2023年高中数学知识点总结

高中数学必修2知识点总给

立体几何初步

特殊几何体表面积公式(C为底面周长,h为高,为斜高,1为母线)

5直棱柱侧面积=chS正枝嫉侧面枉=；c"S正枝价H悯枳=；(G+C2)h'

S圆桂侧=29%」浓=24+/)S1gs枳="/SM=R(r+/)

S回台恻而枳=(「+我)6S冏台表二万(厂+r/+R/+R~)

柱体、锥体、台体的体积公式

%=S/z%=1(5+VF?+S)h/柱=5〃=笈,〃"/

，J—

台_l(s+VF?+S)A-1/r(r2+rR+R2)h

(4)球体的表面积和体积公式:v

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

I平面含义：平面是无限延展的

2三个公理:

(I)公理1：假如一条直线上的两点在一种平面内，那么这条直线在此平面内.

符号表达为

ASa

Bea

公理1作用:判断直线与否在平面内.

(2〉公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一种平面.

符号表达为：A、B、C三点不共线=>有且只有一种平面。，

使A£a、B£Q、CGao

公理2作用：确定一种平面的根据。

(3)公理3:假如两个不重登的平面有•种公共点，那么它们有且只有•条过该点的公共直线。

符号表达为：PGanp=>aAP=L,且P£L

公理.3作用：鉴定两个平面与否相交的根据.

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有旦只有一种公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不一样在任何一种平面内，没有公共点。

2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表达为：设a、b、c是三条直线

a"}=)a//c

c〃b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都合用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的根据。

3等弁］定理：空间中假如两个角IKJ两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的互相位匿来确定，与0的选择无关，为了而便，点。一般取在两直线中的一条上:

②两条异面直线所成的角«€(0,)；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直设互相垂直，记作a_Lb：

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形：

⑤计算中，一般把两条异面直线所成的角域化为两条相交直线所成的角.

2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.直线与平面有三种位置关系：

(1)直线在平面内一一有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一种公共点

(3)直线在平面平行一一没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可用aa来表达

2.2.直线、平面平行的鉴定及其性质

2.2.1直线与平面平行的鉴定

1.直线与平面平行的鉴定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表达：

aa

A

CJ

bP=>a〃a

a//b

2.2.2平面与平面平行的鉴定

1.两个平面平行II勺鉴定定理：一种平面内的两条交直线与另一种平面平行，则这两个平面平行.

符号表达：

C、

aB

C>

b0

J

anb=PB〃a

a〃a

b〃a

2.判断两平面平行的措施有三种：

(1)用定义：

(2)鉴定定理：

(3)堪直于同•条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1.汽线与平面平行的性质定理：一条汽线与一种平面平行，则过这条直线的任一亡而与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表达：

打〃a

A

c

a0a〃b

anB=b

作用：运用该定理可处理直线间的平行问题。

2.两个平面平行II勺性质定理：假如两个平行的平面同步与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表达：

a〃B

any=aa〃b

Br>Y=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的鉴定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的鉴定

1,定义：假如直线L与平面a内的任意•条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L±a,直线L叫

做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂而。如图，直线与平而垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2.直线与平面垂直的鉴定定理：一条直线与•种平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视：

b）定理体现了“百线与平面垂直”与"直线与百线垂直”互相转化的数学思想。

232平面与平面垂直的鉴定

L二面角的概念：表达从空间一直线出发的两个半平面所构成的图形

二面角的记法：二面角a-1-B或a-AB-B

3、两个平面互相垂直的鉴定定理：一种平面过另一种平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂卵性质

1.直线与平面垂直附性所定理：垂直于同一种平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线的直线与另一种平面垂直.

第三章直线与方程

<1)直线的倾斜角

定义x轴正向与直线向上方向之间所成口勺角叫直线的倾斜角。尤其地.当直线与x轴平行或重叠时,我们规定它的倾斜角为

。度.因此，倾斜角的取值范围是0°WaV180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的止切叫做这条直线的斜率。宜线的斜率常用k表达。即。斜率反应直线与

轴的倾斜程度.

当直线1与x轴平行或重叠时，a=0°,k=tanO°=0:

当直线1与x轴垂直时，a=90°,k不存在.

