广东省汕头市2026届高三数学上学期1月教学质量监测试题含解析

广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测

数学试题

一、单选题

5

1．复数的共轭复数是（）

i2

A．i2B．2iC．i2D．2i

x

11

2．已知Mxx21,Nx1，则MN（）

2

A．MB．NC．0,1D．

3．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（）

A．解释变量和响应变量线性相关B．相关系数r1

C．决定系数R21D．残差平方和等于1

6

4．x3的展开式的中间一项是（）

3x

5135

A．20B．20C．xD．

3x

5．已知a､b是异面直线，设平面满足a，且b∥，则这样的（）

A．不存在B．有且仅有1个

C．有且仅有2个D．有无数多个

11ab

6．已知1a3,b，则的取值范围是（）

42b

557

A．5,7B．,14C．3,13D．,

242

22

7．已知P是椭圆16x25y400上一点，且在x轴上方，F1,F2分别是椭圆的左､右焦点，直线PF2的斜率

为43，则PF1F2的面积为（）

A．66B．36C．123D．63

8．设yfx,xR满足x,y,zR,fxyfyzfzx3fx2yz，则f1f0的值为

（）

A．0B．1C．1D．2

二、多选题

､y

9．设Ox､Oy是平面内相交的两条数轴，e1､e2分别是与x轴轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为60.

若向量OPxe1ye2，则把有序实数对x,y叫做OP在坐标系Oxy中的坐标，即OPx,y.设

a3,2,b1,1，则（）

A．a19

B．ab1

11

C．a在b上的投影向量的坐标为,

22

D．ab4,1

10．已知函数fxx3bx2c，函数yfx12是奇函数，则（）

A．fxx32x21

B．fx有两个零点

C．不等式fx2的解集为,131,13

D．曲线yfx在点1,2处的切线与曲线yfx有三个公共点

11．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D､E分别是侧棱BB1､CC1上的点，ECBC2BD，则（）

2

A．平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为

2

1

B．直线DE与平面ABC所成角的正切值为

1113

C．在侧棱AA1上存在唯一的一点F，使FCDE

V6

D．若棱柱ABCABC的外接球半径RBC，则ADBCE

111V8

ABCA1B1C1

三、填空题

12．一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg），结

果如下：

83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，

94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．

一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，

又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进千

克的苹果．

x2y2

13．如图，以双曲线1a、b0上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y

a2b2

轴交于P、Q两点.若MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为.

*

14．把1到37这37个整数排成一个数列an，其前n项和为Sn，已知a137，且对于任意的n36,nN，

都有Sn能被an1整除，则a37．

四、解答题

15．据调查，某校学生40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为50%.

(1)从该校任选一名学生，记事件A“该生每天玩手机超过1小时”，B“该生近视”，试判断A与B是

否相互独立，并说明理由；

(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.

(3)根据上述结果，能得出什么结论？

16．已知函数fxcos4x2sinxcosxsin4x.

π

(1)求fx在0,上的单调递增区间；

2

AπBπCπ

(2)设a､b､c分别是ABC内角A､B､C的对边，若f,f，f成等比数列，求证：a,b,c

282828

成等比数列，并求公比q的取值范围.

17．已知抛物线C:y24x，过C的焦点F作直线交C于A､B两点，直线AO（O为C的顶点）交C的准线l

于点P.

(1)求证：BPl；

(2)求POPA的最小值.

△

18．已知矩形ABCD中，AB2BC22,E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，如图所

示.

(1)证明：不存在某个位置，使DEA1C；

(2)设点M为线段A1C的中点，

①判断线段MB的长是否为定值，并说明理由；

②当平面A1DE与平面ABCD的夹角为45时，求异面直线BM与EC所成角的余弦值.

19．某些函数如y=x2和yex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性

质可表示为：设hx是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x1､x2与任意0,1，总有

hx11x2hx11hx2成立.

2xxfx1fx2

(1)设fxxaxb，求证：f12；

22

kx2x3x2gx13gx2

(2)设gxek0，求证：g12；

55

(3)某同学研究发现，若函数hx在I上存在导函数hx，则上述性质的充要条件为hx在I上递增，求

ab

证：(ab)2aabb，其中a､b均为正数.

参考答案

1．A

552i52i

【详解】由2i，其共轭复数为i2.

i22i2i5

故选：A

2．C

1

【详解】因为，所以，

x21x10x1Mx|0x1

x

1

因为1x0，所以Nx|x0，

2

所以MN0,1.

故选：C.

3．D

【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.

因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数r1，所以r1，所以B正确。

决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数R21，残差平方和为0，故C正确，D错误

故选：D

4．B

6

【详解】由题意x3展开共有7项，中间一项是第4项，

3x

3

3333

x31

所以332323.

T4C6C6x(3)xC620

3x3

故选：B

5．B

【详解】在a上任取一点A作b的平行线c，因acA，则经过a，c的平面只有1个，设为.

则a，又b//c，c，b，则b//，从而，即这样的平面有且只有一个.

