小学数学五年级下册《求一个数比另一个数多（少）百分之几》教案

小学数学五年级下册《求一个数比另一个数多（少）百分之几》教案

一、教学指导思想与理论依据

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，深度融合建构主义学习理论、问题解决教学法以及学习迁移理论。教学不仅仅停留在算法规则的传授，而是致力于引导学生经历完整的“情境感知—问题抽象—模型建构—解释应用”的数学化过程。

1.核心素养为本：以发展学生的数感、运算能力、推理意识和模型意识为内核。通过解决“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的现实问题，强化对百分数作为“倍比关系”本质的理解，提升数据分析和量化表达现实世界的能力。

2.建构主义视角：将新知“求一个数比另一个数多（少）百分之几”与学生已有的认知基础——“求一个数是另一个数的百分之几”和“求一个数比另一个数多（少）几分之几”——进行有机联结。教学创设认知冲突，引导学生主动将分数问题的解决策略正向迁移至百分数领域，实现知识的自主建构与意义生成。

3.大单元教学观：将本课置于“百分数（二）”的单元整体中审视。本课是百分数从“意义理解”走向“综合应用”的关键转折点，是后续学习折扣、成数、税率、利率等复杂百分数应用题的基石。教学设计注重知识的结构化，帮助学生形成解决百分数问题的通用思维模型。

4.跨学科实践视野：突破纯数学计算的局限，有意识地选取与科学、社会、经济（如增长率、满意度、实验对比）等相关联的真实情境，培养学生运用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析现实世界、用数学语言表达现实世界的综合素养。

二、教学背景分析

（一）教材分析

1.纵向定位：本课隶属于青岛版（五四学制）五年级下册“百分数（二）”单元。此前，学生已在五年级上册学习了百分数的意义、读写及与分数、小数的互化，掌握了“求一个数是另一个数的百分之几”的基本方法。本课是百分数意义的深化与应用的拓展，其数量关系与“求一个数比另一个数多（少）几分之几”一脉相承。后续，学生将运用本课构建的模型解决更复杂的百分数实际问题，如增减幅度、盈亏计算等。

2.横向结构：教材通常通过一个核心情境（如植树造林、产品产量对比等）引出问题。其编排逻辑是：呈现问题→学生尝试用已有经验（分数方法）解决→引导转化为百分数问题→概括数量关系式→应用练习。本设计将在尊重此逻辑的基础上，深化探究过程，突出对“标准量”（单位“1”）的辨析这一核心难点，并补充“求少百分之几”的对比辨析，完善认知结构。

3.核心知识点：理解“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的数学本质是求“相差数”占“标准量”（即“比”后面的量）的百分之几。抽象出数量关系模型：（大数-小数）÷小数×100%，或（小数-大数）÷大数×100%（结果为负，表示少百分之几）。

（二）学情分析

1.认知基础：

1.2.优势：学生熟练掌握了百分数与分数、小数的互化；能准确计算“一个数是另一个数的百分之几”；在分数应用中，已经历过“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的学习，对“比较量”与“标准量”的关系有初步感知。

2.3.难点与易错点：①概念迁移的障碍：部分学生可能机械记忆分数方法，但未能理解其“倍比关系”的本质，导致迁移不畅。②单位“1”的确定：这是本节课的“命门”。学生极易混淆“谁与谁比”，从而错误地将“相差数”除以“比较量”，而非“标准量”。③结果表述的完整性：计算出的百分数本身是一个数值，学生容易遗漏“多”或“少”的定性描述。④对“少百分之几”的理解：部分学生误认为“甲比乙多a%”则“乙比甲少a%”，这是对标准量变化缺乏理解的典型表现。

4.心理与能力特征：五年级学生具备一定的自主探究与合作交流能力，抽象逻辑思维正在迅速发展，但仍需具体实例支撑。他们乐于接受挑战，对与生活紧密相连的数学问题兴趣浓厚。

（三）教学重难点

1.教学重点：理解并掌握“求一个数比另一个数多（少）百分之几”问题的数量关系和解题思路。

2.教学难点：准确判断单位“1”（标准量），理解“求少百分之几”与“求多百分之几”在思维模型上的同构性及标准量的差异性。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下指向核心素养发展的三维整合教学目标：