当时,；当时，；当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：(Pl(xl,y),P2(x2,y2),xl^x2)

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与PLP2的次序无关；

(3)后来求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求存:

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式：直线斜率k,且过点

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=yU

与直线的斜率为9()-时，直线的斜率不存在，它啊方程不能用点斜式表达.但因1上每一点的横坐标都等于xl,因此它的方程

是x=xl1.

②斜截式：，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式：()直线两点，

④截矩式：其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为・

⑤一般式：（A,B不全为0）

注意：各式的合用范围特殊的方程如：

平行于x轴时克线：（b为常数）；平行Fy轴的直线：（a为常数）：

（6）两直线平行与垂直

当，M.

乙i/l2ok[=k2,b1工b2:

1_L♦ok\k?=-I

注意:运向斜率判原直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

相交

/i:Arv+Biy+Cl=0/2:A2X+B2y+C2=0

交点坐标即方程组[A*+用y+G=0的一组解。

A2X+Bzy+C2=0

方程组无解。/（H12：方程组有无数解O6与4重看

（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点.

则||一例=应二^）2+（必一。）2

（9）点到直线距高公式:一点到直线的距离

（10）两平行直线距离寂

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为

第四章圆与方程

I.圆叼定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心,定长为圆的半径。

2.圆时方程

（1）原则方程，圆心，半径为r；

点与圆的位置关系:

当>，点在圆外当=，点在圆上

当<，点在圆内

(2)一般方程-V2+y2+Dx+Ey+F=0

当时，方程表达圆，此时圆心为，半径为

当时,表达一种点；

当时,方程不表达任何图形。

(3)求圆方程的措施：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一种圆需要三个独立条件，若运用圆的原则方程，

需求出a,b,r；若运用一般方程,需规定出D,E,F；

此外要注意多运用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来确定圆心的位置。

3.直货与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切.相交三种状况：

(I)设直线，圆，圆心至打的距离为•则有：：

<2)过圆外一点的切线：①k不存在.验证与否成立②k存在，设点斜式方程“用圆心到该宜线距离=半径.求解k.得到方程

【•定两解】

(3)过圆上一点的切线方程:阅(x-a)2+(y-b)2=r2,I列上一点为(xO.yO),则过此点1向切线方程为(x()-a)(x-a)+(yO-b)(y-b)=r2

4.圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确足。

当时两周外离,此时有公切线四条：

当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线通过切点，只有一条公切线:

当忖，两圆内含：当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上：已知两圆相切，两圆心与切点共线

恻时辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章空间几何体题

一、选择题

1.有一种几何体向三视图如下图所示，这个几何体也许是一种（）.

主视图左视图俯视图

（第I题）

A.棱分B.棱锥C.棱柱D.

正八面体

2.假如一种水平放置的平面图形的斜二测直观图是一种底角为45°,腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形#」面

积是（）.

A.24-B.C.D.

3.榜长都是的三极锥的表面积为（）.

A.B.2C.3D.

4

4.长方体的一种顶点上三条楼长分别是3,4.5、且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）.

25B.50nC.125IT

都不对

5.正方体的梭长和外接球11勺半径之比为（）.

A.：IB.：2C.2：D.：3

6.在aABC中,AB=2,BC=1.5,/ABC=120°,若使4ABC绕直线旋转•周，则所形成的几何体的体积是（）.

A.nB.JiC.nD.

31

7.若底面是菱形的棱柱其恻棱垂直于底面，口侧棱长为5,它的对角建的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是

（）•

A.130B.140C.150D.

160

8.如图,在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3口勺正方形,EF//AB.EF=,且EF与平面ABCD时距离为

2,则该多面体的体枳为（）.

（第8题）

A.B.5C.6D.

9.下列布.关用斜二测画法画直观图的说法中,错误II勺是（）.

A.用斜二测画法画出的宜观图是在平行投影下画出的空间图形

B.几何体R勺直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相似

C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形

D,水平放一置EJ圆的J直观图是椭圆

10.如图是一种物体的三视图，则此物体的直观图是（）.

正视图左视图俯视图

（第10题）

二、填空题

11.一种棱柱至少有个面,面数至少的一种棱椎有个顶点,顶点至少的一种棱台有条侧极.

12.若三个球的表面积之比是I：2：3,则它们的体积之比是.

13.正方体ABCD-AIB1C1D1中,0是上底面ABCD的中心,若正方体的极长为a.则三棱锥O—AB1DII内体积为

14.如图,E.F分别为正方体的面ADD1AK而BCC1BI的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影也许是

（第14题）

15.已知一种长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，则这个长方体的对角线长是它的体积为

16.一种直径为32匣米的圆柱形水桶中放入一种铁球.球所有没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为厘

米.

