初中数学七年级下册 全等三角形辅助线专题（手拉手模型）教学设计

初中数学七年级下册全等三角形辅助线专题（手拉手模型）教学设计

一、教学内容分析

本专题属于北师大版七年级数学下册第四章三角形的核心拓展内容。全等三角形是初中平面几何的基石，而全等三角形的证明与构造，特别是辅助线的添加，是学生从直观几何向论证几何跨越的关键一步。手拉手模型作为一类极具代表性的几何共顶点旋转全等模型，不仅是本章的重点和难点，更是连接等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等特殊图形性质与全等判定方法的桥梁。本专题的教学内容聚焦于识别手拉手模型的基本特征、掌握其辅助线的添加原理（即构造旋转全等）、并能熟练运用该模型解决线段相等、角相等以及线段和差等问题。此内容深刻体现了课程改革理念中“注重数学本质”、“发展几何直观与逻辑推理”的要求，通过对一个基本模型的深入剖析，引导学生从纷繁复杂的图形中抽象出核心结构，培养其模型观念和化归思想，为后续学习相似三角形、圆的性质乃至高中阶段的几何与函数问题奠定坚实的思维基础。

二、学情分析

七年级学生经过前几个章节的学习，已经掌握了全等三角形的定义、性质和四种基本判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS），初步具备了一定的逻辑推理能力和几何语言表达能力。然而，学生在面对需要添加辅助线的几何问题时，常常感到无从下手，缺乏解题的方向性和策略性。对于旋转这一动态变换思想，学生虽有生活经验，但尚未形成系统的几何变换观念，难以主动将图形中看似分散的条件通过旋转的方式重新整合。因此，本专题的教学需要充分激活学生的已有认知，通过直观操作、观察发现、归纳概括，引导他们将静态的图形赋予动态的变换视角，从而深刻理解手拉手模型的生成过程与本质特征，实现从“被动接受”到“主动构造”的思维飞跃。

三、教学目标

（一）知识与技能目标【基础】

1.学生能准确识别手拉手模型的结构特征：两个共顶点的等腰（或等边）三角形，且顶角相等。

2.学生能理解并掌握手拉手模型中辅助线的添加方法，即连接两对“左手”与“右手”端点，构造出一对旋转全等三角形。

3.学生能熟练运用全等三角形的性质，通过手拉手模型证明线段相等、角相等，并能解决简单的计算问题。

（二）过程与方法目标【重要】

1.通过观察、操作、类比、归纳等数学活动，经历从特殊图形（等边三角形）到一般图形（等腰三角形）的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想。

2.通过对图形进行旋转分析，建立动态几何的视角，培养几何直观和空间想象能力。

3.经历模型提炼与应用的过程，初步掌握数学模型思想，提高分析问题和解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观目标

1.在探究与合作交流中，感受几何图形的对称美与和谐美，激发学习数学的兴趣和探索欲望。

2.体会几何证明的逻辑严密性，培养严谨求实的科学态度和勇于挑战的自信心。

四、教学重难点

（一）教学重点【核心】【高频考点】

手拉手模型的结构特征及其辅助线的作法，能熟练运用该模型证明线段相等。

（二）教学难点【难点】

理解手拉手模型的本质是旋转全等，能灵活地从复杂图形中剥离出基本模型，并能在变式图形中运用模型解决问题。

五、教学准备

多媒体课件（含几何画板动态演示）、导学案、三角板。

六、教学过程

（一）创设情境，直观感知——从特殊图形引入模型【基础】

1.情境引入：教师通过多媒体展示一个现实生活中的例子，如两个共用顶点的风车叶片，或者两个共用同一个顶点的等边三角形构成的图案。引导学生观察这两个等边三角形的位置关系。

2.操作尝试：让学生拿出课前准备好的两个全等的等边三角形纸片，将它们的一个顶点重合。请学生尝试旋转其中一个三角形，观察在旋转过程中，除了重合的顶点，其他顶点之间可以产生怎样的连接线。学生可能发现可以连接“左边”的两个端点和“右边”的两个端点。

3.问题驱动：教师设问：“当这两个等边三角形绕公共顶点旋转到任意角度时，除了它们各自的边，我们新连接的两条线段（即非公共顶点的连线）之间有什么数量关系？它们与这两个等边三角形的边又有什么关系呢？”由此引出课题，板书：【核心】全等三角形辅助线专题——手拉手模型。

（二）合作探究，构建模型——等边三角形手拉手【核心】

1.图形绘制与命名：教师在黑板上（或用几何画板）画出两个共顶点的等边三角形。设公共顶点为A，两个等边三角形分别为△ABC和△ADE。引导学生给图形命名，将顶点A比作“头”，点B和点C是第一个三角形的“左手”和“右手”，点D和点E是第二个三角形的“左手”和“右手”。（规定：从一个方向看，如从AB边顺时针或逆时针确定左右手，需统一约定，通常按字母顺序或图形位置约定）。

2.辅助线添加与全等探索：

教师提问：“我们新连接了BD和CE，构成了一个新的图形。请大家观察，图中有哪些三角形可能全等？”引导学生发现△ABD和△ACE。

师生共同分析已知条件：AB=AC，AD=AE。夹角∠BAD和∠CAE相等吗？为什么？

引导学生利用等边三角形的性质：∠1=∠2=60°，那么∠BAD=∠1+∠CAD，∠CAE=∠2+∠CAD。因此，∠BAD=∠CAE。

至此，学生可以得出△ABD≌△ACE（SAS）。

3.模型结论归纳：【高频考点】

师生共同总结：在两个共顶点且顶角相等的等腰三角形（此处为等边三角形）中，连接左左、右右（即非公共顶点的对应端点）所构成的两个三角形全等。我们将这种模型形象地称为“手拉手模型”。其核心结论是：①拉手线（BD和CE）相等；②拉手线（BD和CE）的夹角等于等腰三角形的顶角（或其补角，此处可引导学生用量角器测量验证，为后续证明铺垫）。