1.知识与技能

1.在具体情境中，理解“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的意义，明确其本质是求“相差量”占“标准量”的百分之几。

2.掌握此类问题的基本解题方法，能正确列式解答。

3.能清晰、完整地表述解题过程和结果。

2.过程与方法

1.经历从现实问题中抽象出数学问题、建立模型、解释应用的过程，体会类比、迁移、归纳等数学思想方法。

2.通过对比辨析、合作交流，发展分析数量关系、辨析单位“1”的逻辑推理能力。

3.学会用线段图等直观工具辅助分析复杂的百分数关系。

3.情感态度与价值观

1.在解决与科技、环保、生活相关的实际问题中，感受百分数在生活中的广泛应用，增强数学应用意识。

2.在探究活动中获得成功的体验，培养严谨求实的科学态度和合作精神。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含情境动画、互动练习题、动态线段图生成工具）；实物投影仪；设计并打印课堂探究学习单与合作讨论卡片。

2.学生准备：复习“求一个数是另一个数的百分之几”及“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的解决方法；直尺、铅笔。

五、教学过程实施

（一）创设情境，问题驱动（预计时间：8分钟）

1.情境导入，激活旧知

1.2.【课件出示】学校“科技节”两个年级的小发明作品数量统计图。

1.2.3.五年级：制作了120件作品。

2.3.4.四年级：制作了100件作品。

4.5.师：从图中，你能提出哪些我们已经学过的百分数问题？

5.6.预设生1：五年级作品数是四年级的百分之几？（120÷100=120%）

6.7.预设生2：四年级作品数是五年级的百分之几？（100÷120≈83.3%）

7.8.师：很好！这都是“求一个数是另一个数的百分之几”，关键是要找准谁是“单位1”。

9.引出新知，制造冲突

1.10.师：除了比较它们之间的倍数关系，我们还能从增长或比较的角度提出什么问题？

2.11.预设生3：五年级比四年级多做了多少件？（120-100=20件）这是一个具体的数量差。

3.12.师（追问）：这位同学提到了“多”。如果我们想从“程度”或“比例”上了解五年级比四年级“多”得怎么样，而不仅仅是一个具体多出的数量，可以怎样问？能不能也用上百分数？

4.13.引导得出核心问题：五年级的作品数比四年级多百分之几？

5.14.板书课题：求一个数比另一个数多百分之几。

【设计意图】从真实校园活动情境切入，通过复习旧知自然搭建脚手架。由“具体多多少”的差值问题，转向“多出的程度如何”的倍比问题，制造认知需求，使学生明确学习新知的必要性和方向性。

（二）自主探究，建构模型（预计时间：18分钟）

1.尝试解决，暴露思维

1.2.师：“五年级的作品数比四年级多百分之几？”这句话是什么意思？请同学们先独立思考，在学习单上尝试写出你的想法和算式，可以画图帮助理解。

2.3.学生独立尝试。教师巡视，收集不同做法（正确的、错误的），为后续交流做准备。

4.合作交流，明晰算理

1.5.小组讨论：在组内分享你的方法，说清楚：①你是怎样理解这个问题的？②你的算式每一步表示什么？③你们小组有没有不同的解法？

2.6.全班分享与辨析：

1.3.7.展示正确解法：

1.2.4.8.生A（先差后比）：我先算五年级比四年级多做了20件（120-100），然后看这20件是四年级的百分之几，因为是多“比四年级”，所以用20÷100=20%。算式是：（120-100）÷100=20%。

2.3.5.9.生B（先比后减）：我先算五年级是四年级的120%（120÷100=120%），那么五年级比四年级多的部分就是120%-100%=20%。

4.6.10.教师引导：

1.5.7.11.关键提问1：这两种方法有什么共同点？（最终结果相同，都是20%）

2.6.8.12.关键提问2：它们最核心的一步分别是什么？（方法A的核心是“20÷100”，方法B的核心是“120%-100%”）

3.7.9.13.关键提问3：“20÷100”中的“100”代表什么？（代表四年级的作品数，是作为比较的“标准”，即单位“1”）。在方法B中，为什么要减去“100%”？（这个“100%”代表的就是单位“1”——四年级的数量本身，五年级的数量包含了这个“1”和多的部分，减去“1”就得到多的部分占“1”的多少。）

