以活动探究为例的导学设计-《平面与平面垂直的性质》-初中-综合-教学设计

平面与平面垂直的性质温馨教学内容1.内容：平面与平面垂直的性质定理2.内容解析：《平面与平面垂直的性质定理》是人教版第八章8.6.3的第2个课时内容.平面与平面垂直是两个相交平面的一种特殊的位置关系．它是直线与平面垂直关系的拓展．一方面由直线与平面垂直可以推证平面与平面垂直；另一方面，两个相互垂直的平面里也蕴含着直线与平面的垂直．当两个平面互相垂直时，根据前面的学习经验，我们可以研究一个平面内的直线与另一个平面的位置关系．显然，线在面内，线面相交和线面平行都有可能．一个平面内的直线垂直于交线时，由平面与平面垂直的定义以及直线和平面垂直的判定定理，可推证它垂直于另一个平面，即得平面与平面垂直的性质定理．根据性质定理，可将平面与平面的垂直关系转化为直线和平面的垂直关系．立体几何中，我们经常需过平面外一点向平面作垂线，运用该定理可以帮助我们确定垂足的位置．课本还进一步探讨了直线不在两个平面内，或者是将直线换成平面的情形．对这些问题的探究有助于加深学生对线面位置关系的认识，也可作为平面与平面垂直的性质定理的应用．本节内容的处理思路仍然是“直观感知→操作确认→推理证明”，经历对典型实例的观察、实验、猜想等合情推理的活动后，概括出平面与平面垂直的性质定理并进行逻辑论证，符合学生学习立体几何知识，培养空间观念、直观想象素养以及逻辑推理能力的基本规律.二、教学目标(1)了解平面与平面垂直的性质定理的探究过程，进一步明确“直观感知”“推理论证”相结合的研究思路；(2)会用自然语言、图形语言和符号语言论述平面与平面垂直的性质，并熟练运用其进行相关的证明与计算；．(3)了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系，明白平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系和区别。三、教学重难点1.教学重点：平面与平面垂直的性质定理2.教学难点：平面与平面垂直的性质定理的发现、探究过程及应用．四、教学过程环节一：发现平面与平面垂直的性质定理问题1：如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，则β内异于交线a的直线b与a有什么位置关系？相应地，b与面α有什么位置关系？为什么？问题2：平面β内什么样的直线才会与平面α垂直？思考：在长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′中哪一条直线垂直于平面ABCD？从中你可以得到什么结论？问题3：你能将你的结论用符号语言表示出来吗？你能证明该结论吗？总结：所得结论即为平面于平面的性质定理。①文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.②图形语言描述为：③符号语言描述为：AB⊥β.所需时间12min教师活动教师通过设置问题的情况，向学生提出问题并引导学生观察.教师给于学生时间进行小组交流，并在问题2中可以给出具体的情境帮助学生思考，比如直接以黑板和教室地面为例：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？师生对话，教师邀请一名学生展示他们的成果，并请其他同学仔细观察成果，注意是否存在遗漏的条件.倘若有遗漏，教师要及时帮助学生进行补充。在给出符号表示之后，教师请学生对定理性进行证明．教师可适当给出一些提示，帮助学生思考，比如：“要证直线和平面垂直，一般需先证明什么？”“平面与平面垂直时如何定义的？如何使用平面与平面垂直这一条件？”等．学生活动学生通过观察可以发现，直线b与直线a只会有平行或相交这两种情况.当当b与a平行时，由线面平行的判定定理可知，b//α；当b与a相交时，b与α也相交.通过交流学生可以猜想出：在平面与平面垂直的条件下，在其中一个平面作垂直于交线的直线，则该直线垂直于另一个平面．在教师的引导下，学生自己尝试证明该结论设计意图设置问题情境，探究已知平面与平面垂直的条件下，一个平面内的直线与另一平面的位置关系．在问题1的基础上，由一般位置关系过渡到特殊情形，重点研究平面β的直线b何时与平面α垂直，引出本课的教学重点．通过特殊的情境符合学生学习立体几何知识的认知，有助于学生感知理解.在学生直观感知得出结论的基础上，让学生结论进行严格证明，从而得到平面与平面垂直的性质定理．从交流的过程中培养学生数学表达的能力环节二：探究平面与平面垂直的性质定理问题4：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？思考：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．问题4能给你什么样的启发？总结：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.问题5：两平面互相垂直的性质告诉我们，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.如果改变部分条件，比如：已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，且a⊄α，那么a与α有什么位置关系？为什么？7min教师给出“同一法”这一思路.教师对思考做出点评补充：我们常需过平面外一个点向平面作垂线．欲确定平面α外一点P在α内射影的位置，可寻找或构造一个过点P且与α垂直的平面β，则根据平面与平面垂直的性质定理，只需过点P向平面α与β的交线作垂线即可．教师总结，问题5其实也是两平面垂直的一个性质：如果一条直线垂直于两个互相垂直的平面中的一个，则这条直线要么在另一个平面内，要么与另一个平面平行.学生根据直观感觉不难回答出a在平面α内，但要严格证明并不容易.学生可在教师的提示下完善证明过程.学生不难发现直线与平面是平行的，但是必须要经过严谨的论证过程来进行说明.