小学数学六年级下册《方程思想与实际问题应用》核心素养教学设计

小学数学六年级下册《方程思想与实际问题应用》核心素养教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与课标解读

本课属于“数与代数”领域中的核心内容，是小学阶段代数思维形成的关键节点。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本设计聚焦于“会用方程解决简单的实际问题，经历解决问题的全过程，初步体会模型意识”的第二学段目标。方程作为刻画现实世界数量关系的有效工具，其价值在于将逆向思维转化为顺向思维，实现从算术思维到代数思维的跨越。本设计旨在通过结构化的问题情境，引导学生经历“现实情境—数学抽象—建立模型—求解验证”的全过程，培育学生的抽象能力、推理意识、模型意识和应用意识。

（二）教材分析（以人教版为例）

本单元是在学生已经初步掌握了用字母表示数、理解等式的性质、会解简易方程的基础上进行的综合应用。教材编排遵循由浅入深的原则，从简单的和倍、差倍问题，逐步过渡到涉及分数、百分数及稍复杂的行程、工程问题。核心在于引导学生通过分析数量之间的相等关系来建立方程，而非仅仅关注具体的计算技巧。

（三）学情分析

六年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经具备了一定的分析简单数量关系的能力，但面对信息量较大、关系较为隐蔽的实际问题时，往往习惯性地沿用算术解法，难以主动迁移方程思想。学生的主要障碍点在于：难以从复杂情境中准确提炼出核心的“等量关系”，以及对“设哪个量为未知数”存在困惑。因此，本设计的核心任务在于搭建思维脚手架，帮助学生打通从“问题”到“方程”的转化通道。

（四）教学目标

1.【基础】能够结合具体情境，找出实际问题中的等量关系，并据此正确设未知数、列方程、解方程，最终检验并作答。

2.【核心/非常重要】经历“找等量关系—设未知数—列方程—解方程—检验反思”的建模过程，进一步体会方程是解决实际问题的有效数学模型，发展代数思维和模型意识。

3.【重要】在解决相遇问题、工程问题、百分数问题等不同类型问题的过程中，感悟方程思想相较于算术方法的优越性（化逆为顺），培养多角度分析问题和解决问题的能力。

4.【拓展】通过解决具有实际背景的综合问题，增强应用意识，体会数学与生活的密切联系。

（五）教学重难点

1.【重点/高频考点】能根据具体问题中的数量关系列出方程，并正确求解。

2.【难点/核心素养关键点】准确理解题意，从纷繁复杂的信息中抽象出表示实际问题全部意义的等量关系。

3.【关键能力】根据问题的特点，合理选择设未知数的策略（直接设元或间接设元）。

二、教学实施过程

（一）激活经验，对比引入——感知方程价值

1.情境创设：呈现学校图书馆购书情境。“学校图书馆新购进一批书，其中故事书的本数是科技书的1.5倍，两类书一共买了250本。故事书和科技书各有多少本？”

2.思维冲浪：请学生尝试独立解决。教师巡视，收集两种典型解法：算术法（250÷(1+1.5)=100本，求出科技书）和方程法（设科技书为x本，则故事书为1.5x本，列方程x+1.5x=250）。

3.对比辨析：请两位学生板书并阐述思路。

【非常重要】引导学生对比两种方法的思维过程。提问：“算术法中，为什么要用250除以(1+1.5)？这里的1和1.5分别表示什么？”（把科技书看作1份，故事书是1.5份，总份数是2.5份，用总量除以总份数求一份量——这是归一思想，逆向思考）。“方程法中，我们是怎么想的？”（根据“故事书本数+科技书本数=总本数”这个最直接的相等关系，顺着题意列出式子）。

4.归纳总结：教师顺势引出课题，并强调：当题目中的数量关系比较绕，用算术方法需要逆向思考时，方程顺向思维的优越性就体现出来了。方程的核心在于找到一个能串联起所有条件的“天平”——等量关系。