.三、解答题

17.布•种正四楼台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.

18*.已知半球内有--种内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.|提醒:过正方体的时角面作截面］

19.如图.在四功形ABCD中.NDAB=90°.NADC=I35°.AB=5.CD=2.AD=2.求四切形ABCD绕AD旃转一周

所成几何体的表面积及体积.

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），己建I内仓库的底面直径为12m,高4m.养路

处拟建一种更大的圆锥形仓库，以寄存更多食盐，既有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比本来大4m（而不变）：二是高

度增长4m（底面直径不变）.

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

⑵分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积:

（3）哪个方案更羟济些？

第二章点.直线.平面之间的位置关系A组

一、选择题

I.设（,（为两个不一样的平面,l,m为两条不一样的直线，且I（,m，有如下内两个命题:①若（（〃（，则l〃m：②若此

m,则((_!_(.那么().

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①@都是真命题D.①②都是假命题

2.如图,ABCD-AIBIC1DI为正方体下面结论错误的是（）.

A.BD〃平面CB1D1

B.ACI1BD

C.AC1_L平面CB1D1

D.异面直线AD与CBI角为60°

3.有关直线m,n与平面（（,（,有下列四个命题:

①m〃(,n〃((且((〃(，则m〃n；②m_L(,n_L((且((_!_(,则m_Ln：

③m_L(,n〃((且((〃(，则mln：④m〃(,n_L((且((_L(,则m〃n.

其中真命题的序号是（）.A.①®B.③©C.①@D.②③

4.给出下列四个命圈:

①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线11,12与同一平面所成口勺角用等，则11,12互相平行

④若直线11,12是异面直线，则与II,12都相交的两条直线是异面直线

其中假命题的个数是（）.A.IB.2C.3D.4

5.下列命题中对的的个数是（）.

①若直线I上有无数个点不在平面内，则1〃

②若直线I与平面平行,则1与平面内的任意一条直线都平行

③假如两条平行直线中的一条直级与一种平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若宜线I与平面平行、则1与平面内的任意一条宜线都没有公共点

A.0个B.1个C.2个D.

3个

6.两直线11与12异面，过】I作平面与12平行,这样的平面（）.

A.不存在B.有唯一的一种C.有无数个D.只有两个

7.把1E方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B.C.D四点为顶点的三棱锥体积最大时，百线BD和平面ABC所成啊

角的大小为（）.

A.90°B.60°

C.45°D.30°

8.下列说法中不对的II勺是（）.

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一种平面内

D.过一条直线有且只有一种平面与己知平面垂直

9.给出如下四个命题：

①假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线口勺一种平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行

②假如•条直线和•种平面内的两条和交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③假如两条直线都平行于一种平面，那么这两条直线互相平行

④假如一种平面通过另一种平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直

其中真命题的个数是（）.A.4B.3C.2D.I

10.异面直线a.b所成的角60°,直线a±c,则直线b与c所成的角的范雨为（）.

A.[30°.9。"]B.[60°,90°]C.[30°,60°]D.[30°,120°]

二、填空题

11.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB.PC两两互相垂直,且三个侧面II勺面积分别为SI,S2,S3,则这个三棱锥I内体

积为

12.P是4ABC所在平面(((外点,过P作PO_L平面((，垂足是O.连PA,PB,PC.

(1)若PA=PB=P&则0为AABC的心：

(2)PA±PB,PA±PC,PCXPB,则0是ZXABC的心；

(3)若点P到三边AB,BC,CA的距离和等，则0是AABC的心：

(4)若PA=PB=PC,ZC=90°,则。是AB边的点：

(5)若PA=PB=PC.AB=AC,则点OifcAABC的线上.

13.如图,在正三角形ABC中,D,E.F分别为各边H勺中点,GH.IJ分别为AEAD.BE.DE的中点,将4ABC沿DE,EF,

DF折成三极锥后来,GH与1J所成角的度数为.

14.直线I与平面所成角为30°,。=A.直线mW，则m与I所成角的取值范围是.

15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为dl,d2,d3,d4,则dl+d2+d3+d4的值

为.

16.直二面角一I一的棱上有一点A,在平面，内各有■一条射我AB,AC与I成45°.AB,AC,

则NBAC=.