4.几何画板验证：教师使用几何画板动态演示旋转△ADE，无论旋转角度如何变化，△ABD与△ACE始终全等，BD=CE始终成立。让学生直观感受模型的普适性。

（三）类比迁移，深化理解——等腰直角三角形手拉手【重要】

1.变式探究：将两个等边三角形换成两个共顶点的等腰直角三角形，且顶角均为90°。即△ABC和△ADE是以A为直角顶点的等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。

2.小组合作：学生分成小组，仿照等边三角形的情形，画出图形，连接BD和CE。小组内讨论：

（1）图中有全等三角形吗？如果有，请找出并说明理由。

（2）你能证明BD=CE吗？

（3）拉手线BD和CE所夹的锐角是多少度？你能证明吗？

3.成果展示：小组代表上台展示证明过程。重点在于证明∠BAD=∠CAE，因为∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，所以相等，进而得证△ABD≌△ACE（SAS）。对于夹角问题，教师引导学生利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理或外角定理进行证明，得出BD与CE的夹角也是90°。

4.归纳提升：【难点】教师引导学生对比等边三角形模型和等腰直角三角形模型，总结手拉手模型的通用条件：两个共顶点的等腰三角形，且顶角相等。结论：拉手线相等，且拉手线的夹角（或其补角）等于等腰三角形的顶角。

（四）变式训练，模型识别——从复杂图形中抽离模型【核心】【高频考点】

1.图形叠加干扰：出示一个复杂图形，例如以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，连接BE、CD。提问：“在这个图形中，你能找到手拉手模型吗？谁是头？左手、右手分别是谁？”

引导学生分析：公共顶点是A吗？仔细看，△ABD和△ACE的公共顶点是A，是的！它们是以A为公共顶点的两个等边三角形。那么“左左”和“右右”的连接点D和C、B和E？这里我们连接的是D和C（左手连接右手？），以及B和E（右手连接左手？）。实际上，这里构成的全等三角形是△ADC和△ABE吗？

深入辨析：根据手拉手模型的构造，如果我们将△ABD的B和D分别定为右手和左手，将△ACE的C和E分别定为右手和左手，那么“手拉手”应该是B（右）与E（右）连接，D（左）与C（左）连接。但在本题中，连接的是BE和DC，这正是左右手对应连接的结果！因为从顶点A出发，AB和AC、AD和AE都是对应的腰。所以，△ABE和△ADC就是我们要找的拉手全等三角形。

证明：由等边三角形性质得AB=AD，AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，则∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC。因此△ABE≌△ADC（SAS），从而BE=DC。

2.变式训练2：在△ABC的外侧作正方形ABGF和正方形ACDE，连接FC、BE。求证：FC=BE，FC⊥BE。

学生独立分析，教师巡视指导。引导学生找到公共顶点A，两个等腰直角三角形（正方形的一半）ABF和ADE。连接FC和BE，即为拉手线。证明思路同上。

（五）拓展延伸，提升思维——模型倒置与双结论【难点】【热点】

1.反向手拉手：如果两个等腰三角形不是向外张开，而是有一个包含另一个，或者像旋转了一定角度后形成了交叉，模型还成立吗？例如，点D在△ABC内部，以AD为一边作等边三角形ADE。连接BE、CD，它们相等吗？

学生讨论，画出图形。教师引导学生：无论位置如何，只要它们共顶点且顶角相等，连接对应点，形成的三角形依然全等。因为构成全等的条件（SAS）始终成立，与具体位置无关。

2.探究多结论：【重要】在手拉手模型中，除了基本的线段相等，还有没有其他隐藏的结论？以等边三角形手拉手为例，设BD与CE交于点O，连接AO。

（1）证明AO平分∠BOE（或∠BOC的邻补角）。

（2）证明点A、B、O、D四点共圆？或A、C、O、E四点共圆？（结合角度相等推导）。

（3）证明存在一个三角形，其三个顶点分别在三条拉手线上，且与原三角形全等。

这些问题作为课后思考题，供学有余力的同学探究，进一步挖掘模型的丰富内涵。

（六）课堂小结，构建体系【基础】

引导学生从以下三个方面进行总结：

1.知识层面：【核心】我学会了手拉手模型：定义（共顶点的等腰三角形，顶角相等）、辅助线（连接对应端点）、核心结论（拉手线段相等，夹角等于顶角）。

2.方法层面：【重要】我经历了从特殊到一般的探究过程，掌握了从复杂图形中识别和构造基本模型的方法，体会了旋转变换在几何证明中的妙用。

3.思想层面：我进一步理解了化归思想，即把未知的、复杂的几何问题转化为已知的、简单的全等三角形问题。

（七）分层作业，巩固应用

1.基础巩固：【基础】完成课本及练习册中涉及利用手拉手模型证明线段相等的题目。

2.能力提升：【高频考点】已知：如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD。求证：AE=BD。并求AE与BD的夹角（小于平角的角）的度数。

3.拓展探究：【难点】在能力提升题中，连接C与AE、BD的交点P，你能发现CP平分什么角吗？请尝试证明。

七、教学反思

本教学设计紧扣课程改革理念，以“手拉手模型”为载体，通过问题驱动、操作探究、类比迁移、变式应用等环节，将静态的几何结论置于动态的探究过程中。教学重点放在引导学生经历模型的发现、构建、深化和应用的全过程，而非简单地灌输结论。通过从等边