2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业第三章不等式19

课时作业(十九)不等式的实际应用A组(限时：10分钟)1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了()A．3年B．4年C．5年D．6年解析：由题图可得，营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的平均利润eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12，∵x∈N＋，∴eq\f(y,x)≤－2eq\r(x·\f(25,x))＋12＝2，当且仅当x＝eq\f(25,x)，即x＝5时取“＝”．∴x＝5时营运的年平均利润最大．答案：C2．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少eq\f(5,2)t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是()A．[1,3]B．[3,5]C．[5,7]D．[7,9]解析：由题意列不等式，24000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))×t%≥9000，即eq\f(24,100)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))≥9，所以t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．答案：B3．如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为acm，bcm，铝合金窗的透光部分的面积为Scm2.(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？解：(1)∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a＞0，b＞0，∴ab＝28800，①又设上栏框内高度为hcm，则下栏框内高度为2hcm，则3h＋18＝b，∴h＝eq\f(b－18,3)，∴透光部分的面积S＝(a－18)×eq\f(2b－18,3)＋(a－12)×eq\f(b－18,3)＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28800－2(9a＋8b)＋288＝29088－2·(9a＋8b)．(2)∵9a＋8b≥2eq\r(9a·8b)＝2eq\r(9×8×28800)＝2880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝eq\f(9,8)a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160cm，高为180cm时，可使透光部分的面积最大．B组(限时：30分钟)1．设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000，令f(x)≥0，则x≥150，或x≤－200(舍去)，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．答案：C2．某工厂第一年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝eq\f(a＋b,2)B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2)D．x≥eq\f(a＋b,2)解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋a1＋b)－1.∵eq\f(1＋a＋1＋b,2)≥eq\r(1＋a1＋b)，即eq\f(a＋b,2)＋1≥eq\r(1＋a1＋b)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(1＋a1＋b)－1，即eq\f(a＋b,2)≥x.故选B.答案：B3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为()A．每个95元B．每个100元C．每个105元D．每个110元解析：设每个涨价x元，销售利润为y元，则y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000.∴当x＝eq\f(200,40)＝5时，y取最大值．∴每个涨价5元，即每个售价定为95元时，获得利润最大．故选A.答案：A4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过()A．70平方米B．80平方米C．90平方米D．100平方米解析：根据使用面积李明家应该缴纳的费用为60×4＝240元．设李明家的建筑面积为x平方米，则根据题意得3x＜240，∴x＜80，∴建筑面积不超过80平方米时，满足题意．答案：B5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5公里处B．4公里处C．3公里处D．2公里处解析：设仓库与车站间的距离为d公里，则y1＝eq\f(k1,d)，y2＝k2d，其中k1，k2为不为零的正实数，由题意，知2＝eq\f(k1,10)，8＝10k2，所以k1＝20，k2＝0.8.所以y1＋y2＝eq\f(20,d)＋0.8d≥2eq\r(16)＝8，当且仅当eq\f(20,d)＝0.8d，即d＝5时，等号成立．所以选A.答案：A6．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定厢宽2mA．(38－3eq\r(73))m3B．16m3C．4eq\r(2)m3D．14m3解析：设车厢长bm，高am．其中a＞0，b＞0，由已知得2b＋2ab＋4a＝32⇒b＝eq\f(16－2a,a＋1)，∴车厢的容积V＝a·eq\f(16－2a,a＋1)·2＝2·eq\f(16a－2a2,a＋1).设a＋1＝t(t＞1)，则V＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2t－\f(18,t)))≤2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－2\r(2t·\f(18,t))))＝16，当且仅当2t＝eq\f(18,t)，即t＝3时，等号成立．故选B.答案：B7．现有含盐7%的食盐水200g，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水xg，则x的取值范围是__________．解析：由条件得：5%＜eq\f(200×7%＋4%x,200＋x)＜6%，即5＜eq\f(200×7＋4x,200＋x)＜6.解得：100＜x＜400.所以x的取值范围是(100,400)．答案：(100,400)8．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形和圆的面积之和最小，则正方形的周长应为__________．解析：设正方形的周长为x，则边长为eq\f(x,4)，圆的周长为1－x，圆的半径R＝eq\f(1－x,2π)，故面积之和S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋πR2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)＋\f(1,4π)))x2－eq\f(x,2π)＋eq\f(1,4π)，∴当x＝eq\f(4,π＋4)时，S最小．答案：eq\f(4,π＋4)9．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长和宽应选用的金属材料价格每1m分别为3元和5元，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是__________．解析：设长为xm，宽为ym.则6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50且x≥y.∵xy＝eq\f(1,15)·3x·5y≤eq\f(1,15)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋5y,2)))2，当且仅当3x＝5y＝25时取等号，此时x＝eq\f(25,3)，y＝5.∴面积的最大值为xy＝eq\f(25,3)×5＝eq\f(125,3)m2.答案：eq\f(125,3)m210．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少销售量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．(1)问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获得的利润最大？(2)销售价定为多少元时，才能保证每天所获得的利润在300元以上？解：(1)设每件提高x元(0≤x≤10)，每天获得的总利润为y元，则每件获得的利润为(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，由题意得y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.∵0≤x≤10，∴x＝4时，y取得最大值360.∴当售价定为14元时，每天所获得的利润最大，为360元．(2)要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200＞300，即x2－8x＋10＜0，解得4－eq\r(6)＜x＜4＋eq\r(6).故每件定价在(4－eq\r(6))元到(4＋eq\r(6))元之间时，能确保每天的利润在300元以上．11．为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修了一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，则每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．(1)求出y关于x的函数关系式；(2)这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人次数最多？并求出每日最多的营运人次数．解：(1)根据题意设y＝kx＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＝4k＋b，,10＝7k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝24，))∴y＝－2x＋24(0＜x＜12，x∈N＋)．(2)设该列火车满载时每日的营运人次数为w，则w＝x·2y×110＝220×2x(12－x)≤440×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋12－x,2)))2＝15840(人次)，当且仅当x＝12－x即x＝6时，等号成立．故这列火车满载时每次应拖挂6节车厢才能使每日营运人次数最多，最多营运人次数为15840.12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3x,50)))(a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值．解：(1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50，又因为x＞0，所以0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3eq\b\