三、解答题

17.在四面体ABCD中，△ABC与ADBC都是边K为4I向正三角形.

(1)求证:BC1AD；

(2)若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A—BC-D的正弦值；

(3)设二面角A-BC-D的大小为，猜测为何值时，四面体A-BCDI内体积最大.(不规定证明)

18.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点，连结ED,EC,EB和DB.

(1)求证：平面EDB_L平面EBC；

(2)求二面角石一。8一。内正切值.

(第18题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四极锥S-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,

SA1iBlABCD.SA=AB=BC=1,AD=.

(1)求四极锥S-ABCD的体积：

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

(提限：延长BA,CD相交于点E,则直线SE是

所求二面角的棱.)

20*,斜三棱柱的一种侧面的面积为10.这个侧面与它所对核的距离等于6.求这个棱柱的体积.(提醒：在AA1上取一点P.

过P作棱柱的鼓面，使AA1垂直于这个截面.)

H

（第

2()题)

第三章直线与方程A组

一、选择题

1.若直线x=l的倾斜角为（，则（（（）.

A.等于0B.等于（C.等于D.不存在

2.图中的直线］1,12,13的斜率分别为kl,k2.k3,则（）.

A.kl<k2<k3B.k3<kl<k2

C.k3<k2<klD.kl<k3<k2

/AA-—

3.已知直线11通过两点（一1,一2）、（一1,4）,直线12通过两点（2,I）、（x,6）,且11〃12,则x=（）.

A.2B.-2C.4D.1

4.已知直线I与过点M（一,）,N（州勺直线垂直，则直线II内倾斜角是（）.

A.B.C.D.

5.假如ACVO,且BCVO,那么直线Ax+By+C=O不通过（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.设A,B是x轴上的两点，点PI向横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+l=O,则直线PB的方程是

).

A.x+y—5=0B.2x—y—1=0C.2y—x—4=0D.2x+y—7=0

7.过两直线II:x-3y+4=0和⑵2x+y+5=0的交点和原点I内直线方程为().

A.19x-9y=0B.9x+19y=0C.I9x~3y=0D.3x+l9y=0

8.直线11:x+a2y+6=0和直线12:(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点，则a的值是().

A.3B.-3C.1D,-1

9.将直线I沿y轴口勺负方向平移a(a>0)个单位，再沿x轴正方向平移a+l个单位得直线I'.此时直线1,与1重叠.则直

线F的斜率为().

A.B.C,D.

10.点(4.0)有关直线5x+4y+21=0的对称点是().

A.(-6,8)B.(-8.-6)C.(6,8)D.(一6,—8)

二、填空题

11.已知直线II的倾斜角(1=15°,直线II与12的交点为A,把直线12绕着点A按逆时针方向旋转到和直线II重小时

所转的最小正角为60°,则直线12的斜率k2的值为

12.若三点A(-2.3).B(3.-2),C(.m”七线,贝Um时值为

13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,l),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点DI内坐标为.

14.求直线3x+ay=l的斜率.

15.已知点A(-2,1),B(l,-2),直线y=2上一点P,使|AP|=|BP|,则P点坐标为

16.与直线2x+3y+5=O平行,且在两坐标轴上截距附和为6的直线方程是

17.若一束光线沿着直线x-2y+5=0射到x轴上一点,经x轴反射后其反射线所在克线的方程是

三、解答题

18.设直线1『、］方程为(m2—2m—3)x+(2m2+m—l)y=2m-6(mGR.mW—1).根据卜.列条件分别求inII勺值:

01在X轴上的截距是一3：②斜率为1.

19.已知ZSABC的三顶点是A(-l,-1),B(3,I),C(l,6).直线1平行于AB,交AC,BC分别于E,F,ACEF的面积是4

CAB面积的.求直线1的方程.

20.一直线被两直线II:4x+y+6=0,12:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.

21.直线I过点(1.2)和笫一、二、四象限，若直线I的横截距与纵截距之和为6.求直线1的方程.

第四章圆与方程

一、选择题

I,若网C的网心坐标为(2,—3).且网C通过点M(5,-7),则圆C的半径为().

A.B.5C.25

2.过点1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().

A.(x—3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-l)24-(y-l)2=4D.(x+l)2+

(y+1)2=4

3.以点(-3,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是().

