复数乘除运算的几何意义课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.3.2复数乘除的几何意义北师大版（2019）必修第二册学习目标1.通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义，体现逻辑推理能力（重点）2.会运用复数三角形式的乘法和除法法则进行复数的运算，体现逻辑推理和数学计算能力（重难点）课程引入解锁复数的“魔法技能”——把复平面变成一个可以“旋转+拉伸”的魔法画布！复数乘法就是给向量下达两条指令：转多少度？拉多长？比如乘以i，就是“逆时针转90°，长度不变”；乘以2i，就是“转90°再拉长2倍”.除以i，就是“顺时针转90°”，除以2就是“缩小到原来的0.5”.我们就用数学语言拆解这两个“魔法公式”——模长相乘（除），辐角相加（减）.新课学习思考交流：将复数z1，z2分别用三角形式表示为：z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，如何计算z1z2？z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]即r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”．新课学习复数乘法的几何意义两个复数z1，z2相乘时，先画出它们分别对应向量

然后把向量

绕原点O按逆时针旋转角θ2(若θ2＜0，就要把

绕原点O按顺时针旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积.这就是复数乘法的几何意义.新课学习例2：如图，向量

与复数

对应，把

绕原点O按逆时针方向旋转120°得到

，求

对应的复数(用代数形式表示.)根据复数乘法的几何意义，所求复数就是

乘一个复数z0的积，z0的模是1，辐角的主值是120°，故所求的复数是新课学习例3：试证明：[r(cosθ＋isinθ)]3=r3(cos3θ＋isin3θ).[r(cosθ+isinθ)]3=r(cosθ+isinθ)·r(cosθ+isinθ)·r(cosθ+isinθ)=[r(cosθ+isinθ)·r(cosθ+isinθ)]·r(cosθ+isinθ)=r2(cos2θ+isin2θ)·r(cosθ+isinθ)=r3(cos3θ＋isin3θ)新课学习思考一下：设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，如何求

？所以新课学习两个复数三角形式相除两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.新课学习例4：计算：

并把结果化为代数形式.=2(0+i)=2i新课学习思考交流：请计算复数z=r(cosθ+isinθ)的平方根和3次方根？设z1=

r1(cosx+isinx)，且z12=r(cosθ+isinθ)，所以r12(cos2x+isin2x)=r(cosθ+isinθ)，所以r12

=r，且2x=θ+2kπ(k∈Z)，因为

x∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，所以k可取0、1，所以新课学习思考交流：请计算复数z=r(cosθ+isinθ)的平方根和3次方根？设z2=

r2(cosy+isiny)，且z23=r(cosθ+isinθ)，所以r23(cos3y+isin3y)=

r(cosθ+isinθ)，所以r22=r，且3y=θ+2kπ(k∈Z)，所以因为y∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，所以k可取0、1、2，所以新课学习拓展：复数除法的几何意义：两个复数z1，z2相除时，先画出它们分别对应向量

将向量

按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的

倍.所得向量

就表示商.课程练习A课程练习课程练习B课程练习课程练习A课程练习