抛物线与线段的交点问题

《定抛物线与线段的交点问题》教案设计一．教材背景分析：本节课是北师大版九年级数学下册总复习阶段有关抛物线与线段的交点问题的专题课。抛物线与线段的交点问题根据抛物线是否确定分为两种类型：解析式确定的抛物线与线段的交点问题：细化为①定抛物线与定线段的交点问题；②定抛物线与动线段的交点问题.解析式不确定的抛物线与线段的交点问题：细化为①动抛物线与定线段的交点问题；②动抛物线与动线段的交点问题.本节课对第一种类型：定抛物线与线段的交点问题展开详细的分析。内容涉及二次函数与一次函数图象与性质的综合，又涉及抛物线与直线交点情况的判断，是几何计算和推理论证的重要环节，对学生数学建模，直观想象等核心素养的培养以及备战中考都有着重要的作用。二．学情分析：知识基础：本节课学生已经学过抛物线和直线的图像与性质，同时能够准确的掌握在平面直角坐标系中点的坐标特征，但是对于判断抛物线与线段的交点情况与点的坐标之间的关系仍有一定难度。经验基础：2021年河南中考第22题第（3）问，就是对抛物线与线段有交点的问题的探讨：22.(10分)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．学生面临的困难：关于2021年中考22题，当年的考生中仅零分率就高达22.86%，从这个数据不难分析出，学生们对于抛物线和线段的交点问题，理解还确实有待提升，对于本知识点涉及的核心素养：数学建模、直观想象、数学运算、逻辑推理等方面的培养还有待加强。同时，在学生已经熟练掌握直线和抛物线的交点情况的判定方法之后，对于判断抛物线和线段的交点情况，学生容易混淆不清。目标制定：数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，本节课属于二次函数的性质综合题型，涉及到的核心素养主要有有逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等。课标分析：《课程标准》中与本节课相关的描述为：结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。中考命题分析：2021年河南中考22题第（3）问中涉及到定抛物线与线段的存在一个交点时，求线段一个动点的横坐标的取值范围。对于抛物线和线段的交点问题是一个新的中考命题方向。本着对学生数学核心素养的培养，依据课程标准，结合中考命题分析和教材背景与学生学情分析，确定本节课学习目标如下：1.经历问题的探究过程，理解确定的抛物线与线段的交点问题的分析方法，能够找到点的坐标和交点个数之间的关系；（重点、难点）2.通过对问题的探索，培养数学化归思想和数形结合、分类讨论思想，提高分析问题与解决问题的能力.评价设计：评价任务一：关注学生对问题的理解和分析能力；评价任务二：关注学生对问题的转化能力，和问题本质的把握情况；评价任务三：关注学生对问题分析的严密程度；评价任务四：关注学生能否总结出解决问题的关键思路；评价任务五：关注学生能否正确解出题目教具准备：多媒体几何画板展台学习过程：第一环节：创设情境导入新课学习目标通过背景分析，了解本节课的必要性。学习活动2021年河南中考第22题真题分析22.(10分)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．设计意图通过对中考真题的分析，和以往考生情况分析，感受学习本节内容的必要性，激发学生学习的兴趣。学习评价关注学生是否认识到此专题的必要性，从而激发学习兴趣。第二环节活动探究学习目标目标1：经历问题的探究过程，理解确定的抛物线与线段的交点问题的分析方法，能够找到点的坐标和交点个数之间的关系；（重点、难点）目标2：通过对问题的探索，培养数学化归思想和数形结合、分类讨论思想，提高分析问题与解决问题的能力.温故知新活动一：定抛物线与定线段的交点问题活动二：定抛物线与动线段的交点问题方法总结：方法运用：同学们，你们还记得如何判断抛物线和直线的交点个数吗？