故选：B

6．C

111

【详解】因为b，所以24，

42b

aaba

又1a3，所以212，则1(3,13).

bbb

故选：C

7．D

22

22xy

【详解】椭圆16x25y400化成标准形式为1，

2516

22

xy22

F1,F2是椭圆1左、右焦点，且cab25163，

2516

16x225y2400

5

yx

F1(3,0),F2(3,0)，若P(x,y)，则43，解得2，

x3

y23

y0

1

△PFF的面积S62363.

122

故选：D

8．A

【详解】令xyz，得：f2xf0f1f0，

令xyz，得：f0f2xf0f1，

所以f1f0，

从而得：f1f00.

故选：A

9．ACD

221

【详解】由题可得a3e12e2，be1e2，ee1，e1e2，

122

22

对于A，

a3e12e2a3e12e212e1e2

1

131219，故A正确；

2

22

对于B，

a·b3e12e2e1e23e12e2e1e2

11

32，故B错误；

22

a·b

·b1

对于C，a在b上的投影向量为2，由B分析可得ab，

b2

2222

又2，

bbe1e2e1e22e1e21

a·b11111

则2·bbe1e2,，故C正确；

b22222

对于D，ab3e12e2e1e24e1e24,1，故D正确.

故选：ACD

10．BC

32

【详解】yfx12x1bx1c2

x33bx232bxbc3，

函数yfx12是奇函数，

3b0b3

，解得，

bc30c0

fxx33x2，故A错误；

令fxx33x20，即x2x30，解得x0或x3，

所以fx有两个不同的零点，故B正确；

解不等式fx2，即x33x22，移项得x33x220，

即x1x22x20，

x1x1

2或2，

x2x20x2x20

解得x13或1x13，

所以，不等式fx2的解集为,131,13，故C正确；

fx3x26x，则f1363，

则切线方程为y23x1，即y3x1，

yx33x2

联立，得x33x23x10，

y3x1

即(x1)30，解得x1，

所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误．

故选：BC．

11．ACD

【详解】取BC的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a，侧棱长为b(a0,b2a)，

则ECBC2BD2a，

所以A(3a,0,0),D(0,a,a),E(0,a,2a)，

对于A，易知平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)，

DA(3a,a,a),DE(0,2a,a)，

设平面ADE的法向量为n(x,y,z)，

nDA3axayaz0

所以，

nDE2ayaz0

令y1，则z2,x3，

所以n(3,1,2)，

22

所以cosm,n，

13142

2

所以平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为，故A正确；

2

对于B：易知m(0,0,1)是平面A1B1C1的一个法向量，

又DE(0,2a,a)，

设直线DE与平面A1B1C1所成的角为，

a5

则sincosm,DE，

14a2a25

25

所以cos1sin2，

5

sin1

所以tan，故B错误；

cos2

对于C，假设在侧棱AA1上存在点F，使FCDE，

设F(3a,0,c),(0cb)，又C(0,a,0)，所以FC(3a,a,c)，

所以FCDE2a2ac0，又a0，解得c2a，

所以侧棱AA1上存在唯一的一点F，使FCDE，故C正确；

对于D，棱柱ABCA1B1C1的外接球半径RBC2a，

2

1232124246

则22，即4，所以，

R(b)aababa

23433

111

则VSOA=(a2a)2a3a3a3，

ADBCE3DBCE32

1463，

VSBB2a3aa42a

ABCA1B1C1ABC123

V3a36

所以ADBCE，故D正确；

V38

ABCA1B1C142a

故选：ACD

12．99.5

【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：

55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，

99，100，101，104，107，107，117

3080%=24，

99100

故第80百分位数：99.5

2

故答案为：99.5

13．3

b2

【详解】因为M与x轴相切于双曲线的焦点F，所以，MF，点M到y轴的距离为c.

a

b2

从而，正MPQ的边长为，边PQ上的高为c.

a

3b2

由c2ac3c2a2.

2a

c

解得3，即双曲线的离心率为3.

a

14．19

*

【详解】a137，任意的n36,nN，都有Sn能被an1整除，

S1能被a2整除，

37是质数，a21或a237，

又数列是1到37的排列，a137，所以a237，故a21，

S36能被a37整除，S37S36a37，

13737

S37也能被a37整除，S3719，

372

3719的正因数有1,19,37,3719，且a137，a21，

a3719．

故答案为：19．

15．(1)A与B不相互独立

(2)0.375

(3)长时间玩手机与近视存在一定的关联.

【详解】（1）A与B不相互独立，理由如下：

已知P(A)0.2,P(B)0.4，P(B|A)0.5，

所以P(AB)P(A)P(B|A)0.20.50.1；

因为P(A)P(B)0.20.40.08；

所以P(AB)P(A)P(B)，

所以A与B不相互独立.

（2）设A为“每天玩手机不超过1小时”，则P(A)10.20.8

所以PBPAPB|APAPB|A

即0.40.20.50.8PB|A，所以PB|A0.375.

（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率

37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.

