2024-2025学年江苏省常州市清潭中学七年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省常州市清潭中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填入（）内．每小题2分，共16分）1．（2分）下面计算正确的是（）A．（a3）2＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．a+a＝a2 D．a2•a3＝a62．（2分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹3．（2分）在运用乘法公式计算（x﹣y）（﹣x+y）时，下列变形正确的是（）A．（x﹣y）2 B．（x﹣y）（x+y） C．（y﹣x）（y+x） D．﹣（x﹣y）24．（2分）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（）A．150° B．120° C．100° D．60°5．（2分）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2分）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（）种不同补法．A．4 B．3 C．2 D．17．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．728．（2分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110° B．120° C．140° D．150°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为．10．（2分）已知am＝4，an，则am+n＝．11．（2分）计算：0.252024×42025＝．12．（2分）若x2+2x＝﹣1，则代数式6+x（x+2）的值为．13．（2分）如果关于x的整式x2﹣mx+9是某个整式的平方，那么m的值是．14．（2分）已知a＝233，b＝322，则a，b的大小关系是（用“＜”连接）．15．（2分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为．16．（2分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转50°后到达△AED的位置，此时恰好使得DC∥AB，则∠CAE的大小为．17．（2分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t＝．18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一个动点（点D与点B不重合），连接AD，作点B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则△BEC面积的最大值为．三、解答题（本大题共7题，19题16分，20题6分，21题，22题各7分，23题8分，24题、25题各10分，共64分）19．计算：（1）（3a+1）（3a﹣1）；（2）；（3）a•a3+（﹣2a2）3+a8÷a2；（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）．20．先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）+x（4﹣x），其中x＝﹣2．21．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上．（1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长；（2）连接BD，则BD和直线AN的关系为．22．如图，在5×5的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图．（1）如图1，作出△ABC关于点O中心对称的△DCB；（2）如图2，△ABC旋转得到△DEF．①标出旋转中心点P；②在直线AD上找一点M，使得△CMF的周长最小．23．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．（1）利用如图可以验证公式；（2）利用（1）中得到的公式解决问题：①若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝；②若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值．24．阅读材料：材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫作“杨辉三角”（如图①）；材料2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到图②．（1）请根据材料1和材料2直接写出：①（a+b）4展开式中a3b的系数是；②（a+b）10展开式中所有项的系数和为；③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：28+8×27+28×26+56×25+70×24+56×23+28×22+8×2+1．（2）如图③是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若（m，n）表示第m行，从左往右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，3）表示的数是．25．一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．（1）当t＝秒时，DE∥AB；当t＝秒时，DE⊥AB；（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，若△AFP有两个内角相等，求t的值；（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图2，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，请求出x+y+z的值．

2024-2025学年江苏省常州市清潭中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACDBCACB一、选择题（本大题共8小题，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填入（）内．每小题2分，共16分）1．（2分）下面计算正确的是（）A．（a3）2＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．a+a＝a2 D．a2•a3＝a6【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项的计算方法判定即可．【解答】解：A、（a3）2＝a6，选项计算正确，符合题意；B、a8÷a2＝a6，a6≠a4，选项计算错误，不符合题意；C、a+a＝2a，2a≠a2，选项计算错误，不符合题意；D、a2•a3＝a5，a5≠a6，选项计算错误，不符合题意．故选：A．2．（2分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．【解答】解：根据轴对称图形，中心对称图形的定义得：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选：C．3．（2分）在运用乘法公式计算（x﹣y）（﹣x+y）时，下列变形正确的是（）A．（x﹣y）2 B．