（二）系统梳理，构建模型——明确解题步骤

1.回顾方程解题的一般步骤：

【基础】师生共同回顾，提炼出解决方程应用问题的“五步法”：

（1）审：认真读题，理解题意，弄清楚已知条件和所求问题，圈画关键句。

（2）找：分析数量关系，找出题中所有的相等关系，特别是那个能涵盖所有条件的核心等量关系。【核心/难点】

（3）设：设未知数。一般情况下，问题问什么就直接设什么（直接设元）；当直接设元难以列方程时，可以设中间量为x（间接设元）。

（4）列：根据找到的等量关系，列出方程。

（5）解：运用等式的性质解方程。

（6）验与答：检验解是否符合方程，更关键的是检验是否符合实际情境，然后作答。

（三）分层探究，深化理解——突破核心难点

本环节设计三个层次的探究活动，层层递进，聚焦于“等量关系的探寻”与“设元策略的优化”。

1.第一层：和倍、差倍问题——夯实“直接设元”与“基本模型”

【高频考点/基础】

例题1：果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？

（1）自主探究：学生独立完成，指名板演。

（2）聚焦“等量关系”：请学生说说找到的等量关系是什么？通常学生会列出：桃树棵数+杏树棵数=180棵。教师引导：这个关系是建立方程的基础。那么杏树的棵数怎么表示？根据“杏树的棵数是桃树的3倍”，如果设桃树为x棵，则杏树为3x棵。从而列出方程x+3x=180。

【非常重要】追问：如果设杏树为x棵，方程应该怎么列？引导学生对比，体会设一倍量为未知数通常计算更简便。

变式训练：果园里桃树比杏树多90棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？

（1）对比分析：引导学生找出本题与例题1的异同。相同点是倍数关系不变，不同点是总量关系变成了相差关系。

（2）寻找等量：核心等量关系变为“桃树棵数-杏树棵数=90棵”或“杏树棵数+90棵=桃树棵数”。设一倍量桃树为x棵，则杏树为3x棵，列出方程x-3x=90（需注意此时x应大于3x，故应设杏树为x，桃树为3x，则3x-x=90）。

（3）反思提炼：通过对比，让学生明白，无论题目条件如何变化，抓住表示倍数关系的关键句来设元，抓住表示和或差的关键句来找等量关系，是解题的通用策略。

2.第二层：相遇与行程问题——构建“动态等量关系”模型

【热点/重要】

例题2：一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地相对开出，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，求货车的速度。

（1）画图分析：引导学生用线段图表示题意，这是将抽象文字转化为直观图形的重要策略。【非常重要】

（2）多维探寻等量关系：

关系一：客车行的路程+货车行的路程=总路程。

关系二：速度和×相遇时间=总路程。

（3）设元列式：设货车的速度为x千米/时。

根据关系一：95×3+3x=540

根据关系二：(95+x)×3=540

（4）解法优化：引导学生观察两个方程，体会关系二实际上是关系一的简便形式，体现了乘法分配律的应用。两种解法本质相同，殊途同归。

（5）变式拓展（追及问题）：呈现“一辆客车和一辆货车同时从相距60千米的两地同向而行，客车在前，货车在后，客车每小时行95千米，货车每小时行110千米，几小时后货车能追上客车？”