旨在向学生展示平面与平面垂直的性质定理的一些实际应用，让学生进一步加深对定理的认识．利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法.继续深入探究在已知两平面垂直的条件下，特定直线与平面的位置关系，证明过程也是平面与平面垂直的性质定理的简单应用环节三：应用平面与平面垂直的性质定理例10如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.练：已知α、β、γ是三个不同的平面，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ18min教师板书证明过程并引导学生总结.【证明】过A作AE⊥PC于E∵平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC∴AE⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴PA⊥BC.∵PA∩AE＝A∴BC⊥平面PAC.又∵AC⊂平面PAC∴BC⊥AC.教师要引导学生在没有提供示意图的条件下绘制示意图，并让学生交流讨论如何才能应用面面垂直的性质定理学生尝试总结方法，并完成练习.【类题通法】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题。学生绘制图像并尝试解决在平面与平面垂直的性质定理的基础上，进一步探究在已知平面垂直的条件下，可以推证出怎样的一些直线与平面的特殊位置关系．同时该例题还综合运用了直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理和性质定理，具有较强的综合性．环节四：总结平面与平面垂直的性质定理（1）平面与平面垂直的性质定理内容是什么？是如何证明的？（2）平面与平面垂直的性质定理体现了什么样的垂直关系的转化？（3）平面与平面垂直的性质定理在生活中以及数学上都有哪些应用？5min教师与学生一起回顾本节课所学的内容.利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等.所用到的思想方法为转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.学生回答通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。6.板书设计（完整呈现教与学活动的过程，呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点）8.6.3.2平面与平面垂直的性质定理1.面面垂直的性质定理：①文字语言描述②图形语言描述③数学符号语言描述2.判定定理与性质定理的转化：PPT展示区问题5.解题过程展示例10.解题过程展示7.学习评价（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育、行为表现等方面进行适量适度的评价。通过评价促进课堂学习的深入，突出评价的诊断性、表现性和激励性）通过本节课，学生可以从知识获得、思想方法和数学核心素养上得到提升：（1）掌握空间平面与平面垂直的性质：学生能从定义和基本事实出发，归纳并证明平面与平面垂直的性质定理，能确认定理的条件与结论；在具体问题中，能利用平面与平面垂直的性质定理分析解决有关问题.（2）掌握空间基本图形位置关系的简单命题的证明：学生能将直线、平面之间的位置关系进行相互转化，能将空间问题转化为平面问题；能综合运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.（3）掌握化归与转化和特殊与一般的思想：在探究过程中，能在线线、线面、面面之间相互转化；在线线、线面、面面位置关系中，垂直是特殊的，学生要能会通过特殊的情况处理一般的位置关系.（4）掌握数形结合的解题技巧：学生能够按照要求准确地画出图形；能从直观图理解空间图形所表达的空间位置关系；能以图形为核心，将问题情景集中到所给的图形上来，在充分认识图形的基础上分析问题和解决问题.8.教学反思与改进（包括单节课教与学的经验性总结，基于学习者分析和目标达成度进行的对比反思，教学自我评估与教学改进设想，突出单元整体实施的改进策略、后续课时教学如何运用本课学习成果，以及如何持续促进学生发展）平面与平面垂直的性质，讨论的是在两个平面互相垂直的条件下，能够推出一些什么结论.根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要求，本节在内容的安排和处理方式上，加强了引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程.在平面与平面垂直的性质定理得出的过程中，注重对典型实例的观察、分析，引导学生自主归纳、概括。本节课的设计按照新课标的要求，遵循“直观感知-操作确认--一推理证明”的认识过程，发现平面与平面垂直的性质定理。通过本节课的教学，我对新课标下的课堂有了如下的认识:注重知识的形成过程.教学新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。组织学生尽可能地进行讨论、研究。通过操作、实践活动等让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，使抽象知识直观化，符合学生的认知发展。注重温故而知新.在学习新知识时,要重视联想、类比有关的旧知识,辩清它们的区别和联系，进而达到知识或方法的同化，达到高效地突破教学难点。注重课堂活动的多样性.新的教学理念希望给学生营造一个民主、和谐的学习氛围，培养学生自主探究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。本课在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、求知欲、成就感等积极因素.注