A.(x-3)2+(y+4)2=l6B.(x+3)2+(y-4)2=16C.(x-3)2+(y4-4)2=9D.(x+3)2+(y-4)2=19

4.若宜线x+y+m=O与圜x2+y2=m相切,则m为().

A.O或2B.2C.D.

无解

5.圆(x-l)2+(y+2)2=20在x轴上截得的弦长是().

A.8B.6C.6

4

6.两个圆Cl:x2+y2+2x+2y-2=O与C2:x24-y2-4x-2y+1=0的位置关系为().

A.内切B.相交C.外切

D.相离

7.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是().

A.x+y-1=0B.2x-y+l=0C.x—2)+l=0D.x-y4-l=0

8.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线有且仅有().

A.4条B.3条C.2条

D.1条

9.在空间直角坐标系中，已知点M(a,b,c),有卜列论述：

点M有关x轴对称点1向坐标是Ml(a,-b,c)：点M有关yoz平面对称iKj点『J坐标是M2(a.-b,-c)：

点M有关y仲对称的点的坐标是M3(a,-b,c)：点M有关原点对称的点的坐标是M4(-a,-b,-c).

其中对的的论述的个数是().

A.3B.2C.ID.

10.空间直角坐标系中.点A(—3,4.0)与点B(2.—1.6)的距离是().

A.2B.2C.9D.

二、填空题

11.圆x2+y2-2x-2y+l=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为.

12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0邢悯II勺方程为.

13.以点C(—2.3)为圆心且与y轴相切的网的方程是

14.两圆x2+y2=l和(x+4)2+(y-a)2=25相切,试确定常数a的值

15.研心为C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切的网的方程为

16.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB附中点为P(3.1),则直线ABH勺方程是

三、解答题

17求同心在原点，且圆周被直线3x+4y4lS=0提成I:，两部分的同R勺方程

18.求过原点,在x轴,y轴上截距分别为a.b的网的方程(abHO).

19.求通过A(4,2),B(—1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的阿I的方程.

20.求通过点(8,3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.

期末测试题

考试时间.90分钟试卷淌分.100分

・、选择题：本大题共14小题,每题4分,共56分.在每题给出的四个选项中,只有•项是符合规定的.

I.在直角坐标系中，已知A(-I,2).B(3.0),那么线段AB中点的坐标为().

A.(2.2)B.(1,1)C.(-2.-2)D.(—1,-1)

2.右面三视图所示的几何体是().

A.三棱锥

B.四棱锥

C.五棱锥

D.六棱锥

3.假如直线x+2y-l=0和y=kx互相平行,则实数k的值为（）.

A.2B.C.-2D.-

4.一种球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为（）.

A.1B.2C.3D.4

5.下面图形中是正方体展开图的是（）.

ABC

D

（第5题）

6.I员Ix2+y2—2x—4y—4=0#-J圆心坐标是（）.

A.（-2.4）B.(2.-4)

C.(-1,2)

D.（1.2）

7.直线y=2x+l有关y轴对称的直线方程为（）.

A.y=­2x+1B.y=2x—1C.y=—2x—1D.y=­x—1

8.已知两条相交直线a.b.a〃平面（（.则b与（（的位置关系是（）.

A.b平面（B.1）_1_平面（C.b〃平面（D.b与平面（相交，或b〃平面（

??在空间中是不重段的直线是不重会的平面则下列条件中可推出〃的是

??

A.aGb(,(〃(B.a〃(，b(C.al(,bl,(D.a±(,b(

10.圆x2+y2=l和圆x2+y2-6y+5=0的位置关系是（）.

A.外切R.内切C外离

内含

11.如图,正方体ABCD—ABCD'中，直线D，A与DB所成的角可以表达为().

A.ZD'DBB.ZAD'C

C.ZADBD.ZDBC

12.圆(x-l)2+(y-l)2=2被轴截得的弦长等于().

A.IB.C.2D.3

13.如图,三楂柱A1BIC1-ABC侧梭AAI_1_底面A1B1CI,底面三角形AIB1C1是正三角形,E是BC中点.则下列

论述对的的是().

A.CC1与BIE是异面直线

B.AC_L平面A1B1BA

C.AE,B1C1为异面直线，且AEJ.B1C1

D.AIC1〃平面ABIE

14.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm.高为12cm.现要为100个这种相似规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂

色,笔筒厚度忽视不计).假如每0.5kg涂料可以涂1m2,那么为这批笔筒涂色约需涂料.

