云南省红河州文山州2026届高三数学上学期第一次复习统一检测试题含解析

一、单选题

1．设集合Ax0x3,B1,0,1,2，则AB（）

A．0,1B．0,1,2C．0,1,2,3D．1,0,1,2

2．在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：

绿色圆粒：绿色皱粒9:3:3:1．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行

研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（）

A．160B．190C．220D．250

3．已知Sn是等差数列an的前n项和，若a3a920，则S11（）

A．20B．55C．110D．220

4．设l,m为两条不同直线，,,为三个不同平面，则下列命题正确的是（）

A．若,，则//B．若//,，则

C．若l,l，则D．若l,m且ml，则

5．已知命题“x[2,3],2xa0”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A．(,4)B．(4,)C．(,6)D．(6,)

6．已知抛物线C:y216x的焦点为F，两条直线ykx和ykx(k0)分别与抛物线C相交于不同于原点

的A,B两点．若直线AB经过点F，则k（）

A．1B．2C．2D．4

7．在ABC中，AB5,AC8,N为BC的中点，且ABC外接圆的圆心为M，则AMAN（）

3589

A．11B．14C．D．

24

51

8．在ABC中，若sinAsinB,cosAcosB，则sinC（）

44

51234

A．B．C．D．

131355

二、多选题

9．已知函数f(x)x33x2，则下列结论正确的有（）

A．函数f(x)在区间(,1)上单调递减B．函数f(x)的极大值为4

C．函数f(x)图象的对称中心为(0,2)D．函数f(x)有3个零点

x2y2

10．已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，则下列说法正确的是

a2b2

（）

2a

A．若点P在双曲线C的右支上，且PF4PF，则PF

1223

B．若双曲线C的渐近线方程为y2x，则其离心率为5

C．若a2,c7，直线ykx1(kR)与双曲线C有且仅有一个交点，则满足条件的k值有2个

△2

D．若双曲线C的离心率为3，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则F1MF2的面积为2a

11．南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛

积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、

方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式，后人经常利用“三角垛”解决现实中的堆垛问题．现有一堆货物，从上

向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物

的个数为an，前n层货物的总数为Sn，则下列说法正确的是（）

A．a1055B．集合a51,a52,a53,,a100中共有25个奇数

11113

n

C．设bn(1)an，则bn的前100项和为2550D．

S1S2S3Sn2

三、填空题

12．设复数zabia,bR，若|z|1且a,b0，则满足条件的z．（写一个即可）

13．已知函数f(x)xlnx，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为．

14．在四面体ABCD中，已知点E,F分别为棱AB,CD的中点，且EFAB,EFCD．若ABCD1,EF1，

则四面体ABCD外接球的表面积为．

四、解答题

15．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2,ABC120,AA14,D为AC的中点．

(1)证明：平面；

AB1//DBC1

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

A1DDBC1

x2y23

16．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，且过点(0,2)．

a2b22

(1)求C的标准方程；

(2)直线l:ykxm(k,mR)与C交于A,B两点，且以AB为直径的圆过原点O．证明：原点O到直线l的

距离为定值．

17．已知函数f(x)sinx3cosx．

(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴；

(2)若g(x)|f(x)|，

轾p5p

（i）当xÎ犏-,时，求使g(x)3成立的x的范围；

臌犏33

（ii）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且g(A)3．若________求bc的取值范围．请从以

下两个条件中任选一个补充在横线处并作答．

3

①ABC为锐角三角形且a2；②ABC的面积为S且S=a2+2．

8()

18．已知函数f(x)exax1(aR)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在(0,1]上存在唯一零点，求a的取值范围；

