平行四边形性质与判定的综合应用（课件）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第3课时平行四边形性质与判定的综合应用北师版·八年级数学下册新课导入如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流。实际问题几何问题12abABCD证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠1=∠2=90°。∴AC∥BD。∵AB∥CD，∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）。∴AC=BD（平行四边形的对边相等）。探索新知例3已知：如图，直线a∥b，A，B

是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D。求证：AC=BD。12abABCD12abABCD如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等（如图，AC=BD）。

这个距离称为平行线之间的距离。【知识要点】简记为：两条平行线间的距离处处相等。思考1：两条平行线之间的距离和两点间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？两点间的距离连接两点的线段的长度AB点到直线的距离点到直线的垂线段的长度aA两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度bABa联系：都是指某一条线段的长度。对应训练1.如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为E，G，则下列说法中错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.A，B

两点之间的距离就是线段

AB

的长D.直线a，b之间的距离就是线段CD的长D对应训练2.如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积（）A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不确定C思考2：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想。由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等。尝试·交流每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC（平行四边形的定义）。∴∠MDF=∠NBE。∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE。∴MF=NE，∠MFD=∠NEB。∴∠MFE=∠NEF。∴MF∥NE。∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。例4已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在边AD和BC上，点E，F在对角线BD

上，且

DM=BN，DF=BE。求证：四边形MENF

是平行四边形。ABCDNMEF解：在□ABCD

中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°。∵∠ABC=70°，∴∠C=180°－∠ABC=110°。∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=35°。∵DF∥BE，∴∠CFD=∠CBE=35°。∴∠CDF=180°－∠C－∠CFD=180°－110°－35°=35°。对应训练3.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数。【选自教材P165】ABCDEF当堂练习1.在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c

的距离为5，则直线a到直线b的距离为（）A.3 B.7 C.3或7 D.无法确定C2.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B3.如图，在△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是_________。304.如图所示，已知四边形ABCD

是平行四边形，在AB

的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M。求证：CD=CM。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC。又∵BE=AB，∴BE∥DC，BE=DC。∴四边形BDCE是平行四边形。∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F。同理，∠BDM=∠DMC。∵BD=BF，∴∠BDF=∠F。∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM。5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，△ABC的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3

上，且l1

与l2

之间的距离为2，l2

与l3

之间的距离为3，求AC