4.8.10.14.动态课件演示线段图：

四年级：|———100%（单位“1”）———|(100件)

五年级：|———100%———|—多的部分—|(120件)

明确：求“多百分之几”，就是求“多的部分”占“标准量（四年级）”的百分之几。

9.11.15.辨析典型错误：

1.10.12.16.展示错误算式：（120-100）÷120。

2.11.13.17.师：这个算式求的是什么？（求的是“多的部分占五年级的百分之几”，这与问题要求不符。）错在哪里？（找错了单位“1”，把“比”后面的“四年级”这个标准量，错误地当成了五年级自己。）

18.抽象概括，建立模型

1.19.师：通过刚才的分析，谁能总结一下，解决“求一个数比另一个数多百分之几”这类问题的一般步骤和关键？

2.20.师生共同梳理：

1.3.21.找：找到比较的两个量，明确“谁”与“谁”比。“比”字后面的量就是单位“1”（标准量）。

2.4.22.差：求两个量的差（多的部分）。

3.5.23.除：用“差”除以单位“1”的量。

4.6.24.化：将所得的商化成百分数。

7.25.抽象数量关系式：

1.8.26.（较大的数-较小的数）÷单位“1”（较小的数）×100%

2.9.27.或更通用地：（比较量-标准量）÷标准量×100%（结果为正表示多，为负表示少，通常取绝对值表述为“多/少…%”）

10.28.板书核心关系：多的量÷单位“1”的量=多百分之几

【设计意图】本环节是突破重难点的核心。让学生充分经历从“混沌直觉”到“清晰算理”的思维过程。通过两种解法的对比，沟通内在联系，深化对“求差后再与单位1比较”本质的理解。对错误资源的辨析，直击“找准单位1”这一难点，使正确的认知在反思中得以强化和巩固。线段图的引入，将抽象的百分数关系可视化，是培养学生模型意识的有效手段。

（三）对比迁移，拓展认知（预计时间：10分钟）

1.问题变式，引发思考

1.2.师：如果问题变成“四年级的作品数比五年级少百分之几？”，又该怎样解答？请你先想一想，再算一算。

2.3.学生独立计算。预设出现两种结果：①用（120-100）÷120≈16.7%；②仍然用（120-100）÷100=20%，认为“少百分之几”也是20%。

4.对比辨析，深化理解

1.5.展示算法：重点讨论（120-100）÷120≈16.7%。

2.6.关键提问：

1.3.7.这个问题中的单位“1”是谁？（是“比”后面的五年级作品数，120件）。

2.4.8.“少的量”是多少？怎么列式？（仍然是120-100=20件。因为“少”是相对于五年级来说，少的这部分具体数量没变。）

3.5.9.为什么这次是除以120，而不是除以100？（因为标准量变了，现在是求“少的20件”占“五年级120件”的百分之几。）

6.10.动态线段图对比：

问题一（多）：四年级|———100%———|(100件，单位“1”)

五年级|———100%———|—20件—|

↑

求：20件是100件的？%

问题二（少）：五年级|———100%———|(120件，单位“1”)

四年级|———？%———|(100件)

相差20件

↑

求：20件是120件的？%

7.11.核心讨论：为什么“五年级比四年级多20%”而“四年级比五年级不是少20%”？

8.12.引导归纳：因为两个问题的“单位1”不同。多或少的部分虽然数量相同，但所比较的“基准”不同，所以百分比也不同。这就像10元比5元多100%（多出的5元占5元的100%），但5元比10元少50%（少5元占10元的50%）。

13.完善模型，形成结构

1.14.师：现在，谁能把“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的模型完整地说一说？

2.15.总结：无论是“多百分之几”还是“少百分之几”，都是求“两个量的差”占“比”字后面那个量（单位“1”）的百分之几。解题关键是：抓住问题，锁定单位“1”；两量求差，除以单位“1”。

3.16.补充板书课题：在原有课题后添加“（少）”，成为《求一个数比另一个数多（少）百分之几》。

【设计意图】通过将问题改为“少百分之几”，制造强烈的认知冲突，这是检验和深化学生对“单位1”理解程度的试金石。对比分析使学生深刻认识到，百分比的大小不仅取决于差值，更取决于作为比较基准的单位“1”。这一环节将学生的思维从具体解法提升到对数量关系本质的把握，构建了完整、辩证的知识结构。