2x

(3)函数g(x)f(x)2lnxxaxe1有两个极值点为x1,x2x1x2，若x22x1，求gx2gx1的最

大值．

19．大模型训练热潮推动了人工智能技术的快速发展，使其在自然语言处理、计算机视觉、语音识别等多

个领域取得了显著的成果，并在经济、法律、社会等众多领域展现出了巨大的应用潜力．某人工智能研发

团队的甲、乙、丙三个小组分别对同一模型开展检测，各小组检测按多个阶段依次进行测试：第一阶段测

11

试通过的概率为，从第二阶段开始，若前一阶段测试通过，则当前阶段测试通过的概率为p（其中p1，

22

体现模型经优化后测试通过率的提升趋势）；若前一阶段测试未通过，则当前阶段测试通过的概率仍为1（视

2

为小组调整参数后回归基础测试水平）．Ak表示“第k阶段测试通过”．

2

(1)若p，求PA,PA；

323

(2)若各组检测结果相互独立，且仅对第一、二阶段进行检测，求甲、乙、丙三个小组检测后，恰有两个小

组检测通过了1个阶段测试的概率；

12p11

(3)设aPA，证明：对任意正整数n，均有a．

nnn32p2(32p)n

参考答案

1．B

【详解】由题意可得AB0,1,2．

故选：B．

2．A

316

【详解】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量n30160．

163

故选：A．

3．C

【详解】因为an是等差数列，a3a920，所以a1a11a3a920,

11aa11aa

则S11139110．

1122

故选：C．

4．B

【详解】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面）；

对于B，因为，所以在内存在直线n使得n，由//得n，故；

对于C，应推出//；

对于D，由l,m且ml，由面面垂直的判定定理，

若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，

这里缺少m这个条件，所以不能得出，故D错误；

故选：B．

5．A

【详解】由于该命题是真命题，则a2x在[2,3]上恒成立，

设函数f(x)2x,x[2,3]，则af(x)min．

因为f(x)minf(2)4，所以a4.

故选:A．

6．C

【详解】由题知F(4,0)，两直线ykx,ykx关于x轴对称，

又抛物线y216x也关于x轴对称，所以A,B两点关于x轴对称，

因为直线AB经过点F(4,0)，所以直线AB的方程为x4，

又因为点A在抛物线C上，代入得y264，即A4,8，

因为k0，所以A(4,8)，所以84k，解得k2．

故选：C．

7．D

【详解】

111

因为N为BC的中点，则AN(ACAB)，所以AMANAM(ACAB)(ACAMABAM)．

222

如图，分别取线段AB,AC的中点为E,F，因为M为ABC的外接圆圆心，

所以ACMF,ABME，则

12

ACAMAC(AFFM)ACAFAC32，

2

1225

ABAMAB(AEEM)ABAEAB，

22

112589

因此AMAN(ACAMABAM)32．

2224

故选：D．

8．A

ABAB5

【详解】设,，则sinAsinBsin()sin()2sincos①，

224

1

cosAcosBcos()cos()2coscos②，

4

sin

①②得5，在ABC中ABCπ，

cos

ABπCC

sinsincos

sinC1

所以2225，即tan，

ABπCC

coscoscossin25

222

C

2tan

5sinC512

又因为tanC2，即,cosCsinC，

C

1tan212cosC125

2

2

22212

因为sinCcosC1，代入得sinCsinC1，

5

5

因为C(0,π),sinC0，所以sinC．

13

故选：A

9．BC

【详解】对于A，由f(x)x33x2，得f(x)3x233x213(x1)(x1)．

当x(,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在(,1)上单调递增，故A错误；

对于B，令f(x)0，解得x1或x1．

当x(,1)时，f(x)0，则函数f(x)在(,1)上单调递增；

当x(1,1)时，f(x)0，则函数f(x)在(1,1)上单调递减；

当x(1,)时，f(x)0，则函数f(x)在(1,)上单调递增，

因此，x1是f(x)的极大值点，极大值为f(1)(1)33(1)24，故B正确；

对于C，令g(x)x33x，定义域为R，因为g(x)(x)33(x)x33xg(x)，

所以g(x)是奇函数，其图象的对称中心为(0,0)．又因为由g(x)图象向上平移2个单位长度可得f(x)图象，

所以函数f(x)图象的对称中心为(0,2)，故C正确；

对于D，令f(x)0，即x33x2x3x2x2x(x1)(x1)2(x1)

(x1)x2x2(x1)(x1)(x2)0，解得x1或x2，

所以函数f(x)有2个零点，故D错误．

故选：BC．

10．ABD

2a

【详解】对于A，因为点P在双曲线C的右支上，所以PFPF2a，又PF4PF，解得PF，

121223

故A正确；

b

对于B，因为双曲线的渐近线方程为y2x且焦点在x轴上，所以2，

a

c2a2b2b2

又e211225，所以离心率e5，故B正确；

a2a2a2

对于C，因为直线方程为：ykx1(kR)，所以直线恒过点0,1，

当直线与渐近线平行时，满足题意的直线有两条；

当直线与渐近线不平行且与双曲线相切时，满足题意的直线也有两条．

综上，满足条件的直线有4条，即k的值也有4个，故C错误；

对于D，如图，因为F2M垂直于渐近线，所以F2Mb，又因为OF2c，所以|OM|a．

ab

在Rt△OMF中，OFyMF|OM|，所以y，

22M2Mc

11ab

所以SFFy2cab，

F1MF2212M2c

b2

又因为e3，即13，所以b2a，

a2

所以S2a2，故D正确．

F1MF2

故选：ABD．

11．ACD

【详解】对于A，依题意a11,a23,a36，且an1ann1，所以当n2时，

ananan1an1an2an2an3a3a2a2a1a1

n(n1)

