二倍角的三角函数公式课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

4.3二倍角的三角函数公式北师大版（2019）必修第二册学习目标1.理解二倍角公式与两角和公式之间的联系，能利用两角和公式探索二倍角公式及相关变形式，体现逻辑推理与数学计算能力（重点）2.能用二倍角公式推导出半角公式，体现逻辑推理能力（重点）3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用，体现数学计算能力（难点）课程引入复习一下：两角和与差的正弦公式、余弦公式与正切公式：Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβCα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβSα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；Sα-β:sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.新课学习思考一下：根据两角和与差的计算公式，计算角β=α的两角和与差公式，你可以得到什么结论？若在两角和的正弦公式Sα＋β中，令β=α，则可求出sin2α的公式，即sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα类似的，可得cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α，sin2α=1-cos2α，即cos2α=1-sin2α-sin2α＝1-2sin2αcos2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1新课学习思考一下：根据两角和与差的计算公式，计算角β=α的两角和与差公式，你可以得到什么结论？tan2α=tan(α＋α)=所以新课学习二倍角公式T2α：tan2α＝S2α:sin2α＝2sinαcosα；C2α:cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；新课学习注意：1.二倍角的正弦、余弦等式两边的定义域都是R，这两个结论对任意角都成立.2.tan2α有意义：2α终边不在y轴上，2α≠kπ＋

(k∈Z)，即α≠

(k∈Z)3.“倍角”概念，其实质是指两倍关系(专指2倍)，如4α是2α的两倍，α是

的两倍，3α是

的两倍，

是

的二倍，

是

的二倍等等.新课学习例1：已知角α是第二象限角，

，求sin2α，cos2α和tan2α的值.因为角α是第二象限角，所以sinα＞0，由二倍角公式，有新课学习例2：在△ABC中，已知AB＝AC＝2BC，求角A的正弦值.如图，过点A作BC的垂线，垂足为D，设∠BAD＝θ，则∠BAC＝2θ，因为BD=BC=AB

所以ABDCθ新课学习例3：要把半径为R的半圆形木材截成矩形，应怎样截取，才能使矩形面积最大？αROBA如图，设圆心为O，矩形面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝Rsinα·2(Rcosα)

＝2R2sinαcosα

＝R2sin2α，当sin2α取得最大值1，即

时，矩形面积最大，最大面积等于R2.新课学习思考一下：在利用二倍角公式解决问题时，已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如果已知一个角α的一个三角函数值，能否求出这个角的半角

的所有三角函数值？

在二倍角公式cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1用

代替α得

cosα=1-2sin2cosα=2cos2-1

由此新课学习上式两边分别相除，可得又根据正切函数的定义得到新课学习半角公式在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定.若象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号.新课学习例4：求

的值.由半角公式，有新课学习例5：已知

求因为所以新课学习拓展：已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：1.先化简已知或所求式子；2.观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；3.将已知条件代入所求式子，化简求值．课程练习A课程练习课程练习B课程练习课程练习A课