（四）分层练习，巩固升华（预计时间：12分钟）

练习设计遵循“基础巩固→变式深化→综合应用”的梯度。

1.基础应用（巩固模型）

1.2.题1：某农场去年原计划造林12公顷，实际造林14公顷。实际造林比原计划增加了百分之几？（要求先画线段图分析，再列式解答。）

2.3.题2：一种商品，原价80元，现价64元。现价比原价降低了百分之几？

3.4.【设计意图】直接应用模型，巩固解题步骤。题1强调“增加”即“多”，题2强调“降低”即“少”，并引入“原价”作为隐含的单位“1”，训练信息提取能力。

5.变式辨析（突破定势）

1.6.题3：小飞家原来每月用水约10吨，更换节水龙头后每月用水约9吨。每月用水比原来节约了百分之几？

1.2.7.讨论：“节约了百分之几”就是“少了百分之几”。单位“1”是“原来”的用水量。

3.8.题4：根据算式（25-20）÷25，编一道“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的应用题。

1.4.9.【设计意图】题3检验学生对“节约”等生活化语言的数学转化能力。题4是开放性逆向练习，要求学生从算式反推情境和问题，深度理解算式中每个数的角色，是培养推理意识和模型应用能力的高阶训练。

10.综合拓展（联系生活）

1.11.题5（数据判断）：新闻摘要：“我市今年第一季度新能源汽车销量为2.5万辆，去年同期销量为2万辆。有媒体报道称‘销量同比增长了25%’，另一家则称‘同比增长了0.5倍（即50%）’。”你认为哪种说法可能是正确的？请说明理由。

1.2.12.分析：增长百分比应为（2.5-2）÷2=0.5÷2=25%。“0.5倍”是将增长量直接与增长量比较，或错误地将单位“1”认作今年销量，属于概念混淆。此练习融入媒体素养，批判性审视数据表述。

3.13.题6（跨学科情境）：科学课上，同学们测量了两种溶液的导电性。A溶液导电值记录为450微西门子，B溶液导电值记录为300微西门子。A溶液的导电性比B溶液强百分之几？B比A弱百分之几？

1.4.14.【设计意图】将数学与科学、社会新闻结合，体现百分数在真实世界中的广泛应用价值，提升学生的跨学科问题解决能力和数据解读素养。

（五）总结反思，布置作业（预计时间：2分钟）

1.总结反思

1.2.师：通过今天的学习，你有哪些收获？你认为解决这类问题的关键是什么？最容易出错的地方在哪里？

2.3.引导学生从知识、方法、思想、易错点等多维度进行课堂小结。

3.4.教师最终提炼：今天我们攻克了百分数应用中的一个重要问题。核心是锁定单位“1”。无论是“多”还是“少”，模型都是（差量÷单位“1”）。我们要善于把生活中的比较问题，转化为这种百分比的数学模型来分析。

5.分层作业

1.6.必做题（面向全体）：

1.2.7.完成课本配套练习题。

2.3.8.寻找生活中两个相关的数据（如父子身高、本月和上月电费、两本书的页数等），自编一道“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的题目并解答。

4.9.选做题（面向学有余力者）：

1.5.10.探究题：如果已知“甲数比乙数多25%”，你能求出“乙数比甲数少百分之几”吗？请举例并总结规律。

2.6.11.实践调查：调查你家近两个月的水费或燃气用量，计算本月比上月节约或超支了百分之几，并尝试分析原因。

六、板书设计

板书力求简洁、结构化，呈现思维脉络和知识生成过程。

求一个数比另一个数多（少）百分之几

核心问题：五年级（120件）比四年级（100件）多百分之几？

探究与建模：

1.理解：求多的量是单位“1”的百分之几。

2.方法：

1.3.方法一（先差后比）：（120-100）÷100=20÷100=20%

1.2.4.（大数-小数）÷单位“1”（比后面的量）

3.5.方法二（先比后减）：120÷100=120%→120%-100%=20%

6.关键：找准单位“1”。

变式与对比：

四年级（100件）比五年级（120件）少百分之几？

（120-100）÷120≈16.7%