n(n1)(n2)321，

2

从而a1055，故A正确；

对于B，当n4k1,kN时，

(4k1)(4k2)

aa(4k1)(2k1)，此时a为奇数；

n4k12n

同理当n4k2,kN时，an为奇数；当n4k3,kN时，an为偶数；

当n4k4,kN时，an为偶数，

所以集合a51,a52,a53,,a100中共有24个奇数，故B错误；

2

nnn(n1)nnn

对于C，设bn的前n项和为Tn，因为b(1)a(1)(1)，

nn22

则

1222222

T100123499100(123499100)

2

1

[(3711199)50]2550，故C正确；

2

n(n1)

对于D，由aC2，知

n2n1

Sna1a2a3an

2222

C2C3C4Cn1

3222

C3C3C4Cn1

322

C4C4Cn1

32

Cn1Cn1

3

Cn2

n(n1)(n2)

6

1611

故3，

Snn(n1)(n2)n(n1)(n1)(n2)

1111

所以

S1S2S3Sn

111111

3

12232334n(n1)(n1)(n2)

113

3，故D正确．

2(n1)(n2)2

故选：ACD．

34

12．i

55

22

343434

【详解】复数zabia,bR，取a,b，zi满足z1且a,b0符合题意．

555555

34

故答案为：i（答案不唯一）

55

13．x2y30

1

111

【详解】由f(x)xlnx，得f(x)x2，所以f(1)，

2x2

又因为f(1)1，则切点坐标为(1,1)，

1

故曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y1(x1)，即x2y30．

2

故答案为：x2y30

14．2π

【详解】由题可将几何体补形为长方体，如下图所示：

对棱ABCD1，且对棱中点E,F分别满足EFAB,EFCD，

所以该长方体的外接球即为四面体ABCD的外接球，

设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，

则b2c2AB21,aEF1，

a2b2c222

所以外接球的半径R，即四面体ABCD的外接球半径为，

222

2

因此，该四面体外接球的表面积22．

S4πR4π2π

2

故答案为：2π

15．(1)答案见解析

(2)83

19

【详解】（1）连接B1C交BC1于点M，连接DM，

因为四边形BB1C1C为平行四边形，所以M为B1C的中点，

又因为D为AC的中点，所以DM//AB1，

因为平面平面，所以平面．

DMDBC1,AB1DBC1AB1//DBC1

（2）

取A1C1的中点E，连接DE，以D为原点，

以DA,DB,DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，

则A(3,0,0),A1(3,0,4),B(0,1,0),D(0,0,0),C(3,0,0),C1(3,0,4)，

所以A1D(3,0,4),BD(0,1,0),BC1(3,1,4)，

设平面的法向量为，

DBC1n(x,y,z)

BDny0

则,取x4，则y0,z3，

BC1n3xy4z0

所以n(4,0,3)．

设直线与平面所成角为，

A1DDBC1

A1Dn434383

则，

sincosA1D,n

A1Dn191919

83

所以直线A1D与平面DBC所成角的正弦值为．

119

x2y2

16．(1)1；

82

(2)证明见解析.

02

221,

ab

a28,

【详解】（1）由题意可得222解得

abc,2

b2.

c3

.