请说说你的做法.1、已知点A(0，1)、B(3，2)为平面直角坐标系内两点，连接AB，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.2、已知点A(0，1)、B(3，m)为平面直角坐标系内两点，连接AB，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.3、已知点A(0，1)、B(m，2)为平面直角坐标系内两点，连接AB，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.4、已知点A(0，1)、B(m，-2m+4)为平面直角坐标系内两点，连接AB，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.通过前面的分析，你认为解决定抛物线和线段的交点问题有什么好的方法？5、如图，点B(m，-2m+4)是直线y=-2x+4上一个动点，将点B向下平移8个单位长度得到点A，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.设计意图问题设置层层深入：温故知新：目的时让学生感受抛物线和线段的交点问题与抛物线和直线的交点问题不同。那么抛物线于线段的交点问题该如何判断呢？引起学生的学习兴趣。问题1的设置是为了让学生充分的体会利用数形结合法的思想方法解决问题。问题2、3、4的设置层层深入，从横坐标不变纵坐标变化，到纵坐标不变横坐标变化，再到横纵坐标都发生变化，通过层层问题的剖析、讨论，让学生感受解决这类问题比较好的方法，从而分归纳解决这类问题的方法。问题5的分析总结，是对前面总结的方法的应用。让学生充分的体会到解决定抛物线和线段的交点问题的思路，数形结合的同时，体会逻辑推理的严谨性。同时，通过问题的层层分析，培养学生发现问题、分析问题，解决问题的能力。学习评价关注学生对问题的理解和分析能力；关注学生对问题的转化和对问题本质的把握情况；关注学生能否总结出解决问题的关键思路；关注学生对问题分析的思路是否严密；关注学生能否正确解出题目：关注学生能否感受到问题的设置之间的联系.第三环节课堂小结学习目标目标1：经历问题的探究过程，理解确定的抛物线与线段的交点问题的分析方法，能够找到点的坐标和交点个数之间的关系；（重点、难点）目标2：通过对问题的探索，培养数学化归思想和数形结合、分类讨论思想，提高分析问题与解决问题的能力.学习活动课堂小结：分享一下你本节课的收获吧？定抛物线与线段的交点问题解题方法：①确定动端点的运动路线；②判断运动路线与抛物线的交点情况；③根据具体问题数形结合，分类讨论。2、从学科核心素养的角度再谈谈你的感受吧？(学科素养：数学抽象逻辑推理数学建模数学运算直观想象数据分析）指明下节课即将研究的主题。设计意图通过学生对本节课收获的总结，再次检验了学生对目标的达成度。通过学生对本节课所涉及核心素养的分析，培养学生多方面的能力。通过本节主题的研究，让学生发现下节课研究的主题，不仅引导学生深入研究问题，也要关注学生对问题的整体把握，和研究方向。培养学生发现问题、分析问题，解决问题的能力。学习评价关注学生对本节课重点、难点内容的分析与总结是否准确，能否感受到涉及到的核心素养。第四环节作业布置变式1、2021年河南中考22题(10分)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．变式2、如图，点B(m，-2m+4)是直线y=-2x+4上一个动点，将点B向下平移3个单位长度得到点A，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.变式3、如图，点B(m，-2m+4)是直线y=-2x+4上一个动点，将点B向右平移1个单位长度再向下平移5个单位长度得到点A，试判断抛物线y＝x2-x-2与线段AB的交点个数，并分享你的做法.板书设计定抛物线与线段的交点问题学生板书：解题方法：①确定动端点的运动路线；②判断运动路线与抛物线的交点情况；③根据具体问题数形结合，分类讨论。教学反思本节课的设置从浅入深，层层深入，以学生为主题来进行分析问题，研究解决问题的方法。从学生的反馈展示上来看，思维的形成过程比较的顺利。课堂上出现了很多小意外，情理之中却也在意料之外。比如在温故知新环节，有一个学生举手展示自己的图象，其中他对二次函数图象的作图出现了问题，还好，有不少学生及时发现了问题，并且及时解决了问题。但是，在平时的学习中对于抛物线的五点法作图，还是需要加强