（x﹣y）（x+y） C．（y﹣x）（y+x） D．﹣（x﹣y）2【分析】把原式提出负号进行变形即可求出．【解答】解：原式＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2．故选：D．4．（2分）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（）A．150° B．120° C．100° D．60°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，故选：B．5．（2分）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由加法法则得a•an＝a8，再由同底数幂的乘法法则得an+1＝a8，即可得出n的值．【解答】解：由已知得：a•an＝a8，即an+1＝a8，∴n+1＝8，∴n＝7．故选：C．6．（2分）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（）种不同补法．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可解答．【解答】解：如图所示，四个位置均可，一共有4种画法，故选：A．7．（2分）如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，由题意可得a2﹣b2＝72，利用S阴影部分＝S△EDG+S△BDG进行计算即可．【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则a2﹣b2＝72，S阴影部分＝S△EDG+S△BDGDG•CEDG•BCb（a﹣b）a（a﹣b）（a﹣b）（a+b）（a2﹣b2）72＝36．故选：C．8．（2分）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110° B．120° C．140° D．150°【分析】由题意知∠DEF＝∠EFB＝20°图b∠GFC＝140°，图c中的∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝20°，在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为1.4×10﹣8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8，故答案为：1.4×10﹣8．10．（2分）已知am＝4，an，则am+n＝2．【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．【解答】解：∵am＝4，an，∴am+n＝am•an＝42．故答案为：2．11．（2分）计算：0.252024×42025＝4．【分析】先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为0.252024×42024×4，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到（0.25×4）2024×4，据此求解即可．【解答】解：原式＝0.252024×42024×4＝（0.25×4）2024×4＝1×4＝4．故答案为：4．12．（2分）若x2+2x＝﹣1，则代数式6+x（x+2）的值为5．【分析】利用单项式乘多项式的法则对所求的式子进行运算，再整体代入已知的条件运算即可．【解答】解：当x2+2x＝﹣1时，6+x（x+2）＝6+（x2+2x）＝6+（﹣1）＝5．故答案为：5．13．（2分）如果关于x的整式x2﹣mx+9是某个整式的平方，那么m的值是﹣6或6．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值．【解答】解：x2﹣mx+9＝x2﹣mx+32，由已知可得m＝±2×1×3，∴m＝﹣6或m＝6，故答案为：﹣6或6．14．（2分）已知a＝233，b＝322，则a，b的大小关系是a＜b（用“＜”连接）．【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可．【解答】解：∵a＝233，b＝322，∴a＝233＝（23）11＝811，b＝322＝（32）11＝911，∵811＜911，∴a，b的大小关系为：a＜b．故答案为：a＜b．15．（2分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝6，点E，F分别在AB、CD上．将长方形纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为36．【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1D1＝AD，D1F＝DF，A1E＝AE，A1D1+A1E+EB+D1F+FC+BC，＝AD+（AE+EB）+（DF+FC）+BC，＝AD+AB+DC+BC，＝2BC+2AB，＝2（BC+AB），＝2（6+12），＝36．∴阴影部分图形的周长＝36．故答案为：36．16．（2分）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转50°后到达△AED的位置，此时恰好使得DC∥AB，则∠CAE的大小为15°．【分析】由旋转得AD＝AC，∠DAC＝∠EAB＝50°，由∠ADC＝∠ACD，由2∠ACD+50°＝180°，求得∠ACD＝65°，由DC∥AB，得∠ACD＝∠CAB＝65°，则∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB＝15°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AED，∴AD＝AC，∠DAC＝∠EAB＝50°，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠ADC+∠ACD+∠DAC＝2∠ACD+50°＝180°，∴∠ACD＝65°，∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝65°，∴∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB＝65°﹣50°＝15°，故答案为：15°．17．（2分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t＝80．【分析】直接根据定义解答即可．【解答】解：设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，∴mp×mq＝mr，即16×5＝t，∴t＝80．故答案为：80．18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，点D是BC上的一个动点（点D与点B不重合），连接AD，作点B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则△BEC面积的最大值为16．【分析】连接AE交BC于G，利用对称性质可得AE＝AB＝8，根据垂线段最短，当AE⊥BC时，AG最小，则EG最大，即点E到BC的距离最大，此时△BEC面积最大，利用三角形的面积求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC2＝AB2+AC2＝82+62＝100，∴BC＝10，连接AE交BC于G，如图，∵点B关于直线AD的对称点是E，∴AE＝AB＝8，当AE⊥BC时，AG最小，则EG最大，即点E到BC的距离最大，此时△BEC面积最大，由AB•ACBC•AG得AG4.8，∴EG＝AE﹣AG＝3.2，∴△BEC面积的最大值为．