π

16．(1)0,

8

q5151

(2)证明见解析，公比的取值范围是,.

22

【详解】（1）fxcos4x2sinxcosxsin4xsin2xcos2xcos2xsin2xsin2x

π

cos2xsin2x2sin2x.

4

πππ3ππ

由2kπ2x2kπ,kZ，可得kπxkπ,kZ.

24288

π3ππ5π9π

因为x0,，当k0时，x；当k1时，x；

28888

ππ

所以fx在0,上的单调递增区间为0,.

28

π

（2）由（1）知fx2sin2x，

4

AπBπCπ

则f2sinA，f2sinB，f2sinC.

282828

2

AπBπCπBπAπCπ

因f,f，f成等比数列，则fff，

282828282828

即2sin2B2sinA·2sinC，也即sin2BsinAsinC，

b

由正弦定理得b2ac，所以a,b,c成等比数列，因q，则baq,caq2，

a

a2c2b2a2a2q4a2q2q4q21

由余弦定理，可得cosB，

2ac2a2q22q2

q4q21

因为B0,π，所以1cosB1，即11.

2q2

5151q5151

解得q，所以公比的取值范围是,.

2222

17．(1)证明见解析

(2)9

【详解】（1）抛物线C:y24x的焦点为F1,0，准线l:x1，顶点O0,0

22

y1y2

设A,y1,B,y2.

44

因为直线AB过点F1,0；

yy

12

所以y2y2，即yy24yyy24y

1121121212

44

即y2y1y1y240，

因为y1y2，所以y1y24；

44

直线AO的方程为yx，代入准线l:x1，得P1,；

y1y1

4

因为y1y24，所以y2，所以P1,y2，

y1

2

y2

所以点B(,y)与P1,y2的纵坐标相同，

42

因此BP方程为yy2，与准线l:x1垂直，

所以BPl.

442

t4

（2）令y1t,(t0)，则y2，则A,t,P1,；

y1t4t

22

24t16

所以PO1,

tt

2222

t24t4t16

PA1t.

4t4t

22

t4t16t216t216

所以POPA5259；

4t24t24t2

t216

当且仅当t22时取等，|PO||PA|有最小值9.

4t2

18．(1)证明见解析

105

(2)①线段MB的长是定值，为，理由见解析.②

210

【详解】（1）假设存在某个位置，使DEA1C.

因为在矩形ABCD中，E为AB的中点，AB2BC22.

所以ADBC2,AEEB2，则ADE,BCE都是等腰直角三角形，

所以AEDBEC45，那么DEC90，即DEEC.

若DEA1C，且DEEC,A1CECC,A1C,EC平面A1EC，可得DE平面A1EC，

又因为A1E平面A1EC，所以DEA1E，这与A1DE是由ADE翻折而成，

A1EDAED45矛盾，所以不存在某个位置，使DEA1C.

（2）①线段MB的长是否为定值，理由如下：

取DC的中点N，连接MN,BN，因为M为线段A1C的中点，N为DC的中点，

12

所以MN//A1D，且MNA1D，又因为ADA1D2，所以MN.

22

在矩形ABCD中，N为DC的中点，BC2,DCAB22，则CN2.

22

所以BNBCCN2，因为MN//A1D,BN//DE,A1DE45，所以MNB45.

2

在MNB中，MN,BN2，根据余弦定理得

2

125

MB2MN2BN22MNBNcos45422，

222

510

所以MB，为定值.

22

②取DE中点为F，连接A1F,FN.

2

因为ADE是等腰直角三角形，所以AFDE，2DE.

11A1FA1E211

2

1

而FN//CE,CEDE,FNCE1，所以FNDE，

2

所以A1FN为平面A1DE与平面ABCD的夹角，

因为平面A1DE与平面ABCD的夹角为45，所以A1FN45.

2222

在A1FN中，根据余弦定理得ANAFFN2AFFNcos45112122.

1112

AD2DN2AN2222222

在ADN中，根据余弦定理得11.

1cosA1DN

2A1DDN2224

取A1D的中点为G，连接CG,MG,EG.

在CGD中，根据余弦定理得

122213

CG2CD2DG22CDDGcosADN82222.

12242

11

因为MG//CD,MGCD,BE//CD,BECD，所以MG//BE,MGBE.

22

所以四边形MGEB为平行四边形，所以MB//EG,MBEG.

所以异面直线BM与EC所成角即为EG与EC所成的角，即GEC.

1010

由①知MB，所以EG.

22

513

22242

EGECCG2225

在GEC中，根据余弦定理得cosGEC.

2EGEC1021010

22

2

5

故异面直线BM与EC所成角的余弦值为.

10

19．(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

(3)证明过程见解析

【详解】（1）因为fxx2axb，

2

xxxxxx

所以f1212a12b，

222

fxfxx2axbx2axbx2x2xx

12112212a12b，

2222

222

xxfx1fx2xxxxxxxx

所以f1212a12b12a12b

222222

2222222222

xxxxx12x1x2x22x1x2x2xxxx1x2

12