A.1.23kgB.1.76kgC.2.46kgD.3.52kg

二、填空题:本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

15.坐标原点到直线4x+3y-l2=O的距离为

16.以点A(2.0)为网心,且通过点B(—1.1)的网的方程是

17.如图,在氏方体ABCD-AIBIC1D1中，棱锥A1——ABCD的体积与长方体的体积之比为.

18.在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.拓展到空间.类比平面几何的上

述得・论，可得：四个面均为等边三角形的四面休内任意一点.

三、解答题：本大题共3小题,共28分.解答应写出文字阐明.证明过程或演算环节.

19.已知直线1通过点(0,-2),其帧斜用是60°.

(I)求直线/的方程：

(2)求直线1与两坐标轴围成三角形的面积.

20.如图.在三棱锥P—ABC中,PC_L底面ABC.

Mid.BC,D.E分别是AD,PB啊中点.

(1)求证：DE〃平面PAC；

(2)求证：AB1PB；

(3)若PC=BC,求二面角P—ABTI内大小.

21.已知半径为5的硼C的阅心在x轴匕圆心向横坐标是整数.且与直线4x+3y-29=O相切.

(1)求圆C的方程:

(2)设直线ax-y+5=0与圆C相交于A,B两点，求实数a的取值范围：

(3)在(2)的条件下，与否存在实数a,使得过点P(—2,4)II勺直线1垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值：若不

存在，请阐明理由.

期末测试题

参照答案

一、选择题

I.B2.D3.D4.C5.A6.D7.A8.D9.C

10.A11.D12.C13.C14.D

二、填空题

15..

16.(x-2)2+y2=10.

17.1:3.

18.到四个面的距离之和为定值.

三、解答题

19.解:⑴由于直线】的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan60°=，又直线I通过点(0,-2),因此其方程为x-y-2

=0.

(2)由直线1的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，一2,因此直线】与两坐标轴围成三角形的面积S=

•・2=.

20.⑴证明：由于D,E分别是AB.?B附中点,

因此DE〃PA.

由于PA平面PAC,且DE平面PAC.

因此DE〃平面PAC.

(2)由于PC_L平面ABC,且AB平面ABC,

WiltAB±PC.又由于AB_LBC,且PCABC=C.

因此AB_L平面PBC.

乂由于PB平面PBC,

因此AB1PB.

(3)由(2)知，PB±AB,BC±AB,

因此./PBC为二面角P-AB-C的平面角.

由于PC=BC,ZPCB=90",

因此NPBC=45°,

因此二面角P—AB—C的大小为45°.

21.解:(1)设圆心为M(m.O)(mGZ).

由丁•圆与直线4x+3y—29=0相切,且半径为5.因此.=5.

即|4m-29|=25.

由广m为整数.故m=l.

故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.

(2)直线2乂一丫+5=0即丫="+5.代入圆的方程，消去y整顿，得

(a2十1)x2+2(5a-Dx十1=0.

由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点，故△=4(5a-l)2-4(a2+1)>0,

即12a2-5a>0,解得a<0,或a>.

因此实数a的取值范围是(-8,o)u(,+8).

⑶设符合条件的实数a存在，由(2)得aXO,则直线II内斜率为一，1的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a

=0.由于1垂直平分弦AB,故圆心M(l,0)必在1上.因此II0124a=0,然得.由于<=(,|-),故存在

实数a=,使得过点

々一2,4)的直发/垂直平分弦AB.

第一章空间几何体参照答案A组

一、选挣题

1.A

解析：从俯视图来看,上、下底面都是正方形,不过大小不一•样样,可以判断也许是梭台.

2.A解析:原图形为一直角梯形，其面移\=(1++1)X2=2+.

3.A解析：由于四个面是全等H勺正三角形.则S表面=4X=.

4.B解析：氏方体的对•角线是球的直径，

1==5,2R=5,R=,S=4nR2=50n.

5.C解析：正方体的对角建是外接球的直径.

6.D解析：V=V大一丫小=nr2(l+1.5-1)=n.

7.D解析：设底面边长是a,底面的两条对角线分别为11.12,而=152-52.=92-52.

而+=4a2,U|1l52-52+92-52=4a2,a=8,SffliJHn=4X8X5=l60.

D解析:过点E,F作底而附垂面,得两个体积相等的四棱推和一种三棱柱，

V=2XXX3X2+X3X2X=.

9.B

解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于x