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上一页目录下一页退出§8.2直角坐标系中二重积分计算

累次积分法f(x,y)连续,且f(x,y)≥0,积分区域D由曲线及直线x=a,x=b围成,其中a＜b，,且则D可表示为此时，称D为X-型区域．这种区域特点是：穿过D内部且平行于y轴直线与D边界交点不多于两个，以下列图所表示．第1页上一页目录下一页退出由二重积分几何意义，值等于以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶曲顶柱体体积，以下列图所表示．第2页上一页目录下一页退出我们用“切片法”来求这个体积．首先在区间［a,b］上任取一子区间［x,x+dx］，用过点(x,0,0)且平行于yOz坐标面平面去截曲顶柱体，截得截面是以空间曲线z=f(x,y)为曲边，以为底边曲边梯形．其面积为再用过点(x+dx,0,0)且平行于yOz坐标面平面去截曲顶柱体，得一夹在两平行平面之间小曲顶柱体．它们可近似看作以截面面积A(x)为底面积，dx为高薄柱体，其体积元素为第3页上一页目录下一页退出所以曲顶柱体体积为或记为于是得到二重积分计算公式(1)第4页上一页目录下一页退出上式右端是一个先对y，后对x累次积分．求内层积分时，将x看作常数，y是积分变量，积分上、下限能够是随x改变函数，积分结果是x函数．然后再对x求外层积分，这时积分上、下限为常数．若积分区域D由曲线及直线y=c,y=d围成，则D可表示为此时，称D为Y-型区域，这种区域特点是：穿过D内部且平行于x轴直线与D边界交点不多于第5页上一页目录下一页退出两个，以下列图所表示.由类似分析，可得(2)第6页上一页目录下一页退出实际上，以上讨论中做了f(x,y)≥0假设，实际上把二重积分化为两次定积分时，并不需要被积函数满足此条件，只要f(x,y)可积就行．即上面两个公式对普通可积函数均成立．例1计算，其中D是由直线y=x,x=1及y=0围成区域．解1区域D以下列图所表示．若将D表示为X-型区域D=｛(x,y)︱0≤x≤1,0≤y≤x｝,则由公式(1)得第7页上一页目录下一页退出解2将D表示成Y-型区域,请同学们思索一下,应该怎样写出求解表示式出来.结果:D=｛(x,y)︱0≤y≤1,y≤x≤1｝第8页上一页目录下一页退出例2交换积分次序解由所给积分上、下限可知，积分区域D用Y型区域表示为即区域D由围成，以下列图阴影部分所表示．D用X-型区域表示为第9页上一页目录下一页退出所以由例2看出：交换积分次序关键是，依据所给积分上下限准确地画出积分区域D．例3计算，其中D由

围成．解画出区域D，以下列图所表示．第10页上一页目录下一页退出联立将D表示为Y-型区域为所以另外一个积分次序请同学们自已思索．第11页上一页目录下一页退出例4计算二重积分，其中D由直线y=1,y=x及x=0围成．解如右图所表示，D可表示为若先对y积分再对x积分，则积分无法计算出来．改用先对x积分再对y积分,则第12页上一页目录下一页退出可见，积分次序选取有时候会关系到积分能否算得出来．例5计算二重积分

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