a2

x2y2

所以C的标准方程为1．

82

（2）

如图，设点Ax1,y1,Bx2,y2，

x2y2

1,

82222

由得14kx8kmx4m80，

ykxm,

所以64k2m2414k24m2816m2128k2320，

故m28k22，

8km4m28

则xx,xx，

1214k21214k2

因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB0，

22

即x1x2kx1mkx2m0，即1kx1x2kmx1x2m0，

22

24m88km28k8

1kkmm0，化简得5m28k280，即m2，

14k214k25

|m|

又因为原点O到直线l的距离d，

k21

8k28

2210

所以m8，即．

d25d

k21k2155

故原点O到直线l的距离为定值．

π

17．(1)2π；xkπ,kZ

6

轾π轾4p

(2)（i）犏0,犏π,；（ii）答案见解析

臌犏3臌犏3

骣π

【详解】（1）由题意f(x)=sinx+3cosx=2sin琪x+，所以T2π，故f(x)的最小正周期为2π．

è3ø

πππ

令xkπ,kZ，得xkπ,kZ．

326

π

所以函数f(x)图象的对称轴方程为xkπ,kZ．

6

骣π

（2）由题意知g(x)=|f(x)|=2sin琪x+．

桫3

骣π轾π5π

（i）在同一坐标系中，作出函数g(x)=2sin琪x+,xÎ犏-,与直线y3的图象，如下图所示：

桫3臌犏33

骣π

令g(x)3，即2sin琪x+=3，

桫3

骣π骣π3πππ2π

当sin琪x+>0时，由sin琪x+=得x2kπ或x2kπ,kZ，

桫3桫323333

π

即x2kπ或x2kπ,kZ．

3

轾π5ππ

又因为xÎ犏-,，故x0或x；

臌犏333

骣π骣π3π4ππ5π

当sin琪x+<0时．由sin琪x+=-得x2kπ或x2kπ，kZ，即xπ2kπ或

桫3桫323333

4π

x2kπ,kZ．

3

轾π5π4π

又因为xÎ犏-,，故xπ或x，

臌犏333

轾π轾4π

所以结合函数gx的图象得，使g(x)3成立的x的范围为犏0,犏π,．

臌犏3臌犏3

骣π骣π3

（ii）因为g(A)=|2sin琪A+|=3，则sin琪A+=±，

桫3桫32

ππ4ππ2ππ

因为0Aπ，所以A，所以A，解得A．

333333

选①ABC为锐角三角形且a2，

abc24

4444骣2π

由正弦定理：sinAsinBsinCπ3，则b+c=sinB+sinC=sinB+sin琪-B

sin3333桫3

3

44骣2π2π

=sinB+琪sincosB-cossinB

33桫33

骣π

=23sinB+2cosB=4sin琪B+.

桫6

ππ

0B0B

22ππ

因为ABC为锐角三角形，所以，即，得B，

π2ππ62

0C0B

232

ππ2π3骣π

则B，所以<sin琪B+£1，

3632桫6

所以23bc4，故bc的取值范围为(23,4]．

3

选②ABC的面积为S且S=a2+2，

8()

133

由S=bcsinA=bc=a2+2，得a22bc2．

ABC248()

2

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)-3bc，

2

消a得(b+c)-3bc=2bc-2，

(bc)22bcbc(bc)22

变形得bc，因为bc，即，

5225

解不等式得bc22，当且仅当bc时等号成立．

所以bc的取值范围为[22,)．

18．(1)答案见解析；

(2)(1,e1]；

3

(3)2ln2.

2

【详解】（1）函数f(x)的定义域为R,f(x)exa，

当a0时，在R上f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；

当a0时，令f(x)0得xlna，

当x(,lna)时，f(x)0,f(x)单调递减；

当x(lna,)时，f(x)0,f(x)单调递增．

综上，当a0时，f(x)在R上单调递增；

当a0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna,)上单调递增．

（2）由题意知，f(x)在(0,1]上存在唯一零点,

等价于方程exax10在(0,1]上有唯一实数根,

等价于函数yex与yax1的图象在(0,1]上有唯一交点，

因为直线yax1过定点(0,1),a为直线的斜率，

根据题意，直线yax1所在区间为下图中阴影部分，

由图，下临界线为函数x在处的切线，0，

yex0k切yx0e1

e1

上临界线过点(1,e)，则ke1，

10

所以a的取值范围为(1,e1]．

2x22ax2

（3）由题意得g(x)2lnxx22ax，定义域为(0,)，则g(x)．

x

2

因为x1,x2是函数g(x)的两个极值点，所以x1,x2是方程2x2ax20的两个实数根，

则x1x2a,x1x21．

x222x222

gx2gx12lnx2x12ax2x12lnx2x12x2x1x2x1

x1x1

x222x2122x2x2x1

2lnx2x12lnx2x12ln．

x1x1x1x2x1x1x2

x

2

令t，由x22x10，可得t2，

x1

121(t1)2

令h(t)2lntt,t2，则h(t)10，

ttt2t2

3

所以h(t)在[2,)上单调递减，可得h(t)h(2)2ln2，

2

3

故gxgx的最大值为2ln2.

212

743

19．(1)PA=，PA

212372

315927

(2)p3p2p

8163264

(3)证明见解析

1

【详解】（1）PA，

12

11112117

∣，

PA2PA1A2PA1A2PA1PA2A1PA1PA2A1p

222232212

同理，∣

PA3PA2A3PA2A3PA2PA3A2PA2PA3A2

727143

1．

12312272

（2）设每个组检测恰好通过1个阶段测试的概率为q，

1113p

，

qPA1A2PA1A2(1p)

22242

则甲、乙、丙三个组检测后，恰有两个组检测通过了1个阶段测试的概率为：

2

223p