故答案为：16．三、解答题（本大题共7题，19题16分，20题6分，21题，22题各7分，23题8分，24题、25题各10分，共64分）19．计算：（1）（3a+1）（3a﹣1）；（2）；（3）a•a3+（﹣2a2）3+a8÷a2；（4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）．【分析】（1）根据平方差公式解答即可；（2）先根据负整数指数幂法则，零指数幂法则，有理数的乘方计算，然后合并即可；（3）根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除法则计算，然后合并即可；（4）先变形，根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）（3a+1）（3a﹣1）＝9a2﹣1．（2）．（3）原式＝a4﹣8a6+a6＝a4﹣7a6．（4）原式＝（x+2y﹣3）[x﹣（2y﹣3）]＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．20．先化简，再求值：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）+x（4﹣x），其中x＝﹣2．【分析】先进行整式混合运算，再代入求值即可．【解答】解：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）+x（4﹣x）＝x2﹣4x+4﹣x2+9+4x﹣x2＝﹣x2+13．当x＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）2+13＝﹣4+13＝9．21．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上．（1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长；（2）连接BD，则BD和直线AN的关系为BD⊥AN．【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；（2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得BD⊥AN．【解答】解：（1）∵△ADE和△ABC关于直线MN对称，∴点B与点D关于直线MN对称，∴DF＝BF＝9，（对应边相等）∵ED＝15，BF＝9，∴EF＝ED﹣EF＝15﹣9＝6．（2）∵△ADE和△ABC关于直线MN对称，∴点B与点D关于直线MN对称，∴MN⊥BD，∴BD⊥AN，故答案为：BD⊥AN．22．如图，在5×5的方格纸中，所有标出的点均为格点，请按要求画图．（1）如图1，作出△ABC关于点O中心对称的△DCB；（2）如图2，△ABC旋转得到△DEF．①标出旋转中心点P；②在直线AD上找一点M，使得△CMF的周长最小．【分析】（1）根据中心对称的性质画图即可；（2）①根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点即可；②过点C作AD的对称点H，连接HF，找到HF与AD的交点即可．【解答】解：（1）如图△DCB为所求，（2）①根据旋转的性质：旋转中心点在对应点连线的垂直平分线上，由此找出旋转中心点，如图点P为所求，②过点C作AD的对称点H，连接HF，HF与AD的交点即为M，使得△CMF的周长最小，如上图．23．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．（1）利用如图可以验证公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）利用（1）中得到的公式解决问题：①若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝28；②若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值．【分析】（1）根据几何图形的面积即可得；（2）①先变形x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再代入求值即可；②把（x﹣2024）和（2025﹣x）看作一个整体，再式子变形求解即可．【解答】解：（1）通过计算几何图形的面积可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）①由条件可知x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝28，故答案为：28；②∵（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，∴（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝[（x﹣2024）+（2025﹣x）]2﹣2（x﹣2024）（2025﹣x）＝12﹣2（x﹣2024）（2025﹣x）＝2026，∴．24．阅读材料：材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫作“杨辉三角”（如图①）；材料2：我们知道，（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2．利用多项式的乘法运算，还可以得到（a+b）3＝（a+b）（a2+2ab+b2）＝a3+3a2b+3ab2+b3．当a+b≠0时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到图②．（1）请根据材料1和材料2直接写出：①（a+b）4展开式中a3b的系数是4；②（a+b）10展开式中所有项的系数和为210；③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：28+8×27+28×26+56×25+70×24+56×23+28×22+8×2+1．（2）如图③是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若（m，n）表示第m行，从左往右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，3）表示的数是．【分析】（1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可；②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可；③根据题中计算规律可将原式化为（2+1）8，继而求解即可；（2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第m行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可．【解答】解：（1）①（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案为：4．②（a+b）0的系数和为1，即20，（a+b）1的系数和为1+1＝2，即21，（a+b）2的系数和为1+2+1＝4，即22，（a+b）3的系数和为1+3+3+1＝8，即23，……∴（a+b）n的系数和为2n，∴（a+b）10展开式中所有项的系数和为210，故答案为：210．③由题意可得：28+8×27+28×26+56×25+70×24+56×23+28×22+8×2+1＝28+8×27×11+28×26×12+56×25×13+70×24×14+56×23×15+28×22×16+8×2×17+18＝（2+1）8＝38；（2）由题意可知，第m行第一个数为，并且相邻两个数之