x²+6x+9【强调完全平方公式的结构特征】

教师巡视，收集典型错误（如提公因式不彻底、符号错误、漏项等），并用实物投影展示，引导学生“找茬”和“会诊”。【重要】

【设计意图】通过诊断性练习，暴露学生在概念理解和基本技能上存在的共性问题，将“错误”作为一种教学资源，通过辨析和修正，加深对正确方法的理解，夯实基础。

（四）典例精析，提升思维（约15分钟）

本环节设置三个层次的例题，由浅入深，层层递进。

【第一层次：灵活运用公式】

例1：分解因式

（1）9(a+b)²-4(a-b)²【高频考点】【难点】

（2）(x²+4)²-16x²

教学预设：

对于（1），引导学生观察整体结构，发现可看作[3(a+b)]²-[2(a-b)]²，符合平方差公式。关键在于把(a+b)和(a-b)看作一个整体，运用整体思想。分解后得到(5a+b)(a+5b)，并提醒学生检查结果是否需要化简。

对于（2），引导学生观察，这是平方差公式的形式吗？先分解为[(x²+4)+4x][(x²+4)-4x]，即(x²+4x+4)(x²-4x+4)。此时，每个括号内是否还能继续分解？学生能发现(x²+4x+4)和(x²-4x+4)又分别符合完全平方公式，最终结果为(x+2)²(x-2)²。此题综合运用了平方差和完全平方公式，强调了“分解彻底”的重要性。【非常重要】

【第二层次：先变形，后分解】

例2：分解因式

（1）2a(x-y)-3b(y-x)【热点】

（2）(m-n)³+4(n-m)

教学预设：此类问题的核心是符号处理。引导学生发现(y-x)与(x-y)互为相反数，可以将(y-x)变形为-(x-y)，或者将(x-y)变形为-(y-x)。关键在于提公因式时，保证符号处理正确。对于（2），先化为(m-n)³-4(m-n)，再提取公因式(m-n)，得(m-n)[(m-n)²-4]，进一步分解(m-n-2)(m-n+2)。通过此类变式，训练学生敏锐的观察力和对互为相反数关系的转化能力。

【第三层次：综合应用，感受价值】

例3：阅读与思考

给出材料：在算术中，我们知道若整数a能被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。在代数中，也有类似的概念。例如，对于多项式x²-4，因为x²-4=(x-2)(x+2)，所以我们说x²-4能被(x-2)或(x+2)整除。

问题：已知多项式2x³-x²+m有一个因式是2x+1，求m的值。

教学预设：这是因式分解的逆向应用，难度较大，可作为小组合作探究题。引导学生思考：如果2x+1是它的因式，那么2x³-x²+m一定能写成(2x+1)乘以另一个整式。如何确定另一个整式？可以引导学生用整式除法思想，或者采用“待定系数法”。设另一个因式为(x²+ax+b)，展开(2x+1)(x²+ax+b)=2x³+2ax²+2bx+x²+ax+b=2x³+(2a+1)x²+(2b+a)x+b。与原多项式2x³-x²+0x+m对应系数相等，得到方程组：

2a+1=-1=>a=-1

2b+a=0=>2b-1=0=>b=0.5

m=b=0.5

所以m=0.5。此题不仅考查了因式分解与整式乘法的互逆关系，更渗透了方程思想和待定系数法，为后续学习更高次数的因式分解和函数知识埋下伏笔。【非常重要】【拓展延伸】

（五）分层练习，巩固内化（约8分钟）

学生独立完成练习任务单上的题目，分为A组（必做）、B组（选做）、C组（挑战）。

A组（基础巩固）：

1.分解因式：(1)-3ma³+6ma²-12ma(2)16x⁴-81y⁴

2.计算：2024²-2023²（利用因式分解简便计算）

B组（能力提升）：

3.分解因式：(1)(a²+1)²-4a²(2)已知a+b=3,ab=2，求a³b+2a²b²+ab³的值。

C组（思维拓展）：

4.无论x取何实数，多项式x²-4x+5的值都是正数吗？请说明理由。

【设计意图】分层练习尊重学生的个体差异，使不同层次的学生都能获得成功的体验。A组题巩固双基，强调运算的准确性；B组题注重知识的综合运用和整体思想的渗透，其中B组(2)是【高频考点】，通过因式分解实现降次代入，简化求值；C组题将因式分解与配方结合，用于证明不等式，实现知识的跨章节融合，培养学生的综合素养。教师巡视，对学困生进行个别指导，收集共性问题进行集中讲解。

（六）课堂小结，提炼升华（约4分钟）

教师引导学生从以下三个方面进行反思与总结：

1.知识层面：今天我们复习了因式分解的哪些知识？最关键的是什么？（最关键的是“分解彻底”）

2.方法层面：在解决因式分解问题时，我们通常按照怎样的步骤进行？（一“提”二“公”三“公检”，即先看有无公因式可提，再看能否套用公式，最后检查是否分解彻底。对于三项以上的多项式，有时还需考虑分组分解的思想。）【重要】【方法论】

3.思想层面：在今天的复习中，我们体会到了哪些数学思想？（整体思想、转化思想、方程思想、待定系数法等）

教师顺势提炼，指出因式分解不仅是本章的核心内容，更是贯穿初中代数学习的“金钥匙”，希望同学们能熟练掌握这把钥匙，为后续学习打开更多智慧之门。

（七）布置作业，巩固延伸（约1分钟）

1.必做题：完成复习学案中的【基础演练】与【综合应用】部分。

2.选做题：思考题——请设计一个关于因式分解的实际问题，并尝试解决。（旨在培养学生的数学建模能力和应用意识）

3.预习任务：预习下一章《分式》，思考因式分解在分式的约分和通分中会起到什么作用？【体现大单元教学理念】

七、板书设计

采用结构化板书，左侧为主体知识区，中间为核心例题区，右侧为易错点警示区。左侧板书知识框图与“一提二公三检查”的口诀；中间板书例1、例2的规范解答；右侧记录学生练习中暴露的典型错误，如“公因式提不尽”、“公式记混”、“结果不彻底”等，形成显性的警示栏。【重要】

八、教学评价与反思