【难点】引导学生画出追及线段图，找出等量关系：货车行的路程=客车行的路程+相距路程。设x小时后追上，列方程110x=95x+60。

3.第三层：稍复杂的分数、百分数问题——渗透“单位1”与方程结合

【非常重要/高频考点】

例题3：一套衣服，裤子的价格是上衣的80%，裤子比上衣便宜60元。上衣和裤子各多少元？

（1）分析关键句：“裤子的价格是上衣的80%”意味着把上衣价格看作单位“1”，裤子价格是它的80%。“裤子比上衣便宜60元”即“上衣价格-裤子价格=60元”。

（2）设元策略：设上衣价格为x元，则裤子价格为80%x元。

（3）列方程：根据等量关系，得x-80%x=60。

（4）解方程并检验：解得x=300，则裤子为240元。检验：300-240=60，符合题意。

（5）思维提升：若此题改为“裤子比上衣贵60元”，方程如何列？若改为“一套衣服共花540元”，方程又如何列？通过对比，强化对不同等量关系的识别。

（四）综合应用，思维拓展——培养高阶思维

1.【热点/难点】间接设元策略探究

例题4：有两筐苹果，甲筐苹果的重量是乙筐的1.2倍。如果从甲筐拿出4千克放入乙筐，则两筐重量相等。原来两筐苹果各有多少千克？

（1）独立尝试：很多学生可能会直接设甲筐为x千克，乙筐为y千克，但小学阶段只学设一个未知数。这迫使他们思考新的设元方法。

（2）关键点拨：引导学生思考“变化过程中的不变量”和“变化后的等量关系”。变化前：甲=1.2×乙。变化后：甲-4=乙+4。

（3）设元引导：设哪个量为x更方便？显然，设乙筐原有x千克，则甲筐原有1.2x千克。根据变化后的等量关系，列方程：1.2x-4=x+4。

（4）反思归纳：此题体现了“间接设元”的必要性。当直接设问题所求的量导致方程难列时，可以选择一个与问题相关的关键量（如这里的乙筐重量）设为x，先求出这个量，再求出问题所求的量。

2.生活化情境建模

例题5：某通讯公司推出两种套餐：A套餐：月租18元，主叫每分钟0.2元；B套餐：无月租，主叫每分钟0.4元。当一个月主叫时间为多少分钟时，两种套餐收费一样多？

（1）信息梳理：引导学生用表格整理信息。

（2）模型建立：找出等量关系“A套餐费用=B套餐费用”。设主叫时间为t分钟，列方程：18+0.2t=0.4t。

（3）模型解释：解方程得t=90分钟。追问：当t90分钟时，哪种套餐更划算？引导学生讨论，体会方程模型在决策中的应用价值。

（五）反思总结，构建网络——形成认知结构

1.畅谈收获：请学生回顾本节课的学习历程，谈谈对方程应用的新认识。可以从知识、方法、思想三个层面进行总结。

（1）知识层面：学会了用方程解决和倍、差倍、行程、百分数、调配等问题。

（2）方法层面：巩固了“审—找—设—列—解—验—答”的解题步骤，掌握了画图、列表等分析策略。【重要】

（3）思想层面：深刻理解了方程是刻画等量关系的数学模型，体会了“化逆为顺”的代数思想优越性，建立了模型意识。

2.构建思维导图：师生共同在黑板或脑海中构建本课的知识网络，以“方程应用”为中心，分支辐射出“等量关系类型”（和差关系、倍数关系、路程关系、价格关系等）、“设元策略”（直接设元、间接设元）、“解题步骤”等，使知识系统化、结构化。

三、板书设计

（左侧）（中间）（右侧）

核心步骤：等量关系式（模型）：典型例题区：

1.审：找已知、未知基本型：部分+部分=总量例题1（和倍）板书

2.找：抓关键句（核心难点）变式型：相差关系例题2（相遇）线段图与方程

3.设：设谁为x（直接/间接）动态型：路程关系例题3（百分数）关键句分析

4.列：依据等量关系拓展型：调配前后关系

5.解：熟练运用等式性质

6.验：方程解+实际意义

7.答：完整清晰

四、作业设计

1.【基础性作业】（必做）教材相关练习题，旨在巩固基本数量关系的方程建模。

2.【拓展性作业】（选做）搜集生活中的实际问题（如水电费计费、商场促销、行程安排等），尝试用方程进行解答，并制作成数学小报或撰写数学日记，阐述你的解题思路。

3.【挑战性作业】（小组合作）思考：在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法和列表法，能否用方程来解决？如果能，应该设什么为x？尝试用多种方法设元并比较哪种更简洁。

五、教学反思（预设）

本设计力求突破传统的“题型+套路”教学，转向以“核心素养”为导向的“建模”教学。在教学实施过程中，需重点关注以下几点：

1.【关于等量关系的教学】不能急于求成，要给予学生充分的时间去说、去画、去辨析。特别是对于“隐藏”的等量关系（如周长公式、工程总量